Pagrindinės problemos pagrindinėje matematikoje ir geometrijoje

Šis straipsnis atsirado dėl kelių priežasčių, pagrindinė iš jų – metodologinės problemos. Plačiai paplitęs neaiškumas aiškinimo požiūriuose – pasikartojantis daugelyje pamokų ir mokymo medžiagos – sukuria reikšmingas spragas mokinių žinių bazėje, o tai savo ruožtu lemia pasekmių grandinę, susijusią su išdėstyta problema.

Esami metodologiniai požiūriai

Kaip įprasta. Pradėdami mūsų diskusiją, galime turėti faktų rinkinį, kurio pradžioje turėsime vietą pradėti.

Įprasti požiūriai

Paimkime pavyzdžiu oficialias programas ir trijų anglų kalbą kalbančių šalių rekomendacijas: Jungtinės Amerikos Valstijos, Jungtinė Karalystė ir Australija.

JAV atstovauja Study.com, siūlančios pamokas, atitinkančias JAV švietimo standartus, su aiškiais paaiškinimais, tinkamais įvairiems klasių lygiams: Vaikams skirtas apskritimo apibrėžimas: paaiškinama, kad apskritimas yra forma, sudaryta iš lenktos linijos, kur visi taškai yra vienodame atstume nuo centro. Apskritimo geometrija: gilinamasi į apskritimų savybes, įskaitant lankų, sektorių ir kitų susijusių sąvokų apibrėžimus bei pavyzdžius.

Australija – Australijos matematikos mokslų institutas (AMSI). AMSI pateikia išsamius mokytojų modulius, atitinkančius Australijos programą, siūlydami gilius apskritimo geometrijos paaiškinimus: Apskritimo geometrijos modulis: apibrėžia apskritimą kaip visų taškų plokštumoje, esančių fiksuotu atstumu (spinduliu) nuo fiksuoto taško (centro) rinkinį. Taip pat aptariamos susijusios sąvokos, tokios kaip spindulys, skersmuo, styga, sekantas ir simetrija.

Ir, kaip desertą, mūsų mylima Albioną atstovauja JK nacionalinė matematikos programa, kuri suteikia struktūrizuotą požiūrį į geometrijos mokymą, įskaitant apskritimų savybes: Pagrindinis etapas 1 & 2: mokiniai turėtų atpažinti ir įvardyti įprastas 2D figūras, įskaitant apskritimus, ir suprasti jų savybes. Pagrindinis etapas 3: mokiniai turėtų sugebėti identifikuoti ir taikyti apskritimų apibrėžimus bei savybes, įskaitant centrą, spindulį, stygą, skersmenį, perimetrą, liestines, lankus, sektorius ir segmentus.

Visuose išvardytuose požiūriuose galima pastebėti medžiagos pateikimo tvarką: apskritimas kaip geometrinis objektas pristatomas po pagrindinių geometrinių sąvokų, tokių kaip linijos, kampai ir daugiakampiai, ypač po pagrindinio mokymo lygių. Šiose programose apskritimas laikomas ne tik figūra, bet ir fundamentaliu idealiu geometriniu objektu, sudarančiu pagrindinį matematinės abstrakcijos ir samprotavimo atskaitos tašką. Žengkime žingsnį atgal nuo paskutinio teiginio ir įsivaizduokime save mokinio vietoje. Tema yra kampas, ir mokytojas bando paaiškinti pagrindines kampo savybes, įskaitant laipsnius, šonus ir visas kitas susijusias dalis. Kur atsiranda susikertančių linijų taškas erdvėje? Kas yra erdvė? Visos šios ir daugelis kitų šalutinių klausimų kyla neparuoštoje galvoje, sukuriant sumaišties salotas. Galiausiai, iš patirties, tik keli klasės draugai susidoroja su netvarka ir įveikia nesutvarkytų vaizdų chaosą. Ir kur yra galimybė viską sudėti į tinkamas vietas?

Dabar leiskite jums priminti įprastai rekomenduojamus įgūdžius, kuriais mokinys turėtų būti aprūpintas prieš pradedant pamokas apie pagrindines geometrines figūras.

Remiantis minėtais programų požiūriais, aš apibendrinau įgūdžius, kuriais mokinys turėtų būti susipažinęs:

Skaičių ir aritmetikos įgūdžiai

Skaičiavimas ir skaičių atpažinimas: atpažinti skaičius, juos išrikiuoti ir tiksliai skaičiuoti objektus. Pagrindinės operacijos: sudėtis, atimtis ir paprastos daugybos / dalybos sąvokos. Daliniai skaičiai (pradinio lygio): pusės, ketvirtinės dalys, paprastas formų ir rinkinių padalijimas. Tolerancija / apytikslumas: suprasti, kad matavimai gali šiek tiek skirtis; paprastas suapvalinimas. Pagrindinė statistika: skaityti paprastus grafikus, lyginti kiekius, suprasti „daugiau / mažiau“.

Matavimo įgūdžiai

Ilgis, svoris ir tūris: objektų matavimas naudojant nestandartines ir standartines vienetus. Palyginimai: ilgesnis / trumpesnis, sunkesnis / lengvesnis, didesnis / mažesnis. Laikas ir laikrodžiai (pagrindiniai): suprasti valandas, minutes, įvykių seką.

Erdvinis ir geometrinis supratimas

Formų atpažinimas (prieš 2D figūras): atpažinti apskritimus, stačiakampius, kvadratus aplinkoje. Erdviniai santykiai: sąvokos kaip viršuje / apačioje, viduje / išorėje, šalia / toli. Orientacija ir judėjimas: suprasti posūkius, pasisukimus, simetriją paprasta forma. Pagrindinė geometrinė tolerancija: atpažinti apytikslį ilgių / kampų lygumą praktiniuose uždaviniuose.

Modelių, rūšiavimo ir loginiai įgūdžiai

Modelių atpažinimas: sekos, pasikartojimai, augantys modeliai. Rūšiavimas ir klasifikavimas: grupuoti objektus pagal spalvą, dydį ar formą. Palyginimai ir samprotavimas: naudoti „tas pats / skirtingas“, „daugiau / mažiau“ ir pagrindinius loginės sąsajos principus.

Paruošimas geometrijai

Linijos ir kreivės: sekimas, piešimas, tiesių ir kreivų linijų atpažinimas. Taško supratimas: atpažinti taškus erdvėje (taškai, sankirtos paprastuose tinkleliuose). Pagrindiniai kampai (neformaliai): atpažinti „kampą“, „lenkimą“, „posūkį“ prieš oficialų kampo matavimą. Paprastas koordinatų mąstymas: tinkleliai, eilutės, stulpeliai, paprastos pozicinės sąvokos.

Visi šie įgūdžiai yra būtini, kad būtų galima pereiti prie geometrijos koncepcijos, ir apibendrintas santrauka pabrėžia tai:

Prieš mokiniams oficialiai išmokstant geometrines figūras:

Jie supažindinami su daliniais skaičiais, tolerancijomis, pagrindine statistika, matavimais, modeliavimu, erdviniu mąstymu ir loginio mąstymo įgūdžiais.

Šie įgūdžiai paruošia juos tvarkyti kvadratus, trikampius ir kampus be per didelio abstrakcijos apkrovimo.

Atrodo aiški ir pagrįsta pozicija. Bet… O, visada ir visur šie „O…“!

Atsitraukimas nuo dogmos gali pakeisti pasaulį!

Čia siūlau jums įsivaizduoti atvirkštinį medžiagos pateikimo požiūrį, ir žaismingu būdu mes bandysime žingsnis po žingsnio pereiti per mokymo programą su modifikuota įgūdžių tvarka, kuriuos mokinys turėtų išmokti.

Esama schema

Kampai:

Kaip dabar, mokinys ateina į geometrijos pagrindus turėdamas kelių žinių neaiškumą. Paimkime kampų matavimus. Vaikai žino, kad yra kampai, trys pagrindiniai kampų tipai, tokie kaip stačias (0°–90°), statusis (90°), bukas (90°–180°), lygus (180°), atvirkštinis (180°–360°) ir pilnas sukimas (360°). Bet... Kas yra šie skaičiai ir iš kur atsiranda laipsniai?

Trikampis:

Dabartine tvarka, taip pat, trikampio pagrindai išdėstyti prieš apskritimus pasiekia mokinio regos lauką, su pagrindinėmis trikampio savybėmis:

  1. Trikampio kampų suma: trikampio vidinių kampų suma = 180°
  2. Išorinio kampo teorema: išorinis kampas = priešingų vidinių kampų suma

Mokinio žinių analizė apie apskritimo temą ir samprotavimas apie abstrakčių objektų reprezentaciją prieš matematikos abstrakcijos fizinę prasmę mokinio sąmonėje.

Empirinė mokinio mąstymo būdo analizė

Įsivaizduokime eksperimentą:

  1. Nupieškite stačiakampį trikampį ant A1 formato lapo, naudodami status kampą kaip pagrindinę atskaitos liniją. Tegul kraštinė A būtų 30 mm, o kraštinė B – 60 mm.
  2. Dabar nupieškite liniją lygiagrečią trikampio įstrižinei 500 mm atstumu.
  3. Tada sukonstruokite naują stačiakampį trikampį, naudodami šią naują lygiagrečią liniją kaip įstrižinės pagrindą.
  4. Remdamiesi kraštinių matavimais, perskaičiuokite visus didesnio trikampio kampus.

Remiantis šių skaičiavimų rezultatais, paprastai pastebime, kad skaičiai šiek tiek viršija mūsų matavimo įrankių tolerancijas. Šis rezultatas gali sukelti painiavą, palyginti su deklaruotais postulatais. Čia slypi abejonės taškas – ir galimybė apmąstymui. Pasinaudokime šiuo momentu tinkamai! Sekite mane!

Ar žaidimas, kurį žaidžiame, pakankamai sąžiningas, kad būtų verta laiko?

Naudokite rankas, veikite ir gaukite atlygį

Pabandykime kitą medžiagos pateikimo tvarką mūsų vaikams. Kampus ir trikampius kartu su daugiakampiais paliksime kol kas nuošalyje.

Nebijokite kompaso adatos ir nupieškite apskritimą, tai tik užduotis, nuo kurios reikia pradėti. O, pamiršau! Pirmiausia pažymėkite tašką pieštuku ar rašikliu, uždėkite kompaso adatą ant taško ir dabar nupieškite apskritimą!

Dabar turime apskritimą. Pastebėkite, kad šiuo metu mokinys pasąmoningai pradeda suprasti apskritimo centrą, ir mes turėtume panaudoti šį užuominą, kad vėliau pristatytume koordinatės nulio tašką. Dabar reikia stiprinti šį supratimą, laikant mokinį aktyvaus tyrinėtojo rolėje.

Taigi, turime apskritimą. Laikas pakeisti įrankį: paimkite liniją (linijinė, ar bet ką) ir nupieškite liniją per centrinį tašką. Pažymėkite taškus, kur linija kerta apskritimą. Padaryta? Čia pasirodo skersmens terminologija! Gal užtenka šiandien? Šį kartą esate visiškai teisingoje vietoje!

Nauja pamoka, nauji nuotykiai, pirmyn! Šį kartą mokinys turėtų pakartoti ankstesnės pamokos veiksmus su kompasu pats ir parodyti, kad medžiaga iš ankstesnės pamokos gerai įsiminta. Dabar atliekame praktinius matavimus. Mes žinome apskritimo skersmenį ir centrą, ir laikas suprasti pusiau skersmenį. Čia kyla klausimas, mieli kolegos: kaip galime rasti pusiau skersmenį? Vaikai turėtų šiame momentu dalyvauti kolektyvinėje mokslinėje diskusijoje; jūsų rolė – tik skatinti visus klasės draugus aktyviai dalyvauti. Galiausiai, kažkas gali pastebėti, kad kompasas yra įrankis, kuris jau suteikia teisingą atsakymą! Puiku! Kitas uždavinys – pažymėti skersmens centrą šiuo įrankiu tinkamai. Kai šis žingsnis atliktas, nereikia apkrauti vaikų papildomomis užduotimis. Laikas piešti ir konsoliduoti visą medžiagą, kurią atradome kartu su jumis.

Ar mėgstate piešti? Tuomet sveiki atvykę! Dabar žinome skersmenį, ir čia atsiranda spindulio terminologija. Remiantis fiksuota kompaso pozicija, nustatyta kaip spindulys, pažaikime su šiuo piešimo įrankiu (užuomina: žaismingai suprasime, kas yra idealus trikampis). Pradėkite piešti apskritimus: padėkite kompaso adatą ant apskritimo ir nupieškite pirmą apskritimą tokiu pačiu atstumu ir pozicija kaip pagrindinis apskritimas. Tada perkelkite kompaso adatą į kitą pagrindinio apskritimo sankirtos žymę ir tęskite tol, kol grįšite į pradinę poziciją. Turime šešis gražius apskritimus aplink pagrindinį apskritimą. Piešiame Gėlę! Valio! Dabar laikas piešti linijas. Pasirinkite bet kokį kryžių kaip pradžios tašką, praleiskite kitą kryžių ir nupieškite liniją nuo pasirinkto kryžiaus iki kito. Tęskite tokiu būdu, visada pradedant nuo linijos, kirtančios pagrindinį apskritimą. Opa, dabar turime tris linijas, jos sudaro trikampį. Laikas paaiškinimams. Čia galime pristatyti kelias sąvokas: lygybė ir panašumas. Norint parodyti panašumą, pakartokite tą patį veiksmą, bet išplėskite kompaso nustatymus, kad padidintumėte kampą. Dabar laikas paimti žirkles! Iškirpkime trikampius ir palyginkime visus trikampių kampus. Visi kampai lygūs, bet figūros nėra identiškos! Galime užsiminti, kad apskritimas turi standartinius matavimus, vadinamus laipsniais, o trikampiai, kuriuos gavome, vadinami idealiais trikampiais, kiekvieno kampas matuojamas maždaug 60 laipsnių.

Opa, artėjame prie sudėtingų užduočių, bet kelią įveikia tik tie, kurie tęsia, todėl… Laikas pristatyti laipsnių sąvoką. Paaiškinant laipsnius, galime pasukti į matavimų standartizacijos istoriją ir aptarti, iš kur atsirado metrai, pėdos, coliai, centimetrai ir milimetrai. Laipsnių istorija labiau legenda nei faktas; galime papasakoti pasaką ir paaiškinti dažnai cituojamą ryšį su Babylono kilmės matavimo vienetais, bet mano nuomone, reikia pabrėžti šios legendos dviprasmiškumą.

Gerai, žingsnis po žingsnio priartėjame prie butelių eksperimentų. Ei, piratai, ateiname dėl jūsų butelių – drebėkite ir bijokite mūsų! Kiekvienas mokinys turi butelį, o kaip dėl virvelių? Iš tiesų, mums reikia siūlo, žirklių ir butelio (ar stiklo), visi cilindrinės formos. Kiekvienas mokinys turi vieną kartą apvynioti siūlą aplink butelį. Tada mokytojas prieina prie kiekvieno mokinio su peiliu ar skutimosi peiliuku ir tiksliai nukerpa siūlą, kad likutis atitiktų cilindro išorinį apskritimą. Tada dedame butelį ant popieriaus ir naudojame butelio išorinį kraštą kaip šabloną apskritimo piešimui. Dabar turime siūlą ir apskritimą. Laikas apibrėžti apskritimo skersmenį. Paimkime kompasą ir nustatykime jį tiksliai pagal apskritimo skersmenį. Bus du maksimalūs priešingi taškai, ir iš šių taškų sukuriame trikampį, tada statome trikampio priešingą veidrodį. Tokiu būdu randame apskritimo centrą. Tai parodo mokiniams, kad yra daug būdų apibrėžti apskritimo centro padėtį, kas yra esminė apskritimui kaip geometriniam objektui. Judant toliau, intuityviai aišku, kad siūlas, kurį manipuliavome, yra arti apskritimo išorinės apimties ilgio. Naudodami kompasu nustatytą skersmenį, apskaičiuokime, kiek kartų skersmuo tilps į apskritimo ilgį. Tam reikalingas standartinis linijinis matavimo įrankis. Galiausiai pastebėsime, kad net su tolerancijomis visi mokiniai pasiekia labai artimus rezultatus! Iš to galime manyti, kad skersmens ir apskritimo santykis visada nurodo apskritimo ilgį, ir atvirkščiai. Be to, šis santykis yra pastovus – ir tai nuostabu! Net nepriėję prie sudėtingų užduočių, mokiniai jau aiškiai supranta π kilmę, jos pagrindinę reikšmę ir fizinę prasmę.

Čia tiesiog noriu parodyti, mano mieli kolegos, kad net dogmatiškas medžiagos išdėstymas gali būti peržiūrėtas, ir ši peržiūra gali nukreipti mokinius į patogesnį ir efektyvesnį mokymosi procesą. Šis požiūris gali žymiai pagreitinti vėlesnės medžiagos supratimą. Žinoma, aš pateikiu šį požiūrį diskusijai, ir tokios diskusijos visada yra laukiamos.