Základní otázky v základní matematice a geometrii

Kruh jako výchozí bod pro všechno

Tento článek vzniká z několika důvodů, hlavním jsou metodické otázky. Rozšířená nejasnost ve výkladových přístupech – opakovaná v mnoha návodech a učebních materiálech – vytváří významné mezery ve znalostní bázi žáků, což následně vede k řetězci důsledků souvisejících s nastíněným problémem.

Existující metodické přístupy

Jako obvykle. Pro zahájení naší diskuse můžeme mít sadu faktů, z nichž se cesta dostane na začátek.

Běžné přístupy

Vezměme si jako příklady oficiální osnovy a doporučení tří anglicky mluvících zemí: Spojené státy, Velká Británie a Austrálie.

Spojené státy budou reprezentovány Study.com, a lekcemi, které odpovídají vzdělávacím standardům v USA, poskytující jasné vysvětlení vhodné pro různé ročníky: Definice kruhu pro děti: Vysvětluje, že kruh je tvar tvořený zakřivenou čarou, kde všechny body jsou ve stejné vzdálenosti od středu. Geometrie kruhu: Zabývá se vlastnostmi kruhů, včetně definic a příkladů oblouků, sektorů a dalších souvisejících konceptů.

Austrálie – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). AMSI poskytuje podrobné učitelské moduly, které odpovídají australskému kurikulu, nabízející hluboké vysvětlení geometrie kruhu: Modul geometrie kruhu: Definuje kruh jako množinu všech bodů v rovině, které mají pevnou vzdálenost (poloměr) od pevného bodu (střed). Dále pokrývá související pojmy jako poloměr, průměr, tětiva, sečná a symetrie.

A jako dezert je naše milované Albion zastoupen Národním kurikulem pro matematiku ve Velké Británii, které poskytuje strukturovaný přístup k výuce geometrie, včetně vlastností kruhů: Klíčová etapa 1 & 2: Očekává se, že žáci poznají a pojmenují běžné 2D tvary, včetně kruhů, a porozumí jejich vlastnostem. Klíčová etapa 3: Studenti by měli být schopni identifikovat a aplikovat definice a vlastnosti kruhu, včetně středu, poloměru, tětivy, průměru, obvodu, tečny, oblouku, sektoru a segmentu.

Ve všech uvedených přístupech můžeme pozorovat pořadí, ve kterém jsou materiály prezentovány: kruh jako geometrický objekt je zaveden až po základních geometrických pojmech, jako jsou čáry, úhly a mnohoúhelníky, zejména na vyšších stupních. V těchto kurikulech je kruh chápán nejen jako figura, ale jako základní ideální geometrický objekt, který tvoří základní referenční bod pro matematickou abstrakci a uvažování. Pojďme se oprostit od tohoto tvrzení a posadit se do žákovy lavice. Téma je úhel a učitel se snaží vysvětlit hlavní charakteristiky úhlu, včetně stupňů, stran a všech dalších souvisejících podkategorií. Kde se v prostoru objevuje průsečík čar? Co je prostor? Všechny tyto a mnoho dalších doplňkových otázek vznikají v nepřipravené mysli, vytvářejí salát nejasností. Nakonec z praxe jen několik spolužáků zvládne nepořádek a překoná chaos neuspořádaných obrazů. A kde je možnost umístit všechny věci na patřičná místa?

Nyní vám dovolte obrátit se zpět k běžně doporučovaným dovednostem, kterými by měl být žák vybaven před vstupem do lekcí o základních geometrických tvarech.

Na základě zmíněných přístupů ke kurikulům jsem shrnul dovednosti, s nimiž by měl být žák obeznámen:

Číselné a aritmetické dovednosti

Počítání a rozpoznávání čísel: Rozpoznávat čísla, seřadit je a přesně počítat objekty. Základní operace: Sčítání, odčítání a jednoduché pojmy násobení/dělení. Zlomky (základní úroveň): Porozumění polovinám, čtvrtinám, jednoduchému dělení tvarů a množin. Tolerance/přiblížení: Rozpoznání, že měření mohou mít malé odchylky; jednoduché zaokrouhlování. Základní statistika: Čtení jednoduchých grafů, porovnávání množství, chápání „více/méně“.

Měřicí dovednosti

Délka, váha a objem: Použití nestandardních a standardních jednotek k měření objektů. Porovnávání: Delší/kratší, těžší/lehčí, větší/malý. Čas a hodiny (základní): Porozumění hodinám, minutám, pořadí událostí.

Prostorové a geometrické povědomí

Rozpoznávání tvarů (před-2D figury): Identifikace kruhů, obdélníků, čtverců v okolí. Prostorové vztahy: Pojmy jako nad/pod, uvnitř/venku, vedle, blízko/daleko. Orientace a pohyb: Porozumění otáčkám, rotacím, symetrii v jednoduché formě. Základní geometrická tolerance: Rozpoznání přibližné rovnosti délek/úhlů v praktických úlohách.

Vzory, třídění a logické dovednosti

Rozpoznávání vzorů: Sekvence, opakování, rostoucí vzory. Třídění a klasifikace: Skupinování objektů podle barvy, velikosti nebo tvaru. Porovnávání a uvažování: Použití „stejné/odlišné“, „více/méně“ a základní logické souvislosti.

Před-geometrická příprava

Čáry a křivky: Obkreslování, kreslení a rozpoznávání přímých vs. zakřivených čar. Porozumění bodům: Identifikace bodů v prostoru (tečky, průsečíky v jednoduchých mřížkách). Základní úhly (neformálně): Rozpoznání „rohu“, „ohnutí“, „otočky“ před formálním měřením úhlu. Jednoduché souřadnicové myšlení: Mřížky, řady, sloupce a jednoduché poziční pojmy.

Všechny tyto dovednosti jsou nezbytné pro pokračování v konceptu geometrie, a shrnutí zdůrazňuje následující:

Než žáci formálně začnou učit geometrické tvary:

Jsou seznámeni se zlomky, tolerancemi, základní statistikou, měřením, vzory, prostorovým uvažováním a logickým myšlením.

Tyto dovednosti je připravují na práci s čtverci, trojúhelníky a úhly, aniž by byli přetíženi abstrakcí.

Vypadá to jasně a rozumně. Ale... Ach, vždy a všude tyto 'Ach...!'

Odklon od dogmatu může změnit vesmír!

Zde navrhuji představit si opačný přístup k prezentaci materiálu a hravým způsobem se pokusíme krok za krokem projít osnovou s upraveným pořadím dovedností, které by měl žák získat.

Existující schéma

Úhly:

Tak jako nyní, žák přichází k základům geometrie s nejasností několika znalostí. Vezměme si měření úhlů. Každé dítě ví, že existují rohy, tři hlavní typy rohů, a něco jako ostrý (0°–90°), pravý (90°), tupý (90°–180°), přímý (180°), reflexní (180°–360°) a úplný nebo plný obrat (360°). Ale… Co jsou tyto čísla a odkud pocházejí stupně?

Trojúhelník:

V současném pořadí jsou základy trojúhelníku vyloženy před tím, než kruh vstoupí do obzoru žáka, se základními charakteristikami trojúhelníku:

Součet úhlů trojúhelníku: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180°
Věta o vnějším úhlu: Vnější úhel = součet protilehlých vnitřních úhlů

Analýza znalostí, které žák přináší k tématu kruhu, a uvažování o reprezentaci abstraktních objektů versus fyzický smysl matematických abstrakcí v žákově vědomí.

Empirické porozumění způsobu myšlení žáka.

Představme si experiment:

Nakreslete pravoúhlý trojúhelník na list papíru formátu A1, použijte pravý úhel jako referenční základnu. Nechť strana A má 30 mm a strana B 60 mm.
Nyní nakreslete přímku rovnoběžnou s úhlopříčkou trojúhelníku ve vzdálenosti 500 mm.
Dále sestavte nový pravoúhlý trojúhelník, přičemž tuto novou rovnoběžnou čáru použijete k definování jeho úhlopříčky.
Na základě měření stran přepočítejte všechny úhly většího trojúhelníku.

Na základě výsledků těchto výpočtů obvykle zjistíme, že čísla mírně přesahují tolerance našich měřicích nástrojů. Tento výsledek může vytvořit zmatek ve srovnání s deklarovanými postuláty. Zde leží bod pochybnosti – a příležitost k zamyšlení. Využijme tento okamžik správným způsobem! Následujte mě!

Je hra, kterou hrajeme, dost férová, aby stála za čas?

Používejte ruce, myslete a berte odměny

Zkusme jiné pořadí prezentace materiálu našim dětem. Úhly a trojúhelníky, spolu s polygonami, necháme zatím stranou.

Nebojte se jehly kružítka a nakreslete kruh; to je jediný úkol, se kterým musíme začít. Ach, zapomněl jsem! Nejprve označte bod tužkou nebo perem, nastavte jehlu kružítka na bod a nyní kruh nakreslete!

Nyní máme kruh. Dovolte mi poznamenat, že v tomto okamžiku žák nevědomky začíná chápat střed kruhu, a tuto nápovědu bychom měli později použít k zavedení nulového bodu souřadnic. Prozatím musíme toto porozumění posílit tím, že žáka udržíme v roli aktivního průzkumníka.

Máme kruh. Čas změnit nástroj: vezměte přímku (pravítko nebo cokoli) a nakreslete čáru přímo přes středový bod. Označte body, kde čára protíná kruh. Hotovo? Terminologie průměru se zde uplatňuje! Možná stačí pro dnešek? Tentokrát jste zcela na správném místě!

Nová lekce, nová dobrodružství, pokračujte! Tentokrát by měl žák zopakovat předchozí úkoly s kružítkem sám a ukázat, že si materiál pevně pamatuje z dřívějška. Nyní provádíme praktická měření. Známe průměr a střed kruhu a je čas pochopit poloviční průměr. Zde vyvstává otázka, milí kolegové: jak můžeme nalézt poloviční průměr průměru? Děti by měly v tuto chvíli vstoupit do kolektivní vědecké diskuse; vaše role je pouze povzbudit všechny spolužáky k aktivní účasti. Nakonec si někdo může všimnout, že kružítko je nástroj, který již dává správnou odpověď! Skvělé! Další úkol je správně označit střed průměru tímto nástrojem. Po dokončení tohoto kroku není třeba děti přetěžovat dalšími úkoly. Je čas kreslit a upevnit veškerý materiál, který jsme společně objevili.

Máte rádi kreslení? Pak jste vítáni! Nyní známe průměr a terminologie poloměru zde zaujímá své místo. Na základě pevné pozice kružítka určené jako poloměr si zahrajme s tímto kreslicím nástrojem (napovídám: hravě pochopíme, co je ideální trojúhelník). Začněte kreslením kruhů: položte jehlu kružítka na kruh a nakreslete první kruh ve stejné poloze a vzdálenosti kružítka jako základní kruh. Poté přesuneme jehlu kružítka na další průsečík základního kruhu a pokračujeme tímto způsobem, dokud se nevrátíme na výchozí pozici. Máme šest krásných kruhů kolem základního kruhu. Kreslíme Květ! Hurá! Nyní je čas kreslit čáry. Vezměte libovolný průsečík jako výchozí bod, přeskočte další a nakreslete čáru z vybraného průsečíku na další. Pokračujte tímto způsobem, přičemž výchozím bodem je vždy linie protínající základní kruh. Ups, nyní máme tři čáry, které tvoří trojúhelník. Je čas vysvětlovat. Zde můžeme zavést několik konceptů: rovnost a podobnost. Pro demonstrování podobnosti opakujte stejný postup, ale prodlužte nastavení kružítka, aby se maximalizoval úhel. Nyní je čas vzít nůžky! Vyřízněte trojúhelníky a porovnejte všechny výsledné rohy trojúhelníků. Všechny rohy jsou stejné, ale figury nejsou identické! Můžeme naznačit, že kruh má některá standardní měření nazývaná stupně a trojúhelníky, které jsme získali, se nazývají ideální trojúhelníky, každý roh měří přibližně 60 stupňů.

Ups, přicházíme ke složitým úkolům, ale cestu překonají jen ti, kdo pokračují, takže… Čas zavést pojem stupňů. Při vysvětlování stupňů se můžeme obrátit na historii standardizace měření a diskutovat o tom, odkud pocházejí metry, stopy, palce, centimetry a milimetry. Historie stupňů je spíše legendární než faktická; můžeme vyprávět pohádku a vysvětlit často citované spojení s babylonským původem měřicích jednotek, ale podle mého názoru je třeba zdůraznit nejednoznačnost legendy.

Dobře, krok za krokem se přibližujeme k experimentům s lahvemi. Hej piráti, jdeme pro vaše lahve – třeste se a mějte strach! Všichni žáci mají láhev, a co provázky? Opravdu, potřebujeme nit, nůžky a láhev (nebo sklo), všechny válcového tvaru. Každý žák by měl provést jeden otočení nití kolem lahve. Poté učitel přijde ke každému studentovi s řezačkou nebo žiletkou a přesně odstřihne nit tak, aby zbytek odpovídal vnějšímu kruhu válce. Poté umístíme láhev na papír a použijeme vnější okraj láhve jako šablonu k nakreslení kruhu. Nyní máme nit a kruh. Čas definovat průměr kruhu. Měli bychom vzít kružítko a nastavit přesně průměr kruhu. Budou zde dva maximální protilehlé body, a z těchto bodů vytvoříme trojúhelník, poté postavíme opačné zrcadlo trojúhelníku. Tímto způsobem nalezneme střed kruhu. To ukazuje žákům, že existuje mnoho způsobů, jak definovat umístění středu kruhu, což je zásadní pro kruh jako geometrický objekt. Pokračujeme-li dál, je intuitivně jasné, že nit, kterou jsme manipulovali, je blízko délce vnějšího obvodu kruhu. Pomocí kružítkem určeného průměru spočítejme, kolikrát se průměr vejde do délky kruhu. Zde je třeba standardního lineárního měřicího nástroje. Nakonec zjistíme, že i s tolerancemi všichni žáci dosáhnou velmi podobných výsledků! Z toho můžeme předpokládat, že poměr průměru k obvodu vždy udává délku kruhu a naopak. Navíc je tento poměr konstantní – a to je úžasné! Bez přiblížení se ke složitým úkolům žáci již jasně chápou původ π, jeho hlavní hodnotu a fyzikální význam.

Zde vám jen chci ukázat, milí kolegové, že i dogmatické pořadí materiálu lze revidovat a tato revize může vést k pohodlnějšímu a efektivnějšímu procesu učení žáků. Tento přístup může významně urychlit pochopení následujícího materiálu. Samozřejmě tento přístup předkládám k diskusi, a takové diskuse jsou vždy vítány.