Problèmes fondamentaux en mathématiques et géométrie de base

Cet article est publié pour plusieurs raisons, la principale étant les problèmes méthodologiques. L'obscurité répandue dans les approches explicatives—reproduite dans de nombreux tutoriels et supports pédagogiques—crée d'importantes lacunes dans les connaissances des élèves, ce qui entraîne une chaîne de conséquences liées au problème décrit.

Approches méthodologiques existantes

Comme d'habitude, pour commencer notre discussion, nous pouvons poser un ensemble de faits, d'où le chemin prendra sa place au début.

Approches communes

Prenons comme exemples les programmes officiels et recommandations de trois pays anglophones : États-Unis, Royaume-Uni et Australie.

Les États-Unis sont représentés par Study.com, avec des leçons alignées sur les normes éducatives américaines, offrant des explications claires adaptées à différents niveaux scolaires : Définition du cercle pour les enfants : explique qu’un cercle est une forme composée d’une ligne courbe où tous les points sont à égale distance du centre. Géométrie du cercle : examine les propriétés des cercles, y compris les définitions et des exemples d'arcs, secteurs et autres concepts connexes.

Australie – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). L'AMSI propose des modules détaillés pour enseignants, conformes au programme australien, offrant des explications approfondies sur la géométrie du cercle : Module de géométrie du cercle : définit un cercle comme l'ensemble des points d'un plan situés à une distance fixe (le rayon) d’un point fixe (le centre). Il couvre également des concepts connexes tels que le rayon, le diamètre, la corde, la sécante et la symétrie.

Et, comme un dessert, notre cher Albion est représenté par le National Curriculum for Mathematics du Royaume-Uni, qui propose une approche structurée de l'enseignement de la géométrie, y compris les propriétés des cercles : Key Stage 1 & 2 : Les élèves doivent reconnaître et nommer les formes 2D courantes, y compris les cercles, et comprendre leurs propriétés. Key Stage 3 : Les élèves doivent être capables d'identifier et d'appliquer les définitions et propriétés du cercle, y compris le centre, le rayon, la corde, le diamètre, la circonférence, la tangente, l'arc, le secteur et le segment.

Dans toutes ces approches, nous pouvons observer un ordre dans lequel le matériel est présenté : le cercle, en tant qu'objet géométrique, est introduit après les concepts fondamentaux de la géométrie tels que les lignes, les angles et les polygones, en particulier aux niveaux post-primaires. Dans tous ces programmes, le cercle est traité non seulement comme une figure, mais comme un objet géométrique idéal fondamental, servant de point de référence pour l'abstraction et le raisonnement mathématique. Mettons-nous dans la peau de l'élève. Le thème est un angle, et l'enseignant essaie d'expliquer les principales caractéristiques de l'angle, y compris les degrés, les côtés et toutes les subdivisions connexes. Où apparaît le point des lignes intersectées dans l'espace ? Qu'est-ce que l'espace ? Toutes ces questions, et bien d'autres, naissent dans un esprit non préparé, créant un véritable saladier d'obscurité. Enfin, d'après l'expérience, seuls quelques camarades de classe réussiront à faire face au désordre et à surmonter le chaos des images désordonnées. Et où se trouve le point permettant de ranger toutes ces notions à leur place ?

Revenons maintenant aux compétences couramment recommandées que l'élève doit posséder avant d'aborder les leçons sur les figures géométriques fondamentales.

D'après les approches curriculaires mentionnées, j'ai résumé les compétences que l'élève devrait connaître :

Compétences numériques et arithmétiques

Comptage et reconnaissance des nombres : reconnaître les nombres, les ordonner et compter les objets avec précision. Opérations de base : addition, soustraction et concepts simples de multiplication/division. Fractions (niveau élémentaire) : comprendre les moitiés, quarts, et partitions simples de formes et d'ensembles. Tolérance/approximation : reconnaître que les mesures peuvent varier légèrement ; arrondis simples. Statistiques élémentaires : lire des graphiques simples, comparer des quantités, comprendre « plus/moins ».

Compétences en mesure

Longueur, poids et volume : utiliser des unités non standard et standard pour mesurer des objets. Comparaisons : plus long/plus court, plus lourd/plus léger, plus grand/plus petit. Temps et horloges (de base) : comprendre les heures, les minutes, séquencer les événements.

Conscience spatiale et géométrique

Reconnaissance des formes (pré-figures 2D) : identifier les cercles, rectangles, carrés dans l'environnement. Relations spatiales : concepts comme au-dessus/en-dessous, à l'intérieur/à l'extérieur, à côté/près/loin. Orientation et mouvement : comprendre les rotations, les symétries de façon simple. Tolérance géométrique élémentaire : reconnaître l'égalité approximative des longueurs/angles dans des tâches pratiques.

Motifs, tri et raisonnement logique

Reconnaissance de motifs : séquences, répétitions, motifs croissants. Tri et classification : regrouper les objets par couleur, taille ou forme. Comparaisons et raisonnement : utiliser « même/différent », « plus/moins » et des liens logiques simples.

Préparation à la géométrie

Lignes et courbes : tracer, dessiner et identifier les lignes droites et courbes. Compréhension des points : identifier des points dans l'espace (points, intersections dans des grilles simples). Angles de base (informel) : reconnaître les « coins », « coudes », « virages » avant la mesure formelle. Pensée coordonnée simple : grilles, lignes, colonnes et termes de position simples.

Toutes ces compétences sont nécessaires pour aborder le concept de géométrie, et le résumé insiste sur ce qui suit :

Avant que les élèves n'apprennent formellement les figures géométriques :

Ils sont initiés aux fractions, tolérances, statistiques élémentaires, mesures, motifs, raisonnement spatial et logique.

Ces compétences les préparent à manipuler carrés, triangles et angles sans être submergés par l'abstraction.

Cela semble clair et raisonnable. Mais... Oh, partout et toujours ces 'OH...s' !

S'écarter du dogme peut changer l'univers !

Je vous propose ici d’imaginer une approche inversée pour présenter le matériel, et de manière ludique nous allons essayer de parcourir étape par étape le programme avec un ordre modifié des compétences que l’élève doit acquérir.

Schéma existant

Angles :

Actuellement, l'élève arrive aux fondamentaux de la géométrie avec des connaissances parfois obscures. Prenons les mesures d’angles. Tous les enfants savent qu’il existe des angles, trois principaux types, et certains comme aigu (0°–90°), droit (90°), obtus (90°–180°), plat (180°), rentrant (180°–360°), et complet ou rotation totale (360°). Mais… que représentent ces nombres, et d’où viennent les degrés ?

Triangle :

Dans l'ordre actuel, les bases du triangle sont présentées avant que le cercle n’apparaisse à l’horizon de l’élève, avec les principales caractéristiques liées au triangle :

  1. Somme des angles d’un triangle : somme des angles intérieurs d’un triangle = 180°
  2. Théorème de l’angle extérieur : angle extérieur = somme des angles intérieurs opposés

Analyse des connaissances que l'élève apporte au thème du cercle, et raisonnement sur la représentation des objets abstraits par rapport au sens physique des abstractions mathématiques dans la conscience de l'élève.

Compréhension empirique de la manière de penser de l’élève.

Imaginons une expérience :

  1. Dessinez un triangle rectangle sur une feuille de papier A1, en utilisant l’angle droit comme référence de base. Que le côté A mesure 30 mm et le côté B 60 mm.
  2. Tracez maintenant une ligne parallèle à la diagonale du triangle à une distance de 500 mm.
  3. Ensuite, construisez un nouveau triangle rectangle, en utilisant cette nouvelle ligne parallèle pour définir sa diagonale.
  4. Sur la base des mesures des côtés, recalculer tous les angles du triangle plus grand.

D’après les résultats de ces calculs, nous constaterons généralement que les nombres dépassent légèrement les tolérances de nos outils de mesure. Ce résultat peut créer de la confusion lorsqu’on le compare aux postulats déclarés. Ici se trouve le point de doute—et l’occasion de réflexion. Utilisons ce moment à bon escient ! Suivez-moi !

Le jeu auquel nous jouons est-il assez juste pour passer du temps dessus ?

Utilisez vos mains, pensez et prenez des récompenses

Essayons un autre ordre pour présenter le matériel à nos enfants. Les angles et les triangles, ainsi que les polygones, nous les laissons de côté pour l’instant.

N’ayez pas peur des pointes du compas, et tracez le cercle, c’est la seule tâche que nous devons commencer, ah, j’ai oublié ! Tout d’abord, marquez le point avec un stylo ou un crayon, placez la pointe du compas sur ce point et tracez maintenant le cercle !

Maintenant, nous avons un cercle. Je note qu’à ce stade l’élève commence inconsciemment à comprendre le centre du cercle, et nous devrions utiliser cet indice pour introduire plus tard le point zéro des coordonnées. Pour l’instant, nous devons renforcer cette compréhension en maintenant l’élève dans le rôle d’explorateur actif.

Nous avons donc un cercle. Il est temps de changer d’outil : prenez une règle (ou ce que vous voulez) et tracez une ligne passant par le point central. Marquez les points où la ligne traverse le cercle. Fait ? La terminologie du diamètre intervient ici ! Peut-être que c’est suffisant pour aujourd’hui ? Et cette fois, vous êtes absolument au bon endroit !

Nouvelle leçon, nouvelles aventures, allons-y ! Cette fois, l’élève doit répéter lui-même les opérations de la leçon précédente avec le compas, et démontrer que le matériel est bien mémorisé. Nous passons maintenant aux mesures pratiques. Nous connaissons le diamètre et le centre du cercle, et il est temps de comprendre le demi-diamètre. Voici la question, chers collègues : comment trouver le demi-diamètre du diamètre ? Les enfants doivent participer à une discussion scientifique collective à ce moment ; votre rôle est simplement d’encourager tous les camarades à participer activement. Finalement, quelqu’un remarquera peut-être que le compas est l’outil qui donne déjà la bonne réponse ! Super ! La tâche suivante consiste à marquer correctement le centre du diamètre avec cet outil. Une fois cette étape terminée, il n’est pas nécessaire de surcharger les enfants avec des tâches supplémentaires. Il est temps de dessiner et de consolider tout le matériel découvert avec vous.

Aimez-vous dessiner ? Alors, vous êtes les bienvenus ! Nous connaissons maintenant le diamètre, et la terminologie du rayon prend sa place ici. En utilisant la position du compas fixée comme rayon, jouons avec cet outil de dessin (indice : nous allons comprendre de manière ludique ce qu’est un triangle idéal). Commencez par tracer des cercles : placez la pointe du compas sur le cercle et tracez le premier cercle avec la même position et distance du compas que le cercle de base. Puis déplacez la pointe du compas jusqu’au prochain point d’intersection sur le cercle de base, et continuez ainsi jusqu’à revenir à la position initiale. Nous avons six beaux cercles autour du cercle de base. Nous dessinons la Fleur ! Hourra ! Maintenant, il est temps de tracer des lignes. Prenez n’importe quelle croix comme point de départ, sautez la croix suivante et tracez une ligne de la croix choisie à la suivante. Continuez de cette manière, le point de départ étant toujours la ligne traversant le cercle de base. Oups, nous avons maintenant trois lignes, et elles forment un triangle. C’est le moment des explications. Ici, nous pouvons introduire plusieurs concepts : égalité et similarité. Pour démontrer la similarité, répétez la même procédure mais étendez les réglages du compas pour maximiser l’angle. Maintenant, il est temps de prendre des ciseaux ! Découpons les triangles et comparons tous les angles des formes triangulaires obtenues. Tous les angles sont égaux, mais les figures ne sont pas identiques ! Nous pouvons suggérer que le cercle possède certaines mesures standard appelées degrés, et les triangles que nous avons obtenus sont appelés triangles idéaux, chaque angle mesurant environ 60 degrés.

Oups, nous arrivons à des tâches complexes, mais le chemin est surmonté uniquement par ceux qui continuent, alors… il est temps d’introduire le concept de degrés. En expliquant les degrés, nous pouvons évoquer l’histoire de la normalisation des mesures et discuter de l’origine des mètres, pieds, pouces, centimètres et millimètres. L’histoire des degrés est plus légendaire que factuelle ; nous pouvons raconter le conte et expliquer le lien souvent cité avec les origines babyloniennes des unités de mesure, mais à mon avis, nous devons souligner l’ambiguïté de cette légende.

Très bien, étape par étape nous approchons des expériences avec les bouteilles. Hé, pirates, nous venons chercher vos bouteilles—tremblez et craignez-nous ! Tous les élèves ont une bouteille, et les cordes alors ? En effet, nous avons besoin de fil, de ciseaux et d’une bouteille (ou verre), tous cylindriques. Chaque élève doit faire une rotation complète avec le fil autour de la bouteille. L’enseignant vient ensuite à chaque élève avec un cutter ou un rasoir et coupe le fil exactement pour que le reste corresponde au cercle extérieur du cylindre. Nous plaçons ensuite la bouteille sur la feuille et utilisons le bord extérieur de la bouteille comme gabarit pour tracer le cercle. Nous avons maintenant un fil et un cercle. Il est temps de définir le diamètre du cercle. Nous devons prendre un compas et le régler exactement sur le diamètre du cercle. Il y aura deux points opposés maximaux, et à partir de ces points, nous construisons un triangle, puis son miroir opposé. De cette façon, nous trouvons le centre du cercle. Cela montre aux élèves qu’il existe de nombreuses façons de définir la position du centre, essentielle pour le cercle en tant qu’objet géométrique. En avançant, il est intuitivement clair que le fil manipulé est proche de la longueur de la circonférence extérieure du cercle. En utilisant le diamètre fixé par le compas, calculons combien de fois le diamètre peut être pris dans la longueur du cercle. Ici, un outil de mesure linéaire standard est nécessaire. Enfin, nous constaterons qu’avec les tolérances, tous les élèves arrivent à des résultats très proches ! Ainsi, nous pouvons supposer que la proportion du diamètre par rapport à la circonférence renseigne toujours sur la longueur du cercle, et inversement. De plus, cette proportion est une constante—et c’est merveilleux ! Sans même aborder des tâches complexes, les élèves comprennent déjà clairement l’origine de π, sa valeur principale et son sens physique.

Je veux simplement vous montrer, chers collègues, que même un ordre dogmatique du matériel peut être révisé, et cette révision peut conduire les élèves à un apprentissage plus confortable et efficace. Cette approche peut accélérer considérablement la compréhension des matériels suivants. Bien sûr, je présente cette approche pour discussion, et ces discussions sont toujours les bienvenues.