Põhilised küsimused elementaar-matemaatikas ja geomeetrias

See artikkel ilmub mitmel põhjusel, peamine neist on metoodilised küsimused. Lai levinud ebaselgus selgitusmeetodites – paljude õppekavade ja õppematerjalide puhul korduv – tekitab õpilaste teadmistes olulisi lünki, mis omakorda viib probleemiga seotud tagajärgede ahelani.

Olemasolevad metoodikad

Nagu tavaliselt. Arutelu alustamiseks võime tuua faktilisi näiteid, mille põhjal on võimalik alustada.

Tavalised lähenemised

Võtame näiteks ametlikud õppekavad ja kolme ingliskeelse riigi soovitused: Ameerika Ühendriigid, Ühendkuningriik ja Austraalia.

Ameerika Ühendriike esindab Study.com ning õppetunnid, mis vastavad USA haridusstandarditele, pakkudes selgeid selgitusi erinevatele klassidele: Ringide definitsioon lastele – selgitab, et ring koosneb kõverast joonest, mille kõik punktid on keskpunktist võrdsel kaugusel. Ringigeomeetria: uurib ringi omadusi, sealhulgas kaari, sektorite ja teiste seotud kontseptsioonide definitsioone ja näiteid.

Austraalia – Austraalia Matemaatikateaduste Instituut (AMSI). AMSI pakub õpetajatele üksikasjalikke mooduleid, mis vastavad Austraalia õppekavale, pakkudes põhjalikke selgitusi ringigeomeetriast: Ringigeomeetria moodul – defineerib ringi kui kõigi tasapinnal olevate punktide hulka, mis on fikseeritud kaugusel (raadius) fikseeritud punktist (keskpunkt). Käsitletakse ka seotud kontseptsioone nagu raadius, diameeter, kiil, sekant ja sümmeetria.

Ja magustoiduks meie armastatud Albion esindab Ühendkuningriigi riiklik õppekava matemaatikas, pakkudes struktureeritud lähenemist geomeetria õpetamisele, sealhulgas ringi omadustele: Key Stage 1 & 2: õpilastelt oodatakse tavapäraste 2D-kujundite, sealhulgas ringide, tundmist ja nimetamise oskust ning nende omaduste mõistmist. Key Stage 3: õpilased peaksid suutma tuvastada ja rakendada ringi definitsioone ja omadusi, sealhulgas keskust, raadiust, kiilu, diameetrit, ümbermõõtu, tangenti, kaare, sektori ja segmenti.

Kõikides loetletud lähenemistes on näha materjalide esitamise järjekorda: ringi, kui geomeetrilist objekti, tutvustatakse pärast geomeetria aluseid nagu jooned, nurgad ja hulknurgad, eriti põhikooli tasemel. Neis õppekavades käsitletakse ringi mitte ainult kujundina, vaid fundamentaalse ideaalgeomeetrilise objektina, mis moodustab matemaatilise abstraktsiooni ja mõtlemise põhipunkti. Astume viimase väite kõrvale ja asetume õpilase rolli. Teemaks on nurk ja õpetaja püüab selgitada nurga põhijooni, sealhulgas kraade, külgi ja teisi seotud alajaotusi. Kus ilmneb ristuvate joonte punkt ruumis? Mis on ruum? Kõik need ja paljud kõrvalküsimused tekivad ettevalmistamata mõtetes, luues ebaselguse segapudru. Lõpuks kogemuse põhjal suudab korraga ainult vähesed klassikaaslased segaduse ületada ja kaosega toime tulla. Ja kus on võimalus kõik asjad õigetele kohtadele paigutada?

Nüüd lubage mul pöörduda tagasi soovitatud oskuste juurde, millega õpilane peaks olema varustatud enne fundamentaalsete geomeetriliste kujundite tundides osalemist.

Eelmainitud õppekavade põhjal olen kokku võtnud oskused, millega õpilane peaks olema kursis:

Numbrite ja aritmeetika oskused

Loendamine ja numbrite äratundmine: Tuvastada numbrid, paigutada need järjekorda ja loendada objekte täpselt. Põhitehete oskused: Liitmine, lahutamine ja lihtne korrutamine/jagamine. Murdarvud (algtasemel): Poolte, veerandite ja lihtsate kujundite ja kogumite jagamine. Tolerants / ligikaudsus: Mõista, et mõõtmistel võib olla väikseid kõrvalekaldeid; lihtne ümardamine. Algstatistika: Lihtsate diagrammide lugemine, koguste võrdlemine, rohkem/vähem mõistmine.

Mõõtmise oskused

Pikkus, kaal ja maht: objekte mõõdetakse standardsete ja mittestandardsete ühikute abil. Võrdlused: pikem / lühem, raskem / kergem, suurem / väiksem. Aeg ja kell (algteadmised): tundide, minutite ja sündmuste järjestuse mõistmine.

Ruumi- ja geomeetriline teadlikkus

Kujundi äratundmine (enne 2D kujundeid): tuvastada ringe, ristkülikuid, ruute keskkonnas. Ruumi seosed: kontseptsioonid nagu üle / alla, sees / väljas, kõrval, lähedal / kaugel. Orientatsioon ja liikumine: mõista pöördeid, rotatsioone ja sümmeetriat lihtsas vormis. Elementaarne geomeetriline tolerants: tuvastada ligikaudne pikkuste/nurkade võrdlus praktilistes ülesannetes.

Mustrid, sorteerimine ja loogika oskused

Mustri äratundmine: järjestused, kordused, kasvavad mustrid. Sorteerimine ja klassifitseerimine: objektide rühmitamine värvi, suuruse või kuju järgi. Võrdlemine ja järeldamine: kasutada sama/erinev, rohkem/vähem ja lihtsaid loogilisi seoseid.

Eelgeomeetria ettevalmistus

Jooned ja kõverad: jälgimine, joonistamine, sirgete ja kõverate joonte eristamine. Punkti mõistmine: punktide tuvastamine ruumis (täpid, ristumised lihtsates võrkudes). Põhinurgad (mitteametlikult): „nurk“, „pööre“, „käänamine“ enne formaalset mõõtmist. Lihtne koordinaatide mõtlemine: võrgud, read, veerud ja lihtsad positsiooniterminid.

Kõik need oskused on vajalikud geomeetria mõistmiseks ning kokkuvõte rõhutab järgmist:

Enne kui õpilased ametlikult geomeetrilisi kujundeid õpivad:

Neile tutvustatakse murdarve, tolerantsust, algstatistikat, mõõtmist, mustreid, ruumitaju ja loogilist mõtlemist.

Need oskused valmistavad neid ette, et käsitleda ruute, kolmnurki ja nurki ilma abstraktsiooni ülekoormuseta.

Tundub selge ja mõistlik seisukoht. Aga… oh, alati ja kõikjal need 'OH...d'!

Dogmast Eemale Astumine Võib Muuta Universumit!

Siin pakun sulle ette kujutada pööratud lähenemist materjali esitamisel ning mängulisel viisil proovime samm-sammult läbi minna õppekava, muutes järjekorda oskustest, mida õpilane peaks omandama.

Olemasolev skeem

Nurgad:

Nagu praegu, õpilane tuleb geomeetria alustalade juurde, kuid teadmised on segased. Võtame näiteks nurkade mõõtmise. Kõik lapsed teavad, et on olemas nurgad, kolm peamist nurgatüüpi: teravnurk (0°–90°), täisnurk (90°), nüri nurk (90°–180°), sirgnurk (180°), refleksnurk (180°–360°) ja täielik pöörang (360°). Aga... mis on numbrid ja kust kraadid tulevad?

Kolmnurk:

Praeguses järjekorras tutvustatakse kolmnurga põhitõdesid enne ringi käsitlemist, tuues esile peamised kolmnurgaomadused:

  1. Kolmnurga nurkade summa: Kolmnurga sisemiste nurkade summa = 180°
  2. Välinenurga teoreem: Välinenurk = vastassuunaliste sisemiste nurkade summa

Analüüs teadmiste kohta, mida õpilane ringi teema juurde toob, ning mõtlemine abstraktsete objektide ja matemaatiliste abstraktsioonide füüsilise tähenduse kohta õpilase teadvuses.

Empiiriline arusaam õpilase mõtlemisest

Kujutame ette eksperimenti:

  1. Joonista A1 paberi lehele täisnurkne kolmnurk, kasutades täisnurka baasviitena. Las külg A on 30 mm ja külg B 60 mm.
  2. Joonista nüüd joon, mis on paralleelne kolmnurga diagonaaliga kaugusel 500 mm.
  3. Seejärel konstrueeri uus täisnurkne kolmnurk, kasutades uut paralleelset joont oma diagonaali määramiseks.
  4. Külgede mõõtmete põhjal arvuta uuesti kõik suurema kolmnurga nurgad.

Nende arvutuste tulemuste põhjal leiame tavaliselt, et numbrid ületavad veidi meie mõõtevahendite tolerantsi. See võib tekitada segadust võrreldes deklareeritud postulaatidega. Siin on kahtluse hetk – ja võimalus refleksiooniks. Kasutame seda hetke õigesti! Järgi mind!

Kas mäng, mida me mängime, on piisavalt õiglane aja veetmiseks?

Kasuta käsi, tee asju ja võta preemiad

Proovime teistsugust järjekorda materjali esitamisel meie lastele. Nurgad ja kolmnurgad koos hulknurkadega jätame praegu kõrvale.

Ära karda joonlaua või kompassi nõelu ja joonista ring – see on ainus ülesanne, millega peame alustama. Ah, unustasin! Esiteks märgi punkt pliiatsi või pastapliiatsiga, aseta kompassi nõel punktile ja joonista nüüd ring!

Nüüd on meil ring. Märgin, et sel hetkel õpilane hakkab alateadlikult mõistma ringi keskust ja seda vihjet peaksime hiljem kasutama koordinaatide nullpunkti tutvustamisel. Praegu peame seda arusaamist tugevndama, hoides õpilast aktiivse uurijana.

Nüüd on meil ring. On aeg tööriista vahetada: võta joonlaud (või mis iganes) ja joonista joon läbi keskpunkti. Märgi punktid, kus joon läbib ringi. Valmis? Siin saab rakendada diameetri terminoloogiat! Võib-olla piisab täna? Sel korral oled täiesti õiges punktis!

Uus tund, uued seiklused – edasi! Seekord peaks õpilane kordama eelmise tunni kompassi operatsioone iseseisvalt ja näitama, et materjal on kindlalt meeles. Nüüd teeme praktilisi mõõtmisi. Teame diameetrit ja ringi keskust ning on aeg mõista pool-diameetrit. Siin tekib küsimus, kallid kolleegid: kuidas leida diameetri pool? Lapsed peaksid sel hetkel osalema kollektiivses teaduslikus arutelus; teie roll on ainult julgustada kõiki klassikaaslasi aktiivselt osalema. Lõpuks võib keegi märgata, et kompass on tööriist, mis annab juba õige vastuse! Suurepärane! Järgmine ülesanne on tähistada diameetri keskus selle tööriistaga õigesti. Kui see samm on tehtud, ei ole vaja lapsi üle koormata lisatöödega. On aeg joonistada ja kinnistada kogu materjal, mis koos õpilastega avastati.

Kas sulle meeldib joonistada? Siis oled teretulnud! Nüüd teame diameetrit ja radius-terminoloogia võtab oma koha siin. Fikseeritud kompassi asendi abil, mis määrati raadiuseks, mängime selle joonistusvahendiga (vihje: me mänguliselt mõistame, mis on ideaalne kolmnurk). Alustame ringide joonistamisest: aseta kompassi nõel ringile ja joonista esimene ring sama positsiooni ja kompassi kaugusega nagu põhiring. Seejärel liigu kompassi nõel järgmise ristumispunkti juurde põhiringil ja jätka nii, kuni jõuad algsesse asendisse. Meil on kuus kaunist ringi põhiringi ümber. Joonistame lille! Hurraa! Nüüd on aeg joonistada jooni. Võta suvaline rist alguspunktiks, jäta järgmine rist vahele ja joonista joon valitud ristist järgmise juurde. Jätka samamoodi, hoides alguspunkti alati joonel, mis läbib põhiringi. Oi, meil on nüüd kolm joont ja need moodustavad kolmnurga. Siin on seletamise aeg. Siin saame tutvustada mitmeid kontseptsioone: võrdsus ja sarnasust. Sarnasuse demonstreerimiseks korda sama protseduuri, kuid suurenda kompassi seadistusi nurga maksimeerimiseks. Nüüd on aeg võtta käärid! Lõika kolmnurgad välja ja võrdle kõiki kolmnurkade nurki. Kõik nurgad on võrdsed, kuid kujundid ei ole identsed! Võime vihjata, et ringil on standardmõõdud, mida nimetatakse kraadideks, ja kolmnurgad, mida saavutasime, on ideaalne kolmnurk, iga nurk mõõdab umbes 60 kraadi.

Oi, jõuame keerukamate ülesannete juurde, kuid tee on ületatav ainult nendele, kes jätkavad, seega… On aeg tutvustada kraadide kontseptsiooni. Kraadide selgitamisel võime pöörduda mõõtmiste standardiseerimise ajaloo poole ning arutada, kust tulevad meetrid, jalad, tollid, sentimeetrid ja millimeetrid. Kraadide ajalugu on pigem legendaarne kui faktipõhine; võime rääkida muinasjuttu ja selgitada sageli mainitud seost Babüloonia mõõtühikute päritoluga, kuid minu arvates peame rõhutama legendi ebamäärasust.

Olgu, samm-sammult jõuame pudelikatsete juurde. Hei piraadid, me tuleme teie pudelite järele – värisege ja kartke meid! Kõigil õpilastel on pudel, aga kuidas on köitega? Jah, meil on vaja niiti, käärid ja pudel (või klaas), kõik silindrilise kujuga. Iga õpilane peaks tegema ühe täispöörde niidiga ümber pudeli. Seejärel läheb õpetaja iga õpilase juurde lõikuri või habemenuga abil ja lõikab niidi täpselt nii, et jääk vastab silindri väliskõrgusele. Seejärel asetame pudeli paberile ja kasutame pudeli välisserva ringi joonistamise mallina. Nüüd on meil niit ja ring. On aeg määrata ringi diameeter. Võtame kompassi ja seadistame täpselt diameetri ulatuses. Seal on kaks maksimaalset vastandpunkti ning nendest punktidest loome kolmnurga ja seejärel ehitame kolmnurga vastaskujutise. Nii leiame ringi keskpunkti. See näitab õpilastele, et ringi keskpunkti määramiseks on palju võimalusi, mis on oluline geomeetrilise objekti jaoks. Liikudes edasi, on intuitiivselt selge, et manipuleeritud niit on lähedal ringi väliskõrgusele. Kasutades diameetrit, mis fikseeriti kompassi abil, arvutame, mitu korda diameeter mahub ringi pikkusesse. Selleks on vaja standardset lineaarset mõõtevahendit. Lõpuks leiame, et isegi tolerantside korral jõuavad kõik õpilased väga sarnastele tulemustele! Sellest saame järeldada, et diameetri ja ümbermõõdu suhe räägib alati ringi pikkusest ja vastupidi. Lisaks on see suhe konstant – ja see on imeline! Isegi keerukate ülesanneteni jõudmata mõistavad õpilased juba selgelt π päritolu, selle põhiväärtuse ja füüsilise tähenduse.

Siin tahan ma lihtsalt näidata, kallid kolleegid, et isegi dogmaatiline materjali järjekord saab üle vaadata, ja see ülevaade võib viia õpilased mugavama ja tõhusama õppeprotsessini. See lähenemine võib oluliselt kiirendada järgnevate materjalide mõistmist. Loomulikult esitlen seda lähenemist aruteluks ja sellised arutelud on alati teretulnud.