Podstawowe zagadnienia w matematyce i geometrii

Ten artykuł powstał z kilku powodów, głównym z nich są kwestie metodologiczne. Powszechna niejasność w podejściu do wyjaśnień – powielana w wielu podręcznikach i materiałach dydaktycznych – tworzy istotne luki w wiedzy uczniów, co z kolei prowadzi do łańcucha konsekwencji związanych z przedstawionym problemem.

Istniejące podejścia metodologiczne

Jak zwykle. Aby rozpocząć naszą dyskusję, możemy mieć zestaw faktów, które od nich będą miały swoje miejsce na początku.

Typowe podejścia

Weźmy za przykład oficjalne programy nauczania i zalecenia trzech krajów anglojęzycznych: Stany Zjednoczone, Wielka Brytania i Australia.

Stany Zjednoczone będą reprezentowane przez Study.com i lekcje zgodne ze standardami edukacyjnymi w USA, zapewniające jasne wyjaśnienia odpowiednie dla różnych poziomów klas: Definicja okręgu dla dzieci: Wyjaśnia, że okrąg jest kształtem utworzonym przez krzywą, w której wszystkie punkty znajdują się w jednakowej odległości od punktu środkowego. Geometria okręgu: Zagłębia się w właściwości okręgów, w tym definicje i przykłady łuków, sektorów i innych powiązanych pojęć.

Australia – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). AMSI oferuje szczegółowe moduły dla nauczycieli zgodne z australijskim programem nauczania, zapewniając pogłębione wyjaśnienia geometrii okręgów: Moduł Geometrii Okręgu: Definiuje okrąg jako zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie znajdujących się w stałej odległości (promień) od stałego punktu (centrum). Obejmuje również powiązane pojęcia, takie jak promień, średnica, cięciwa, sieczna i symetria.

A na deser, nasza ukochana Albion reprezentowana jest przez UK National Curriculum for Mathematics, który zapewnia uporządkowane podejście do nauczania geometrii, w tym właściwości okręgów: Key Stage 1 & 2: Uczniowie powinni rozpoznawać i nazywać typowe figury 2D, w tym okręgi, i rozumieć ich właściwości. Key Stage 3: Uczniowie powinni być w stanie zidentyfikować i stosować definicje i właściwości okręgów, w tym środek, promień, cięciwę, średnicę, obwód, styczną, łuk, sektor i wycinek.

We wszystkich wymienionych podejściach możemy zauważyć porządek prezentowania materiału: okrąg jako obiekt geometryczny jest wprowadzany po podstawowych pojęciach geometrycznych, takich jak linie, kąty i wielokąty, szczególnie na poziomie ponadpodstawowym. W tych programach nauczania okrąg traktowany jest nie tylko jako figura, lecz jako fundamentalny idealny obiekt geometryczny, stanowiący punkt odniesienia dla abstrakcji i rozumowania matematycznego. Odstąpmy od powyższego stwierdzenia i usiądźmy w fotelu ucznia. Tematem jest kąt, a nauczyciel próbuje wyjaśnić główne jego cechy, w tym stopnie, boki i wszystkie powiązane podziały. Gdzie w przestrzeni pojawia się punkt przecięcia linii? Czym jest przestrzeń? Wszystkie te i wiele innych pytań powstaje w nieprzygotowanym umyśle, tworząc „sałatkę” niejasności. Z doświadczenia wynika, że tylko nieliczni uczniowie poradzą sobie z chaosem nieuporządkowanych wyobrażeń. I gdzie pojawia się możliwość umieszczenia wszystkich rzeczy na właściwych półkach, na ich odpowiednim miejscu?

Teraz pozwólcie, że wrócę do powszechnie zalecanych umiejętności, które uczeń powinien opanować przed lekcjami dotyczącymi podstawowych figur geometrycznych.

Na podstawie wspomnianych podejść do programów nauczania podsumowałem umiejętności, z którymi uczeń powinien być zaznajomiony:

Umiejętności liczbowe i arytmetyczne

Liczenie i rozpoznawanie liczb: Rozpoznawanie liczb, ich porządkowanie i dokładne liczenie obiektów. Podstawowe działania: Dodawanie, odejmowanie i proste koncepcje mnożenia/dzielenia. Ułamki (poziom elementarny): Zrozumienie połówek, ćwiartek, prostego dzielenia kształtów i zbiorów. Tolerancja/przybliżenia: Rozpoznawanie, że pomiary mogą mieć niewielkie odchylenia; proste zaokrąglanie. Statystyka elementarna: Odczytywanie prostych wykresów, porównywanie ilości, rozumienie „więcej/mniej.”

Umiejętności pomiarowe

Długość, waga i objętość: Używanie jednostek niestandardowych i standardowych do pomiaru obiektów. Porównania: Dłuższe/krótsze, cięższe/lżejsze, większe/mniejsze. Czas i zegary (podstawowy poziom): Rozumienie godzin, minut, kolejności zdarzeń.

Świadomość przestrzenna i geometryczna

Rozpoznawanie kształtów (pre-figury 2D): Identyfikowanie okręgów, prostokątów, kwadratów w otoczeniu. Relacje przestrzenne: Pojęcia jak nad/pod, wewnątrz/na zewnątrz, obok, blisko/daleko. Orientacja i ruch: Rozumienie obrotów, symetrii w prosty sposób. Podstawowa tolerancja geometryczna: Rozpoznawanie przybliżonej równości długości/kątów w praktycznych zadaniach.

Wzorce, sortowanie i logiczne myślenie

Rozpoznawanie wzorców: Sekwencje, powtórzenia, rosnące wzory. Sortowanie i klasyfikacja: Grupowanie obiektów według koloru, rozmiaru lub kształtu. Porównania i wnioskowanie: Używanie „takie same/inne”, „więcej/mniej” oraz podstawowe połączenia logiczne.

Przygotowanie do geometrii

Linie i krzywe: Śledzenie, rysowanie i rozpoznawanie linii prostych vs krzywych. Pojęcie punktu: Rozpoznawanie punktów w przestrzeni (kropki, przecięcia w prostych siatkach). Podstawowe kąty (nieformalnie): Rozpoznawanie „kąta”, „zgięcia”, „zakrętu” przed formalnym pomiarem kąta. Proste myślenie współrzędnych: Siatki, rzędy, kolumny i proste terminy położenia.

Wszystkie te umiejętności są niezbędne do przyswojenia pojęć geometrii, a przedstawione podsumowanie podkreśla:

Zanim uczniowie formalnie poznają figury geometryczne:

Zapoznają się z ułamkami, tolerancjami, podstawową statystyką, pomiarami, wzorcami, myśleniem przestrzennym i logicznym.

Te umiejętności przygotowują ich do obsługi kwadratów, trójkątów i kątów bez przytłoczenia abstrakcją.

Wygląda na jasne i rozsądne stanowisko. Ale... Och, zawsze i wszędzie te 'Och...!'

Odstąpienie od dogmatu może zmienić świat!

Proponuję wyobrazić sobie odwrócone podejście do prezentacji materiału, a w zabawny sposób spróbujemy krok po kroku przejść przez program nauczania, zmieniając kolejność umiejętności, które powinien opanować uczeń.

Obecny schemat

Kąty:

Jak na razie uczeń przychodzi do podstaw geometrii z niejasnością kilku pojęć. Weźmy pomiar kątów. Dzieci wiedzą, że są kąty, trzy główne typy kątów, i coś jak ostry (0°–90°), prosty (90°), rozwarty (90°–180°), półprosty (180°), wklęsły (180°–360°) i pełny obrót (360°). Ale… czym są liczby i skąd pochodzą stopnie?

Trójkąt:

W obecnym porządku w podobny sposób podstawy trójkąta są przedstawiane, zanim uczniowie poznają okręgi, z głównymi cechami związanymi z trójkątami:

  1. Suma kątów w trójkącie: suma kątów wewnętrznych trójkąta = 180°
  2. Twierdzenie o kącie zewnętrznym: kąt zewnętrzny = suma przeciwległych kątów wewnętrznych

Analiza wiedzy, którą uczeń wnosi do tematu okręgu, oraz rozważania na temat przedstawiania obiektów abstrakcyjnych versus fizycznego sensu abstrakcji matematycznych w świadomości ucznia.

Empiryczne zrozumienie sposobu myślenia ucznia.

Wyobraźmy sobie eksperyment:

  1. Narysuj trójkąt prostokątny na arkuszu papieru A1, używając kąta prostego jako punktu odniesienia. Niech bok A ma 30 mm, a bok B 60 mm.
  2. Teraz narysuj linię równoległą do przekątnej trójkąta w odległości 500 mm.
  3. Następnie skonstruuj nowy trójkąt prostokątny, używając tej nowej równoległej linii do określenia jego przekątnej.
  4. Na podstawie wymiarów boków przelicz wszystkie kąty większego trójkąta.

Na podstawie wyników tych obliczeń zwykle stwierdzimy, że liczby nieco przekraczają tolerancje naszych narzędzi pomiarowych. Wynik ten może wprowadzić zamieszanie w porównaniu z deklarowanymi postulatem. Tutaj pojawia się punkt wątpliwości — i okazja do refleksji. Wykorzystajmy ten moment w odpowiedni sposób! Podążajcie ze mną!

Czy gra, w którą gramy, jest wystarczająco uczciwa, by poświęcać czas?

Używaj rąk, działaj i czerp nagrody

Spróbujmy innej kolejności prezentacji materiału naszym dzieciom. Kąty i trójkąty, razem z wielokątami, zostawiamy na razie na boku.

Nie bój się igieł cyrkla i narysuj okrąg – to jedyne zadanie, od którego musimy zacząć, a, zapomniałem! Najpierw zaznacz kropkę długopisem lub ołówkiem, ustaw igłę cyrkla na tej kropce i narysuj teraz okrąg!

Teraz mamy okrąg. Zauważmy, że w tym momencie uczeń nieświadomie zaczyna rozumieć środek okręgu, i powinniśmy wykorzystać tę wskazówkę, by później wprowadzić punkt zerowy współrzędnych. Na razie należy wzmocnić to rozumienie, utrzymując ucznia w roli aktywnego odkrywcy.

Mamy więc okrąg. Czas zmienić narzędzie: weź linię (linijka, cokolwiek) i narysuj linię przechodzącą przez środkową kropkę. Zaznacz punkty, w których linia przecina okrąg. Gotowe? Terminologia średnicy pojawia się właśnie tutaj! Może wystarczy na dzisiaj? Tym razem jesteście dokładnie w odpowiednim punkcie!

Nowa lekcja, nowe przygody, naprzód! Tym razem uczeń powinien sam powtórzyć operacje z cyrklem z poprzedniej lekcji i wykazać, że materiał został solidnie zapamiętany. Teraz wykonujemy pomiary praktyczne. Znamy średnicę i środek okręgu, czas zrozumieć pół-średnicę. Pojawia się pytanie, drodzy koledzy: jak znaleźć pół-średnicę średnicy? Dzieci powinny w tym momencie wziąć udział w zbiorowej dyskusji naukowej; waszą rolą jest tylko aktywne zachęcanie wszystkich uczniów do udziału. Ostatecznie ktoś może zauważyć, że cyrkiel jest narzędziem, które już daje prawidłową odpowiedź! Świetnie! Kolejne zadanie to zaznaczenie środka średnicy tym narzędziem w odpowiedni sposób. Po wykonaniu tego kroku nie ma potrzeby obciążać dzieci dodatkowymi zadaniami. Czas narysować i utrwalić cały materiał, który został odkryty razem z wami.

Lubisz rysować? Witaj w takim razie! Teraz znamy średnicę, a terminologia promienia pojawia się tutaj. Na podstawie ustalonej pozycji cyrkla jako promienia, bawmy się tym narzędziem do rysowania (podpowiadam: w zabawny sposób zrozumiemy, czym jest trójkąt idealny). Zacznij od rysowania okręgów: umieść igłę cyrkla na okręgu i narysuj pierwszy okrąg w tej samej pozycji i z tym samym ustawieniem cyrkla co podstawowy okrąg. Następnie przesuń igłę cyrkla do następnego punktu przecięcia na okręgu podstawowym i kontynuuj, aż wrócisz do początkowej pozycji. Mamy sześć pięknych okręgów wokół okręgu bazowego. Rysujemy Kwiat! Hurra! Teraz czas narysować linie. Wybierz dowolny krzyż jako punkt początkowy, pomiń następny krzyż i narysuj linię od wybranego krzyża do następnego. Kontynuuj w ten sposób, zawsze zaczynając od punktu przecięcia linii z okręgiem bazowym. Ups, teraz mamy trzy linie, które tworzą trójkąt. Czas wyjaśnień. Tutaj możemy wprowadzić kilka pojęć: równość i podobieństwo. Aby pokazać podobieństwo, powtórz tę samą procedurę, ale rozszerz ustawienia cyrkla, aby zmaksymalizować kąt. Teraz czas na nożyczki! Wytnijmy trójkąty i porównajmy wszystkie powstałe kąty trójkątów. Wszystkie kąty są równe, ale figury nie są identyczne! Możemy zasugerować, że okrąg ma pewne standardowe miary zwane stopniami, a trójkąty, które osiągnęliśmy, nazywane są trójkątami idealnymi, każdy kąt ma około 60 stopni.

Ups, wchodzimy w złożone zadania, ale drogę pokonują tylko ci, którzy kontynuują, więc… Czas wprowadzić pojęcie stopni. Podczas wyjaśniania stopni możemy odwołać się do historii standaryzacji pomiarów i omówić skąd pochodzą metry, stopy, cale, centymetry i milimetry. Historia stopni jest bardziej legendarna niż faktyczna; możemy opowiedzieć bajkę i wyjaśnić często przytaczane powiązanie z babilońskimi początkami jednostek miar, ale moim zdaniem należy podkreślić niejednoznaczność legendy.

Dobrze, krok po kroku zbliżamy się do eksperymentów z butelkami. Hej piraci, nadchodzimy po wasze butelki – drżyjcie i obawiajcie się nas! Wszyscy uczniowie mają butelkę, a co z sznurkami? Rzeczywiście, potrzebujemy nici, nożyczek i butelki (lub szklanki), wszystkie w kształcie cylindra. Każdy uczeń powinien wykonać jeden pełny obrót nici wokół butelki. Nauczyciel podchodzi do każdego ucznia z nożem lub brzytwą i przecina nić dokładnie tak, aby pozostała część odpowiadała zewnętrznemu okręgowi cylindra. Następnie umieszczamy butelkę na papierze i używamy jej zewnętrznej krawędzi jako szablonu do narysowania okręgu. Teraz mamy nić i okrąg. Czas zdefiniować średnicę okręgu. Powinniśmy użyć cyrkla i ustawić go dokładnie na średnicę okręgu. Będą dwa maksymalne przeciwległe punkty, z których tworzymy trójkąt, a następnie budujemy lustrzane odbicie trójkąta. W ten sposób znajdujemy środek okręgu. Pokazuje to uczniom, że istnieje wiele sposobów określenia położenia środka okręgu, co jest kluczowe dla okręgu jako obiektu geometrycznego. Idąc dalej, intuicyjnie jest jasne, że nić, którą manipulowaliśmy, jest zbliżona do długości zewnętrznego obwodu okręgu. Używając średnicy ustalonej cyrklem, obliczmy, ile razy średnica mieści się w długości okręgu. Tutaj wymagane jest standardowe narzędzie pomiaru liniowego. Ostatecznie stwierdzimy, że nawet z tolerancjami wszyscy uczniowie osiągają bardzo zbliżone wyniki! Z tego możemy wnioskować, że proporcja średnicy do obwodu zawsze informuje nas o długości okręgu i odwrotnie. Co więcej, proporcja ta jest stała — i to jest wspaniałe! Bez wchodzenia w skomplikowane zadania uczniowie już wyraźnie rozumieją pochodzenie liczby π, jej główną wartość i znaczenie fizyczne.

Chcę tu tylko pokazać, drodzy koledzy, że nawet dogmatyczne uporządkowanie materiału można zmienić, a ta zmiana może prowadzić uczniów do bardziej komfortowego i skutecznego procesu nauki. Takie podejście może znacznie przyspieszyć zrozumienie kolejnych zagadnień. Oczywiście prezentuję to podejście do dyskusji, a takie dyskusje są zawsze mile widziane.