Perusmatematiikan ja geometrian keskeiset kysymykset

Tämä artikkeli syntyy useista syistä, joista tärkein liittyy menetelmällisiin kysymyksiin. Laajalle levinnyt epäselvyys selitystavoissa – joita toistetaan monissa oppimateriaaleissa – luo merkittäviä aukkoja oppilaiden tietopohjaan. Tämä puolestaan johtaa seurausten ketjuun, joka liittyy esitettyyn ongelmaan.

Nykyiset menetelmäkäytännöt

Kuten tavallista, keskustelun aluksi voimme tarkastella joukkoa faktoja, joista lähtökohtamme rakentuu.

Yleiset lähestymistavat

Otetaan esimerkiksi virallisia opetussuunnitelmia ja kolmen englanninkielisen maan suosituksia: Yhdysvallat, Yhdistynyt kuningaskunta ja Australia.

Yhdysvallat – esimerkkinä Study.com ja oppitunnit, jotka vastaavat Yhdysvaltain opetussuunnitelmaa ja tarjoavat selkeitä selityksiä eri ikäryhmille: Circle Definition for Kids: selittää, että ympyrä on kuvio, joka muodostuu kaarevasta viivasta, jossa kaikki pisteet ovat yhtä kaukana keskipisteestä. Circle Geometry: syventyy ympyrän ominaisuuksiin, mukaan lukien kaaret, sektorit ja muut liittyvät käsitteet.

Australia – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). AMSI tarjoaa yksityiskohtaisia opettajamoduuleja, jotka vastaavat Australian opetussuunnitelmaa ja sisältävät perusteellisia selityksiä ympyrägeometriasta: Circle Geometry Module: määrittelee ympyrän kaikkien tasossa olevien pisteiden joukoksi, jotka ovat tietyn etäisyyden (säteen) päässä keskipisteestä. Moduuli käsittelee myös käsitteitä kuten säde, halkaisija, jänne, sekantti ja symmetria.

Ja lopuksi, rakas Albionimme – Ison-Britannian kansallinen matematiikan opetussuunnitelma, joka tarjoaa rakenteellisen lähestymistavan geometrian opetukseen, mukaan lukien ympyrän ominaisuudet: Key Stage 1 & 2: oppilaiden odotetaan tunnistavan ja nimeävän yleisiä kaksiulotteisia kuvioita, mukaan lukien ympyrät, sekä ymmärtävän niiden ominaisuuksia. Key Stage 3: oppilaiden tulisi tunnistaa ja soveltaa ympyrän määritelmiä ja ominaisuuksia, mukaan lukien keskipiste, säde, jänne, halkaisija, piiri, tangentti, kaari, sektori ja segmentti.

Kaikissa mainituissa lähestymistavoissa voimme havaita järjestyksen, jossa aineisto esitetään: ympyrä geometrian objektina esitellään vasta peruskäsitteiden, kuten viivojen, kulmien ja monikulmioiden jälkeen, erityisesti ylemmillä kouluasteilla. Näissä opetussuunnitelmissa ympyrää käsitellään ei pelkästään kuviona vaan perustavanlaatuisena ideaaligeometrisena objektina, joka toimii matemaattisen abstraktion ja päättelyn lähtökohtana. Astutaan hetkeksi syrjään tästä väittämästä ja asetutaan oppilaan asemaan. Teemana on kulma, ja opettaja yrittää selittää sen keskeiset ominaisuudet – asteet, sivut ja muut jaottelut. Mutta missä syntyy piste, jossa viivat leikkaavat toisensa avaruudessa? Ja mitä on avaruus? Kaikki nämä ja monet muut kysymykset nousevat valmistautumattomassa mielessä ja luovat sekavan kokonaisuuden. Lopulta vain harvat oppilaat selviävät tästä epäjärjestyksestä ja pystyvät jäsentämään asiat. Missä on se piste, jossa kaikelle voidaan löytää oma looginen paikkansa?

Katsotaanpa nyt yleisimmin suositeltuja taitoja, joilla oppilaan tulisi varustautua ennen kuin hän aloittaa oppitunnit keskeisistä geometrisista kuvioista.

Edellä mainittujen opetussuunnitelmien perusteella olen koonnut taidot, joihin oppilaan tulisi tutustua:

Luku- ja laskutaidot

Lukujen tunnistus ja laskeminen: osata tunnistaa luvut, järjestää ne ja laskea esineitä oikein. Peruslaskutoimitukset: yhteen-, vähennyslasku sekä yksinkertainen kertolasku ja jakolasku. Murtoluvut (alkeistaso): puolikkaiden, neljäsosien ja yksinkertaisten jakamisen ymmärtäminen kuvioissa ja joukoissa. Toleranssi ja likiarvo: ymmärtää, että mittauksissa voi olla pieniä vaihteluita; yksinkertainen pyöristäminen. Alkeellinen tilastotieto: osata lukea yksinkertaisia kaavioita, vertailla määriä, ymmärtää käsitteet “enemmän/vähemmän.”

Mittaamistaidot

Pituus, paino ja tilavuus: esineiden mittaaminen epästandardeilla ja standardimitoilla. Vertailut: pidempi/lyhyempi, raskaampi/kevyempi, suurempi/pienempi. Aika ja kellot (perustaso): tuntien ja minuuttien ymmärtäminen, tapahtumien järjestäminen.

Avaruudellinen ja geometrinen hahmotuskyky

Muotojen tunnistus (ennen 2D-figuureja): ympyröiden, suorakulmioiden ja neliöiden tunnistaminen ympäristössä. Avaruudelliset suhteet: käsitteet kuten ylä/ala, sisällä/ulkona, vieressä, lähellä/kaukana. Suunta ja liike: käännösten, pyörähdysten ja symmetrian yksinkertainen ymmärtäminen. Alkeellinen geometrinen toleranssi: pituuksien/kulmien likimääräisen yhtäsuuruuden tunnistaminen käytännön tehtävissä.

Kuvioiden, lajittelun ja loogisen ajattelun taidot

Kuviotunnistus: jonot, toistot, kasvavat kuviot. Lajittelu ja luokittelu: esineiden ryhmittely värin, koon tai muodon mukaan. Vertailu ja päättely: käyttää käsitteitä “sama/erilainen,” “enemmän/vähemmän” ja yksinkertaisia loogisia yhteyksiä.

Valmistavat geometriataidot

Suorat ja kaarevat viivat: tunnistaa, jäljentää ja piirtää suoria ja kaaria. Pisteen ymmärtäminen: tunnistaa pisteitä avaruudessa (pisteitä, yksinkertaisten ruudukkojen leikkauspisteitä). Alkeelliset kulmat (epämuodollisesti): tunnistaa “kulman,” “taivutuksen,” “käännöksen” ennen virallista kulmamittausta. Yksinkertainen koordinaattiajattelu: ruudukot, rivit, sarakkeet ja yksinkertaiset sijaintikäsitteet.

Kaikki nämä taidot ovat välttämättömiä ennen siirtymistä geometrian käsitteisiin, ja yhteenveto painottaa seuraavaa:

Ennen kuin oppilaat virallisesti opiskelevat geometrisia kuvioita:

He tutustuvat murtolukuihin, toleransseihin, alkeelliseen tilastotietoon, mittaamiseen, kuvioihin, avaruudelliseen hahmottamiseen ja loogiseen ajatteluun.

Nämä taidot valmistavat heitä käsittelemään neliöitä, kolmioita ja kulmia ilman, että he hämmentyvät liiallisesta abstraktiosta.

Vaikuttaa selkeältä ja perustellulta lähestymistavalta. Mutta… aina ja kaikkialla löytyy se pieni 'mutta'!

Dogmasta irtautuminen voi muuttaa maailmankaikkeuden!

Ehdotan tässä, että kuvittelemme käänteisen lähestymistavan aineiston esittämiseen, ja leikkisällä tavalla yritämme kulkea askel askeleelta läpi opetussuunnitelman muokatussa järjestyksessä taitojen suhteen, jotka oppilaan tulisi oppia.

Nykyinen kaava

Kulmat:

Nykyään oppilas saapuu geometrian perusteisiin useiden tietojen epäselvyyksien kanssa. Otetaan esimerkkinä kulman mittaaminen. Kaikki lapset tietävät, että on olemassa kulmia, kolme päätyyppiä, ja jotain kuten terävä (0°–90°), suora (90°), tylppä (90°–180°), puolisuora (180°), ulkokulma (180°–360°) ja täysi kierto (360°). Mutta… mitä luvut oikeastaan ovat, ja mistä asteet tulevat?

Kolmio:

Nykyisessä järjestyksessä sama jatkuu: kolmion perusteet esitellään ennen kuin ympyrä ilmestyy oppilaan näkökenttään, keskeisillä kolmioon liittyvillä ominaisuuksilla:

  1. Kolmion kulmien summa: Kolmion sisäkulmien summa = 180°
  2. Ulkokulmalause: Ulkokulma = vastakkaisten sisäkulmien summa

Oppilaan ympyräteemaan tuoman tiedon analysointi sekä pohdinta abstraktien objektien esittämisestä verrattuna matemaattisten abstraktioiden fyysiseen merkitykseen oppilaan tietoisuudessa.

Empiirinen ymmärrys oppilaan ajattelutavasta.

Kuvitelkaamme koe:

  1. Piirrä suorakulmainen kolmio A1-arkille käyttäen suorakulmaa lähtökohtana. Anna sivun A pituudeksi 30 mm ja sivun B pituudeksi 60 mm.
  2. Piirrä nyt viiva, joka on yhdensuuntainen kolmion hypotenuusan kanssa 500 mm:n etäisyydellä.
  3. Seuraavaksi rakenna uusi suorakulmainen kolmio käyttäen tätä uutta yhdensuuntaista viivaa hypotenuusan määrittämiseen.
  4. Laske sivujen mittojen perusteella kaikki suuremman kolmion kulmat uudelleen.

Näiden laskujen perusteella huomaamme yleensä, että luvut ylittävät hieman mittausvälineidemme toleranssit. Tämä voi aiheuttaa hämmennystä verrattuna julistettuihin postulaatteihin. Tässä piilee epäilyn hetki – ja mahdollisuus pohdintaan. Käytetään tätä hetkeä oikein! Seuratkaa minua!

Onko leikki, jota pelaamme, riittävän reilu ajankäytön arvoiseksi?

Käytä käsiäsi, tee asioita ja saa palkintoja

Kokeillaan toisenlaista järjestystä aineiston esittämisessä lapsillemme. Kulmat ja kolmiot yhdessä monikulmioiden kanssa jätämme toistaiseksi sivuun.

Älä pelkää harpin neuloja – piirrä ympyrä, tämä on ainoa tehtävä, jolla aloitamme. Ah, melkein unohdin! Ensin laita piste kynällä tai lyijykynällä, aseta harpin neula pisteeseen ja piirrä ympyrä nyt!

Nyt meillä on ympyrä. Tässä vaiheessa oppilas alkaa tiedostamattaan ymmärtää ympyrän keskipistettä, ja meidän tulisi käyttää tätä vihjettä myöhemmin koordinaatiston nollapisteen esittelemiseen. Nyt on tärkeää vahvistaa tätä ymmärrystä pitämällä oppilas aktiivisen tutkijan roolissa.

Meillä on ympyrä. Vaihdetaan työkalua: ota viivoitin (tai mikä tahansa suora) ja piirrä viiva keskipisteen kautta. Merkitse pisteet, joissa viiva leikkaa ympyrän. Valmis? Terminologia halkaisija syntyy tässä kohdassa! Ehkä tarpeeksi tälle päivälle? Ja tällä kertaa olet täysin oikeassa kohdassa!

Uusi oppitunti, uudet seikkailut, eteenpäin! Tällä kertaa oppilaan tulisi toistaa edellisen oppitunnin harjoitukset harpin kanssa itse ja osoittaa, että aineisto on painunut mieleen. Nyt teemme käytännön mittauksia. Tunnemme halkaisijan ja ympyrän keskipisteen, ja on aika ymmärtää puoli-halkaisija. Tässä nousee kysymys: kuinka voimme löytää halkaisijan puolikkaan? Oppilaiden tulisi osallistua yhteiseen tieteelliseen keskusteluun tässä vaiheessa; sinun tehtäväsi on vain rohkaista kaikkia osallistumaan aktiivisesti. Joku saattaa lopulta huomata, että harppi on työkalu, joka jo antaa oikean vastauksen! Hienoa! Seuraava tehtävä on merkitä halkaisijan keskipiste oikein. Kun tämä vaihe on suoritettu, ei ole tarpeen kuormittaa lapsia ylimääräisillä tehtävillä. On aika piirtää ja vahvistaa kaikki, mitä on jo yhdessä löydetty.

Pidätkö piirtämisestä? Tervetuloa mukaan! Nyt tiedämme halkaisijan, ja terminologia säde tulee käyttöön. Käytetään harppia, joka on asetettu säteen mittaan, ja leikitään tällä työkalulla (vihje: ymmärrämme leikkisästi, mikä on ideaalinen kolmio). Aloita piirtämällä ympyröitä: aseta harpin neula ympyrän pisteeseen ja piirrä ensimmäinen ympyrä samalla asetuksella. Siirrä harpin neula seuraavaan leikkauspisteeseen perusympyrällä ja jatka näin, kunnes palaamme lähtöpisteeseen. Meillä on kuusi kaunista ympyrää perusympyrän ympärillä. Piirrämme Kukan! Hurraa! Nyt on aika piirtää viivoja. Ota mikä tahansa risteys lähtökohdaksi, ohita seuraava ja piirrä viiva siitä seuraavaan. Jatka samalla tavalla, aina aloittaen viiva perusympyrän leikkauspisteestä. Hups, nyt meillä on kolme viivaa, ja ne muodostavat kolmion. Nyt on selityksen aika. Tässä voimme esitellä useita käsitteitä: yhtäsuuruus ja yhdenmukaisuus. Yhdenmukaisuuden osoittamiseksi toista sama prosessi, mutta laajenna harppia mahdollisimman suureen kulmaan. Nyt on aika ottaa sakset! Leikkaa kolmiot irti ja vertaa kaikkien kulmia. Kaikki kulmat ovat yhtäsuuria, mutta kuviot eivät ole identtisiä! Voimme vihjata, että ympyrällä on standardimittauksia, joita kutsutaan asteiksi, ja että saavuttamamme kolmiot ovat ideaalikolmioita, joiden kulma on noin 60 astetta.

Oho, olemme siirtymässä monimutkaisempiin tehtäviin, mutta polun voittavat vain ne, jotka jatkavat kulkuaan, joten… On aika esitellä asteiden käsite. Asteita selittäessämme voimme kääntyä mittayksiköiden standardoinnin historiaan ja keskustella, mistä metrit, jalat, tuumat, senttimetrit ja millimetrit ovat peräisin. Asteiden historia on enemmän legendaa kuin faktaa; voimme kertoa tarinan ja selittää yleisesti mainitun yhteyden Babylonin mittayksiköihin, mutta mielestäni meidän tulee painottaa legendan epävarmuutta.

Hyvä, askel askeleelta lähestymme pullokokeita. Hei merirosvot, me tulemme pullojanne kohti – vapiskaa ja pelätkää! Jokaisella oppilaalla on pullo, ja mitä köysistä? Tarvitsemme lankaa, sakset ja pullon (tai lasin), kaikki sylinterin muotoisia. Jokaisen oppilaan tulee kiertää lanka kerran pullon ympäri. Opettaja leikkaa sitten langan tarkasti niin, että se vastaa sylinterin ulkoympyrää. Sitten asetamme pullon paperille ja käytämme pullon ulkoreunaa mallina ympyrän piirtämiseen. Nyt meillä on lanka ja ympyrä. On aika määrittää ympyrän halkaisija. Käytämme harppia ja asetamme sen täsmälleen ympyrän halkaisijan mittaan. Löydämme kaksi vastakkaista pistettä ja muodostamme kolmion, sitten rakennamme sen peilikuvan. Näin löydämme ympyrän keskipisteen. Tämä osoittaa oppilaille, että on monia tapoja määrittää ympyrän keskipiste, mikä on olennaista ympyrän geometristen ominaisuuksien ymmärtämisessä. Eteenpäin! On intuitiivisesti selvää, että lanka vastaa ympyrän kehän pituutta. Käyttäen harpin määrittämää halkaisijaa lasketaan, kuinka monta kertaa halkaisija mahtuu ympyrän kehälle. Tässä tarvitaan tavallista viivainta. Lopulta huomaamme, että jopa toleransseilla kaikki oppilaat saavat hyvin lähellä olevia tuloksia! Tästä voimme päätellä, että halkaisijan ja kehän suhde kertoo aina ympyrän pituudesta ja päinvastoin. Lisäksi tämä suhde on vakio – ja se on ihmeellistä! Oppilaat ymmärtävät π:n alkuperän, sen arvon ja fyysisen merkityksen selkeästi ilman, että edes lähestytään monimutkaisempia tehtäviä.

Haluan vain näyttää teille, hyvät kollegat, että jopa dogmaattista aineiston järjestystä voidaan tarkistaa, ja tämä tarkistus voi johtaa oppilaille mukavampaan ja tehokkaampaan oppimisprosessiin. Tämä lähestymistapa voi merkittävästi nopeuttaa seuraavan aineiston ymmärtämistä. Tietenkin esitän tämän lähestymistavan keskusteltavaksi, ja sellaiset keskustelut ovat aina tervetulleita.