Cuestiones Fundamentales en Matemáticas y Geometría Básica

Este artículo surge por varias razones, siendo la principal los problemas metodológicos. La oscuridad generalizada en los enfoques explicativos, replicada en muchos tutoriales y materiales de enseñanza, crea importantes lagunas en la base de conocimientos de los alumnos, lo que a su vez genera una cadena de consecuencias relacionadas con el problema planteado.

Enfoques metodológicos existentes

Como de costumbre. Para iniciar nuestra discusión podemos tener un conjunto de hechos, a partir de los cuales el camino tendrá su lugar al comienzo.

Enfoques Comunes

Tomemos como ejemplo los planes de estudio oficiales y las recomendaciones de tres países de habla inglesa: Estados Unidos, Reino Unido y Australia.

Estados Unidos estará representado por Study.com y lecciones que se alinean con los estándares educativos de Estados Unidos, proporcionando explicaciones claras adecuadas para varios niveles escolares: Definición del círculo para niños: Explica que un círculo es una figura formada por una línea curva donde todos los puntos están a igual distancia del centro. Geometría del círculo: Profundiza en las propiedades de los círculos, incluyendo definiciones y ejemplos de arcos, sectores y otros conceptos relacionados.

Australia – Instituto Australiano de Ciencias Matemáticas (AMSI). AMSI proporciona módulos detallados para profesores que se alinean con el Currículo Australiano, ofreciendo explicaciones profundas sobre geometría del círculo: Módulo de Geometría del Círculo: Define un círculo como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). También cubre conceptos relacionados como radio, diámetro, cuerda, secante y simetría.

Y, como postre, nuestra querida Albion está representada por el Currículo Nacional del Reino Unido para Matemáticas, que proporciona un enfoque estructurado para enseñar geometría, incluyendo las propiedades de los círculos: Key Stage 1 y 2: Se espera que los alumnos reconozcan y nombren las figuras 2D comunes, incluyendo círculos, y comprendan sus propiedades. Key Stage 3: Los estudiantes deben ser capaces de identificar y aplicar definiciones y propiedades del círculo, incluyendo centro, radio, cuerda, diámetro, circunferencia, tangente, arco, sector y segmento.

En todos los enfoques mencionados, podemos observar un orden en la presentación de los materiales: el círculo, como objeto geométrico, se introduce después de los conceptos fundamentales de geometría, como líneas, ángulos y polígonos, especialmente en niveles posteriores a la primaria. En estos planes de estudio, el círculo no se trata simplemente como una figura, sino como un objeto geométrico ideal fundamental, formando un punto de referencia básico para la abstracción y el razonamiento matemático. Apartémonos de la afirmación anterior y pongámonos en el lugar del alumno. El tema es un ángulo, y el profesor intenta explicar las principales características del ángulo, incluyendo grados, lados y todas las subdivisiones relacionadas. ¿Dónde aparece el punto de intersección de las líneas en el espacio? ¿Qué es el espacio? Todas estas y muchas preguntas colaterales surgen en una mente no preparada, creando un revoltijo de confusión. Finalmente, por experiencia, solo unos pocos alumnos logran manejar el desorden y superar el caos de imágenes desordenadas. ¿Y dónde está el punto de posibilidad para colocar todas las cosas en su lugar correcto?

Ahora permítanme volver a las habilidades comúnmente recomendadas que un alumno debe poseer antes de ingresar a lecciones sobre figuras geométricas fundamentales.

Basándome en los enfoques curriculares mencionados, resumí las habilidades con las que el alumno debe estar familiarizado:

Habilidades Numéricas y Aritméticas

Contar y reconocer números: Reconocer números, ordenarlos y contar objetos con precisión. Operaciones básicas: Conceptos de suma, resta y multiplicación/división simples. Fracciones (nivel elemental): Comprender mitades, cuartos, particiones simples de figuras y conjuntos. Tolerancia/aproximación: Reconocer que las mediciones pueden tener ligeras variaciones; redondeo simple. Estadísticas elementales: Leer gráficos simples, comparar cantidades, entender “más/menos”.

Habilidades de Medición

Longitud, peso y volumen: Usar unidades no estándar y estándar para medir objetos. Comparaciones: Más largo/corto, más pesado/liviano, más grande/pequeño. Tiempo y relojes (básico): Comprender horas, minutos, secuenciación de eventos.

Conciencia Espacial y Geométrica

Reconocimiento de formas (pre-figuras 2D): Identificar círculos, rectángulos, cuadrados en el entorno. Relaciones espaciales: Conceptos como arriba/abajo, dentro/fuera, al lado/cerca/lejos. Orientación y movimiento: Comprender giros, rotaciones, simetría de forma simple. Tolerancia geométrica elemental: Reconocer igualdad aproximada de longitudes/ángulos en tareas prácticas.

Patrones, Clasificación y Habilidades Lógicas

Reconocimiento de patrones: Secuencias, repeticiones, patrones crecientes. Clasificación y agrupamiento: Agrupar objetos por color, tamaño o forma. Comparaciones y razonamiento: Usar “igual/diferente”, “más/menos” y conexiones lógicas básicas.

Preparación Pre-Geométrica

Líneas y curvas: Trazado, dibujo e identificación de líneas rectas vs curvas. Comprensión de puntos: Identificar puntos en el espacio (puntos, intersecciones en cuadrículas simples). Ángulos básicos (informalmente): Reconocer “esquina”, “curva”, “giro” antes de la medición formal de ángulos. Pensamiento coordenado simple: Cuadrículas, filas, columnas y términos posicionales simples.

Todas estas habilidades son obligatorias para abordar el concepto de geometría, y el resumen indicado insiste en lo siguiente:

Antes de que los alumnos aprendan formalmente figuras geométricas:

Se les introduce a fracciones, tolerancias, estadísticas elementales, medición, patrones, razonamiento espacial y pensamiento lógico.

Estas habilidades los preparan para manejar cuadrados, triángulos y ángulos sin sentirse abrumados por la abstracción.

Parece una posición clara y razonable. Pero... ¡oh, siempre y en todas partes esos 'OH...s'!

¡Apartarse del dogma puede cambiar el universo!

Aquí les propongo imaginar un enfoque inverso para presentar el material y, de manera lúdica, intentaremos avanzar paso a paso a través del currículo con un orden modificado de las habilidades que el alumno debería aprender.

Esquema Existente

Ángulos:

Actualmente, el alumno llega a los fundamentos de geometría con desconocimiento de varios conceptos. Tomemos las mediciones de ángulos. Todos los niños saben que existen esquinas, tres tipos principales de ángulo, como agudo (0°–90°), recto (90°), obtuso (90°–180°), llano (180°), reflejo (180°–360°) y giro completo (360°). Pero… ¿Qué son los números y de dónde provienen los grados?

Triángulo:

En el orden actual, de la misma manera, los conceptos básicos del triángulo se presentan antes de que el círculo aparezca en el horizonte de la vista del alumno, con las principales características relacionadas con el triángulo:

  1. Suma de ángulos de un triángulo: La suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180°
  2. Teorema del ángulo exterior: Ángulo exterior = suma de los ángulos interiores opuestos

Análisis del conocimiento que el alumno aporta al tema del círculo y razonamiento sobre la representación de objetos abstractos frente al sentido físico de las abstracciones matemáticas en la conciencia del alumno.

Comprensión empírica de la forma de pensar del alumno.

Imaginemos un experimento:

  1. Dibuja un triángulo rectángulo en una hoja de papel A1, usando el ángulo recto como referencia base. Que el lado A mida 30 mm y el lado B 60 mm.
  2. Ahora dibuja una línea paralela a la diagonal del triángulo a una distancia de 500 mm.
  3. A continuación, construye un nuevo triángulo rectángulo, usando esta nueva línea paralela para definir su diagonal.
  4. Basándote en las medidas de los lados, recalcula todos los ángulos del triángulo más grande.

Según los resultados de estos cálculos, usualmente encontraremos que los números exceden ligeramente las tolerancias de nuestras herramientas de medición. Este resultado puede crear confusión al compararlo con los postulados declarados. Aquí se encuentra el punto de duda y la oportunidad de reflexión. ¡Usemos este momento de manera adecuada! ¡Síganme!

¿Es justo el juego que estamos jugando para invertir el tiempo?

Usa las manos, haz cosas y recibe recompensas

Probemos otro orden para presentar el material a nuestros alumnos. Ángulos y triángulos, junto con polígonos, los dejamos de lado por ahora.

No tengas miedo de la punta del compás y dibuja el círculo; esta es la única tarea con la que necesitamos empezar. ¡Ah, olvidé algo! Primero señala el punto con un bolígrafo o lápiz, coloca la aguja del compás en el punto y dibuja el círculo ahora.

Ahora tenemos un círculo. Debo notar que en este punto el alumno comienza a comprender inconscientemente el centro del círculo, y debemos usar esta pista para introducir más adelante el punto cero de las coordenadas. Por ahora, necesitamos reforzar esta comprensión manteniendo al alumno en el rol de explorador activo.

Así que tenemos un círculo. Es momento de cambiar de herramienta: toma una línea (regla, lo que sea) y dibuja una línea pasando justo por el punto central. Marca los puntos donde la línea cruza el círculo. ¿Listo? ¡Aquí entra en juego la terminología del diámetro! ¿Tal vez suficiente por hoy? Esta vez estás exactamente en el punto correcto.

Nueva lección, nuevas aventuras, ¡adelante! Esta vez el alumno debe repetir las operaciones de la lección anterior con el compás por sí mismo y demostrar que el material se recuerda firmemente desde antes. Ahora hacemos mediciones prácticas. Conocemos el diámetro y el centro del círculo, y es hora de comprender el semi-diámetro. Surge aquí la pregunta, queridos colegas: ¿cómo podemos encontrar el semi-diámetro del diámetro? Los niños deben llegar a una discusión científica colectiva en este momento; tu rol es solo animar a todos los compañeros a participar activamente. Eventualmente, alguien puede notar que el compás es la herramienta que ya da la respuesta correcta. ¡Genial! La siguiente tarea es marcar el centro del diámetro con esta herramienta de la manera adecuada. Una vez completado este paso, no es necesario sobrecargar a los niños con tareas adicionales. Es momento de dibujar y consolidar todo el material descubierto junto con ustedes.

¿Te gusta dibujar? ¡Entonces eres bienvenido! Ahora conocemos el diámetro, y la terminología de radio toma su lugar aquí. Basándonos en la posición fija del compás detectada como radio, juguemos con esta herramienta de dibujo (doy una pista: entenderemos de manera lúdica qué es un triángulo ideal). Comienza dibujando círculos: coloca la aguja del compás sobre el círculo y dibuja el primer círculo con la misma posición y distancia del compás que el círculo base. Luego mueve la aguja del compás a la siguiente marca de intersección en el círculo base y continúa así hasta regresar a la posición inicial. Tenemos seis hermosos círculos alrededor del círculo base. ¡Estamos dibujando la Flor! ¡Hurra! Ahora es tiempo de dibujar líneas. Toma cualquier cruz como punto de partida, salta la siguiente cruz y dibuja una línea desde la cruz elegida hasta la siguiente. Continúa de esta manera, comenzando siempre desde la línea que cruza el círculo base. ¡Ups! Ahora tenemos tres líneas, y estas forman un triángulo. Es momento de explicación. Aquí podemos introducir varios conceptos: igualdad y semejanza. Para demostrar la semejanza, repite el mismo procedimiento pero extiende los ajustes del compás para maximizar el ángulo. Ahora es tiempo de tomar las tijeras. ¡Recortemos los triángulos y comparemos todas las esquinas resultantes de las figuras triangulares! Todas las esquinas son iguales, pero las figuras no son idénticas. Podemos insinuar que el círculo tiene algunas medidas estándar llamadas grados, y los triángulos que obtuvimos se llaman triángulos ideales, cada esquina midiendo aproximadamente 60 grados.

¡Ups! Estamos llegando a tareas complejas, pero el camino solo es superado por quienes continúan, así que… Es hora de introducir el concepto de grados. Al explicar los grados, podemos recurrir a la historia de la estandarización en las mediciones y discutir de dónde provienen metros, pies, pulgadas, centímetros y milímetros. La historia de los grados es más legendaria que factual; podemos contar el cuento y explicar la comúnmente citada relación con los orígenes babilónicos de las unidades de medida, pero en mi opinión, debemos enfatizar la ambigüedad de la leyenda.

Bien, paso a paso nos acercamos a los experimentos con botellas. ¡Hey piratas, venimos por sus botellas, tiemblen y teman! Todos los alumnos tienen una botella, ¿y las cuerdas? Efectivamente, necesitamos hilo, tijeras y una botella (o vaso), todos de forma cilíndrica. Cada alumno debe dar una sola vuelta con el hilo alrededor de la botella. Luego el profesor se acerca a cada estudiante con un cutter o cuchilla y corta el hilo exactamente para que el sobrante coincida con el círculo exterior del cilindro. Después colocamos la botella sobre el papel y usamos el borde exterior de la botella como plantilla para dibujar el círculo. Ahora tenemos un hilo y un círculo. Es momento de definir el diámetro del círculo. Debemos tomar un compás y ajustarlo exactamente al diámetro del círculo. Habrá dos puntos máximos opuestos, y desde estos puntos creamos un triángulo, luego construimos el espejo opuesto del triángulo. De esta manera, encontramos el centro del círculo. Esto demuestra a los alumnos que existen muchas formas de definir la posición del centro de un círculo, lo cual es esencial para el círculo como objeto geométrico. Avanzando, es intuitivamente claro que el hilo que manipulamos se aproxima a la longitud de la circunferencia exterior del círculo. Usando el diámetro fijado por el compás, calculemos cuántas veces el diámetro cabe en la longitud del círculo. Aquí se requiere una herramienta de medición lineal estándar. Finalmente, encontraremos que incluso con tolerancias, todos los alumnos llegan a resultados muy cercanos. A partir de esto, podemos asumir que la proporción entre diámetro y circunferencia siempre nos indica la longitud del círculo, y viceversa. Además, ¡esta proporción es una constante, y esto es maravilloso! Sin siquiera acercarnos a tareas complejas, los alumnos ya comprenden claramente el origen de π, su valor principal y su significado físico.

Aquí solo quiero mostrarles, queridos colegas, que incluso un orden dogmático del material puede revisarse, y esta revisión puede conducir a un aprendizaje más cómodo y efectivo para los alumnos. Este enfoque puede acelerar significativamente la comprensión del material subsecuente. Por supuesto, presento este enfoque para discusión, y tales discusiones siempre son bienvenidas.