Pamattēmas elementārās matemātikas un ģeometrijas jomā

Šis raksts radies vairāku iemeslu dēļ, galvenais no tiem ir metodoloģiskie jautājumi. Plaši izplatīta neskaidrība skaidrošanas pieejās – atkārtota daudzos mācību materiālos un mācību resursos – rada būtiskas zināšanu plaisas skolēnu pamatdatu krājumā, kas savukārt noved pie virknes seku saistībā ar aprakstīto problēmu.

Esošās metodoloģiskās pieejas

Kā parasti. Lai sāktu diskusiju, mēs varam izcelt dažus faktus, no kuriem veidosies sākuma pamats.

Biežākās pieejas

Ņemsim piemēru no oficiālajām mācību programmām un trīs angliski runājošo valstu ieteikumiem: Amerikas Savienotās Valstis, Apvienotā Karaliste un Austrālija.

ASV piemērs ir Study.com un nodarbības, kas atbilst ASV izglītības standartiem, nodrošinot skaidras pamācības dažādām klašu līmeņiem: Aplis bērniem – izskaidro, ka aplis ir forma, kas veidota no līknes, kur visi punkti atrodas vienādā attālumā no centra punkta. Aplu ģeometrija: pēta apli īpašības, tostarp definīcijas un piemērus par lokiem, sektoriem un citiem saistītiem jēdzieniem.

Austrālija – Austrālijas Matemātikas zinātņu institūts (AMSI). AMSI nodrošina detalizētus skolotāju moduļus, kas atbilst Austrālijas mācību programmai, piedāvājot padziļinātu aplu ģeometrijas skaidrojumu: Aplu ģeometrijas modulis – aplis tiek definēts kā visu plaknes punktu kopa, kas atrodas noteiktā attālumā (rādiusā) no noteikta punkta (centra). Tiek aptverti arī saistītie jēdzieni: rādiuss, diametrs, stīga, sekante un simetrija.

Un kā desertu mūsu mīļotā Albion pārstāv Apvienotās Karalistes Nacionālā matemātikas programma, kas piedāvā strukturētu pieeju ģeometrijas mācīšanai, tostarp aplu īpašības: 1. un 2. posms – skolēniem jāspēj atpazīt un nosaukt parastas 2D figūras, tostarp apļus, un izprast to īpašības. 3. posms – skolēniem jāspēj identificēt un pielietot aplu definīcijas un īpašības, tostarp centrs, rādiuss, stīga, diametrs, apkārtmērs, tangents, loks, sektors un segments.

Visās minētajās pieejās var novērot materiālu prezentācijas secību: aplis, kā ģeometrisks objekts, tiek iepazīstināts pēc pamata ģeometrijas konceptiem, piemēram, līnijām, leņķiem un daudzstūriem, īpaši pēc pamatskolas līmeņa. Šajās programmās aplis tiek uzskatīts ne tikai par figūru, bet kā fundamentāls ideāls ģeometrisks objekts, veidojot pamata atskaites punktu matemātiskajai abstrakcijai un domāšanai. Atkāpsimies no pēdējā apgalvojuma un iedomāsimies sevi skolēna krēslā. Tēma ir leņķis, un skolotājs cenšas izskaidrot leņķa galvenās īpašības, tostarp grādus, malas un citas saistītās apakšdalījums. Kur telpā parādās krustpunkti? Kas ir telpa? Visas šīs un daudzas blakusjautājumi rodas neapmācītā prātā, radot neskaidrības sajaukumu. Beidzot, pieredzes gaitā tikai daži klasesbiedri spēs pārvarēt šo haosu un sakārtot nesakārtotās bildes. Un kur ir iespēja visu sakārtot pareizajās vietās?

Tagad ļaujiet man atgriezties pie ieteiktajām prasmēm, ar kurām skolēnam būtu jābūt aprīkotam, pirms viņš uzsāk nodarbības par fundamentālajām ģeometriskajām figūrām.

Balstoties uz iepriekš minētajām programmām, es esmu apkopojis prasmes, ar kurām skolēnam jābūt pazīstamam:

Skaitļu un aritmētikas prasmes

Skaitīšana un skaitļu atpazīšana: atpazīt skaitļus, sakārtot tos secībā un precīzi skaitīt objektus. Pamatoperācijas: saskaitīšana, atņemšana un vienkāršas reizināšanas/dalīšanas koncepcijas. Daļas (elementārā līmenī): puse, ceturtdaļa, vienkārša formu un kopu dalīšana. Tolerances / aptuvens novērtējums: saprast, ka mērījumos var būt nelielas novirzes; vienkārša noapaļošana. Elementārā statistika: vienkāršu diagrammu lasīšana, daudzumu salīdzināšana, “vairāk/mazāk” izpratne.

Mērīšanas prasmes

Garums, svars un tilpums: izmantojot standarta un nestandarta vienības objektu mērīšanai. Salīdzinājumi: garāks / īsāks, smagāks / vieglāks, lielāks / mazāks. Laiks un pulksteņi (pamati): stundu, minūšu un notikumu secības izpratne.

Telpas un ģeometriskā izpratne

Formu atpazīšana (pirms 2D figūrām): atpazīt apļus, taisnstūrus, kvadrātus apkārtējā vidē. Telpas attiecības: jēdzieni kā augšā / lejā, iekšā / ārā, blakus, tuvumā / tālumā. Orientācija un kustība: saprast pagriezienus, rotācijas un simetriju vienkāršā formā. Elementārā ģeometriskā tolerance: aptuvena garumu/nurku vienlīdzība praktiskajos uzdevumos.

Modeļi, šķirošana un loģiskās prasmes

Modeļu atpazīšana: secības, atkārtojumi, augošie modeļi. Šķirošana un klasifikācija: objektu grupēšana pēc krāsas, lieluma vai formas. Salīdzināšana un spriešana: izmantojot “tas pats/atšķirīgs”, “vairāk/mazāk” un pamata loģiskās saites.

Priegeometrijas sagatavošana

Līnijas un līknes: izsekošana, zīmēšana un taisnu vs līkņu līniju atpazīšana. Punkta izpratne: punktu atpazīšana telpā (punkti, krustojumi vienkāršos režģos). Pamatusi leņķi (neformāli): “stūris”, “liekums”, “pagrieziens” pirms formāla leņķa mērīšanas. Vienkārša koordinātu domāšana: režģi, rindas, kolonnas un vienkārši pozīcijas termini.

Visas šīs prasmes ir obligātas, lai turpinātu ģeometrijas koncepta apguvi, un apkopojums uzsver šādi:

Pirms skolēni formāli mācās ģeometriskās figūras:

Tiem tiek iepazīstināts ar daļām, tolerancēm, elementāru statistiku, mērīšanu, modeļiem, telpas uztveri un loģisko domāšanu.

Šīs prasmes sagatavo viņus darbam ar kvadrātiem, trijstūriem un leņķiem, neapgrūtinot abstraktumu.

Šķiet skaidrs un saprātīgi. Bet… ak, vienmēr un visur tie 'OH...!'

Atkāpties no dogmas var mainīt Visumu!

Šeit es aicinu jūs iedomāties reverso pieeju materiāla pasniegšanai, un spēles veidā mēs mēģināsim soli pa solim iepazīt mācību programmu ar modificētu prasmju secību, ko skolēnam vajadzētu apgūt.

Esošā shēma

Leņķi:

Kā tagad, skolēns pieiet ģeometrijas pamatiem ar vairākām nezināšanām. Ņemsim leņķu mērījumus. Jebkurš bērns zina, ka ir stūri, trīs galvenie stūru veidi, piemēram, ass (0°–90°), taisns (90°), plats (90°–180°), taisns (180°), refleks (180°–360°) un pilns rotācijas leņķis (360°). Bet… kas ir šie skaitļi un no kurienes rodas grādi?

Trijstūris:

Pašreizējā secībā līdzīgi, trijstūra pamati tiek izklāstīti pirms apļu tēmas parādīšanās skolēna skatījumā, ar galvenajām trijstūriem saistītajām īpašībām:

  1. Trijstūra iekšējo leņķu summa: trijstūra iekšējo leņķu summa = 180°
  2. Ārējā leņķa teorēma: ārējais leņķis = pretējo iekšējo leņķu summa

Skolēna zināšanu analīze aplu tēmas kontekstā un abstraktu objektu reprezentācijas pret matemātisko abstrakciju fizisko jēgu skolēna apziņā.

Empīriska skolēna domāšanas izpratne

Iedomāsimies eksperimentu:

  1. Uzzīmējiet taisnleņķa trijstūri uz A1 papīra lapas, izmantojot taisno leņķi kā atsauces punktu. Sānu A garums 30 mm, sānu B garums 60 mm.
  2. Tagad uzzīmējiet līniju paralēli trijstūra diagonālei 500 mm attālumā.
  3. Tālāk uzbūvējiet jaunu taisnleņķa trijstūri, izmantojot šo paralēlo līniju kā diagonāles noteikšanas pamatu.
  4. Pamatojoties uz sānu mērījumiem, pārrēķiniet visus lielākā trijstūra leņķus.

Pamatojoties uz šo aprēķinu rezultātiem, parasti konstatējam, ka skaitļi nedaudz pārsniedz mūsu mērīšanas rīku tolerances. Šis rezultāts var radīt neskaidrības salīdzinājumā ar deklarētajiem postulātiem. Šeit rodas šaubas punkts — un iespēja refleksijai. Izmantosim šo mirkli pareizi! Sekojiet man!

Vai spēle, ko spēlējam, ir pietiekami taisnīga, lai pavadītu laiku?

Izmantojiet rokas, domājiet un saņemiet atlīdzību

Mēģināsim citu materiāla pasniegšanas secību bērniem. Leņķi un trijstūri, kopā ar daudzstūriem, pagaidām atstāsim malā.

Nebaidieties no kompass adatas un uzzīmējiet apli – tas ir vienīgais uzdevums, ar ko jāsāk. Ak, aizmirsu! Vispirms atzīmējiet punktu ar pildspalvu vai zīmuli, novietojiet kompass adatu uz punkta un uzzīmējiet apli!

Tagad mums ir aplis. Ļaujiet man atzīmēt, ka šajā brīdī skolēns zemapziņā sāk izprast apļa centru, un šo norādi vajadzētu izmantot, lai vēlāk ieviestu koordinātu nulles punktu. Šobrīd mums jāstiprina šī izpratne, saglabājot skolēnu kā aktīvu pētnieku.

Tātad mums ir aplis. Laiks mainīt rīku: ņemiet līniju (lineāls vai kas cits) un uzzīmējiet līniju tieši caur centrālo punktu. Atzīmējiet punktus, kur līnija krustojas ar apli. Gatavs? Šeit sākas diametra terminoloģija! Varbūt šodien pietiek? Šoreiz jūs esat tieši pareizajā punktā!

Jauna nodarbība, jaunas piedzīvojumi, turpinām! Šoreiz skolēnam jāatkārto iepriekšējās nodarbības darbības ar kompasu paša spēkiem, un jāparāda, ka materiāls no iepriekš ir stingri iegaumēts. Tagad veicam praktiskus mērījumus. Mēs zinām diametru un apļa centru, un ir pienācis laiks saprast pusdiametru. Šeit rodas jautājums, dārgie kolēģi: kā mēs varam atrast pusdiametru no diametra? Bērniem jāiesaistās kolektīvā zinātniskā diskusijā; jūsu loma ir tikai motivēt visus klasesbiedrus aktīvi piedalīties. Galu galā kāds var norādīt, ka kompass jau dod pareizo atbildi! Lieliski! Nākamais uzdevums ir atzīmēt diametra centru ar šo rīku pareizi. Kad šis solis ir pabeigts, nav nepieciešams pārslodēt bērnus ar papildu uzdevumiem. Tagad laiks zīmēt un nostiprināt visu materiālu, ko atklājām kopā.

Vai jums patīk zīmēt? Tad laipni lūdzam! Tagad mēs zinām diametru, un šeit parādās rādiusa terminoloģija. Balstoties uz fiksēto kompass pozīciju, kas noteikta kā rādiuss, spēlēsimies ar šo zīmēšanas rīku (piezīme: mēs rotaļīgi sapratīsim, kas ir ideāls trijstūris). Sāciet ar apļu zīmēšanu: novietojiet kompass adatu uz apļa un uzzīmējiet pirmo apli ar tādu pašu pozīciju un kompass attālumu kā pamata aplim. Tad pārvietojiet kompass adatu uz nākamo krustpunktu pamata aplī un turpiniet līdz atgriežaties sākuma punktā. Ap apļa pamatu mums ir seši skaisti apļi. Zīmējam Ziedu! Juhū! Tagad laiks zīmēt līnijas. Ņemiet jebkuru krustpunktu kā sākumu, izlaidiet nākamo krustpunktu un uzzīmējiet līniju no izvēlētā krustpunkta uz nākamo. Turpiniet šādi, sākuma punkts vienmēr ir līnija, kas krustojas ar pamata apli. Ups, mums tagad ir trīs līnijas, un tās veido trijstūri. Šeit sākas skaidrošanas laiks. Šeit var ieviest vairākus jēdzienus: vienlīdzība un līdzība. Lai demonstrētu līdzību, atkārtojiet to pašu procedūru, bet paplašiniet kompass iestatījumus, lai maksimāli palielinātu leņķi. Tagad laiks ņemt šķēres! Izgrieziet trijstūrus un salīdziniet visus iegūtos trijstūru stūrus. Visi stūri ir vienādi, bet figūras nav identiskas! Mēs varam norādīt, ka aplim ir standarta mērījumi, ko sauc par grādiem, un iegūtie trijstūri tiek saukti par ideāliem trijstūriem, katra stūra aptuvenais izmērs ir 60 grādi.

Ups, mēs nonākam pie sarežģītiem uzdevumiem, bet ceļu pārvar tikai tie, kas turpina iet, tāpēc… Laiks ieviest grādu jēdzienu. Skatoties grādus, varam apskatīt mērījumu standartizācijas vēsturi un apspriest, no kurienes nāk metri, pēdas, collas, centimetri un milimetri. Grādu vēsture ir vairāk leģendāra nekā faktiem balstīta; varam pastāstīt pasaku un skaidrot bieži minēto saikni ar Babilonas mērījumu vienību izcelsmi, bet manuprāt, mums jāuzsver šīs leģendas neskaidrība.

Labi, soli pa solim tuvojamies pudeļu eksperimentiem. Hei, pirāti, mēs nākam pēc jūsu pudelēm — trīciet un baidieties! Katram skolēnam ir pudele, bet kā ar auklu? Jā, mums nepieciešama diegs, šķēres un pudele (vai glāze), visi cilindriskā formā. Katram skolēnam jāveic viena pilna diega apgriešana ap pudeli. Skolotājs pēc tam nāk pie katra skolēna ar nazi un nogriež diegu tā, lai atlikums atbilst cilindram ārējās malas garumam. Tad novietojam pudeli uz papīra un izmantojam pudeles ārējo malu kā veidni apļa zīmēšanai. Tagad mums ir diegs un aplis. Laiks noteikt apļa diametru. Ņemam kompasu un uzstādam to precīzi uz apļa diametru. Būs divi maksimāli pretēji punkti, un no šiem punktiem veidojam trijstūri, pēc tam uzbūvējam pretējo trijstūra spoguļa attēlu. Šādā veidā atrodam apļa centru. Tas demonstrē skolēniem, ka ir daudz veidu, kā noteikt apļa centra atrašanās vietu, kas ir būtiski aplim kā ģeometriskam objektam. Turpinot, intuitīvi saprotams, ka diegs, ko mēs manipulējām, ir tuvu apļa ārējās malas garumam. Izmantojot diametru, fiksētu ar kompasu, aprēķināsim, cik reizes diametrs ietilpst apļa garumā. Šeit nepieciešams standarta lineāls. Beidzot mēs atklājam, ka pat ar tolerancēm visi skolēni iegūst ļoti tuvus rezultātus! No tā var secināt, ka diametra un apkārtmēra proporcija vienmēr norāda uz apļa garumu, un otrādi. Turklāt šī proporcija ir konstanta — un tas ir brīnišķīgi! Pat neuzsākot sarežģītus uzdevumus, skolēni jau skaidri saprot π izcelsmi, tā galveno vērtību un fizisko nozīmi.

Šeit es tikai vēlos jums parādīt, dārgie kolēģi, ka pat dogmatiska materiāla secība var tikt pārskatīta, un šī pārskatīšana var novest skolēnus pie ērtākas un efektīvākas mācīšanās. Šī pieeja var būtiski paātrināt nākamā materiāla izpratni. Protams, es šo pieeju piedāvāju diskusijai, un šādas diskusijas vienmēr ir laipni gaidītas.