Фундаментальні питання базової математики та геометрії

Ця стаття виникла з кількох причин, головною з яких є методологічні питання. Поширена неясність у підходах до пояснень — відтворювана в багатьох підручниках та навчальних матеріалах — створює значні прогалини у знаннях учнів, що, в свою чергу, призводить до ланцюга наслідків, пов'язаних із поставленою проблемою.

Існуючі методологічні підходи

Як завжди. Щоб розпочати нашу дискусію, ми можемо мати набір фактів, де по ходу ми знайдемо місце для початку.

Загальні підходи

Візьмемо для прикладу офіційні навчальні плани та рекомендації трьох англомовних країн: США, Великобританії та Австралії.

США будуть представлені Study.com та уроками, що відповідають освітнім стандартам США, забезпечуючи чіткі пояснення, придатні для різних рівнів класів: Визначення кола для дітей: пояснює, що коло — це фігура, утворена кривою лінією, де всі точки знаходяться на однаковій відстані від центра. Геометрія кола: розглядає властивості кіл, включаючи визначення та приклади дуг, секторів та інших пов'язаних понять.

Австралія – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). AMSI надає детальні модулі для вчителів, що відповідають Австралійській навчальній програмі, пропонуючи глибокі пояснення геометрії кола: Модуль геометрії кола: визначає коло як множину всіх точок на площині, що знаходяться на фіксованій відстані (радіусі) від фіксованої точки (центру). Також охоплює пов'язані поняття, такі як радіус, діаметр, хорда, січна та симетрія.

І, як десерт, наша улюблена Альбіонія представлена Національною навчальною програмою з математики Великобританії, яка забезпечує структурований підхід до викладання геометрії, включаючи властивості кіл: Key Stage 1 & 2: учні повинні розпізнавати та називати загальні 2D-фігури, включаючи кола, та розуміти їх властивості. Key Stage 3: учні повинні вміти ідентифікувати та застосовувати визначення та властивості кола, включаючи центр, радіус, хорду, діаметр, довжину кола, дотичну, дугу, сектор та сегмент.

У всіх перелічених підходах можна спостерігати певний порядок представлення матеріалів: коло, як геометричний об'єкт, вводиться після основних понять геометрії, таких як прямі, кути та багатокутники, особливо на післяпочаткових рівнях. У цих навчальних планах коло розглядається не просто як фігура, а як фундаментальний ідеальний геометричний об'єкт, що формує базову точку відліку для математичної абстракції та міркування. Відступимо від останнього твердження та уявимо себе на місці учня. Тема — кут, і вчитель намагається пояснити основні характеристики кута, включаючи градуси, сторони та всі інші пов'язані підрозділи. Де з’являється точка перетину прямих у просторі? Що таке простір? Усі ці та багато інших додаткових питань виникають у непідготовленому розумі, створюючи салат із неясностей. З досвіду, лише кілька учнів справляються з цим безладом і долають хаос невпорядкованих образів. І де ж точка можливості розмістити всі речі на гідних полицях, на своєму місці?

Тепер дозвольте повернутися до звично рекомендованих навичок, якими повинен володіти учень перед вступом до уроків з фундаментальних геометричних фігур.

На основі згаданих підходів навчальних планів я узагальнив навички, з якими учень повинен бути ознайомлений:

Числові та арифметичні навички

Лічба та розпізнавання чисел: розпізнавати числа, впорядковувати їх та точно рахувати предмети. Базові операції: додавання, віднімання та прості концепції множення/ділення. Дроби (елементарний рівень): розуміння половин, четвертин, простого поділу фігур та множин. Толерантність/наближення: усвідомлення, що вимірювання можуть мати невеликі варіації; просте округлення. Елементарна статистика: читання простих діаграм, порівняння кількостей, розуміння 'більше/менше'.

Навички вимірювань

Довжина, вага та об’єм: використання нестандартних та стандартних одиниць для вимірювання предметів. Порівняння: довший/коротший, важчий/легший, більший/менший. Час і годинники (базові): розуміння годин, хвилин, послідовності подій.

Просторова та геометрична обізнаність

Розпізнавання фігур (перед 2D): визначати кола, прямокутники, квадрати в оточенні. Просторові відносини: поняття вище/нижче, всередині/зовні, поруч, далеко. Орієнтація та рух: розуміння поворотів, обертань, симетрії у простій формі. Елементарна геометрична точність: розпізнавання приблизної рівності довжин/кутів у практичних завданнях.

Навички впізнавання закономірностей, сортування та логічні навички

Розпізнавання закономірностей: послідовності, повторення, зростаючі послідовності. Сортування та класифікація: групування предметів за кольором, розміром або формою. Порівняння та міркування: використання 'таке/інше', 'більше/менше' та базових логічних зв’язків.

Підготовка до геометрії

Лінії та криві: обводження, малювання та визначення прямих і кривих ліній. Розуміння точки: визначення точок у просторі (крапки, перетини на простих сітках). Базові кути (неформально): розпізнавання 'кут', 'згин', 'поворот' перед формальним вимірюванням кутів. Просте координатне мислення: сітки, ряди, колонки та прості терміни позиціонування.

Усі ці навички обов’язкові для опанування поняття геометрії, і підсумок зазначає наступне:

Перед тим, як учні формально вивчатимуть геометричні фігури:

Вони знайомляться з дробами, допусками, елементарною статистикою, вимірюваннями, закономірностями, просторовим мисленням та логічним мисленням.

Ці навички готують їх до роботи з квадратами, трикутниками та кутами, не перевантажуючись абстракцією.

Виглядає зрозуміло та розумно. Але… Ох, завжди і всюди ці 'ОХ…!'

Відступ від догми може змінити Всесвіт!

Пропоную уявити зворотний підхід до подачі матеріалу, і в ігровій формі ми спробуємо крок за кроком пройти навчальну програму з модифікованим порядком навичок, якими слід навчати учня.

Існуюча схема

Кути:

На даний момент учень підходить до основ геометрії з неясністю щодо кількох знань. Візьмемо вимірювання кутів. Кожна дитина знає, що існують кути, три основні типи кутів, і щось на кшталт гострого (0°–90°), прямого (90°), тупого (90°–180°), розгорнутого (180°), рефлексного (180°–360°) та повного обертання (360°). Але… Що таке числа і звідки взялися градуси?

Трикутник:

У поточному порядку так само, базові відомості про трикутник викладаються до того, як коло з’являється на горизонті учня, з основними характеристиками трикутника:

  1. Сума кутів трикутника: сума внутрішніх кутів трикутника = 180°
  2. Теорема зовнішнього кута: зовнішній кут = сума протилежних внутрішніх кутів

Аналіз знань, які учень приносить до теми кола, та міркування про подання абстрактних об’єктів проти фізичного сприйняття математичних абстракцій у свідомості учня.

Емпіричне розуміння мислення учня.

Уявімо експеримент:

  1. Намалюйте прямокутний трикутник на аркуші паперу формату A1, використовуючи прямий кут як базову точку відліку. Нехай сторона A = 30 мм, а сторона B = 60 мм.
  2. Тепер проведіть лінію паралельно діагоналі трикутника на відстані 500 мм.
  3. Далі побудуйте новий прямокутний трикутник, використовуючи цю нову паралельну лінію для визначення його діагоналі.
  4. На основі вимірювань сторін перерахуймо всі кути більшого трикутника.

За результатами цих розрахунків ми зазвичай виявимо, що числа трохи перевищують допуски наших вимірювальних інструментів. Такий результат може створити плутанину при порівнянні з оголошеними постулатами. Тут виникає точка сумніву — і можливість для роздумів. Використаємо цей момент належним чином! Слідуйте за мною!

Чи чесна гра, у яку ми граємо, щоб витрачати час?

Використовуй руки, роби, і отримуй винагороди

Спробуймо інший порядок подачі матеріалу нашим дітям. Кути та трикутники разом з багатокутниками поки залишимо в стороні.

Не бійтеся голок циркуля та намалюйте коло, це єдине завдання, з якого ми почнемо, а, забув! Спершу позначте точку ручкою або олівцем, встановіть голку циркуля на цю точку і намалюйте коло!

Тепер у нас є коло. Зверніть увагу, що на цьому етапі учень несвідомо починає розуміти центр кола, і ми повинні використати цю підказку, щоб пізніше ввести нульову точку координат. Наразі потрібно підкріпити це розуміння, тримаючи учня у ролі активного дослідника.

Отже, у нас є коло. Час змінити інструмент: візьміть лінійку (що завгодно) і проведіть лінію прямо через центральну точку. Позначте точки, де лінія перетинає коло. Готово? Тут вводиться термін 'діаметр'! Мабуть, на сьогодні достатньо? І цього разу ви абсолютно у правильній точці!

Новий урок, нові пригоди, вперед! Цього разу учень повинен самостійно повторити попередні операції з циркулем та показати, що матеріал міцно засвоєний. Тепер робимо практичні вимірювання. Ми знаємо діаметр і центр кола, і час зрозуміти півдіаметр. Тут виникає питання: як знайти півдіаметр? Діти повинні взяти участь у колективному науковому обговоренні; ваша роль — лише заохочувати всіх учнів брати активну участь. Зрештою, хтось може помітити, що циркуль — це інструмент, який уже дає правильну відповідь! Чудово! Наступне завдання — правильно позначити центр діаметра цим інструментом. Після цього кроку немає потреби перевантажувати дітей додатковими завданнями. Час малювати і закріплювати весь матеріал, відкритий разом із вами.

Любите малювати? Тоді ласкаво просимо! Тепер ми знаємо діаметр, і термін 'радіус' займає своє місце. Виходячи з фіксованої позиції циркуля, визначеної як радіус, давайте поіграмося з цим інструментом (підказка: ми грайливо зрозуміємо, що таке ідеальний трикутник). Почнімо з малювання кіл: поставте голку циркуля на коло і намалюйте перше коло на тій же позиції та з тією ж відстанню, що й базове коло. Потім перемістіть голку циркуля на наступну точку перетину на базовому колі і продовжуйте, поки не повернетеся на початкову позицію. Ми маємо шість красивих кіл навколо базового кола. Ми малюємо Квітку! Ура! Тепер час проводити лінії. Візьміть будь-який хрест як початкову точку, пропустіть наступний хрест і проведіть лінію від вибраного хреста до наступного. Продовжуйте в цьому порядку, початковою точкою завжди буде перетин лінії з базовим колом. Ой, тепер у нас три лінії, і вони формують трикутник. Час пояснень. Тут можна ввести кілька понять: рівність та подібність. Щоб показати подібність, повторіть ту ж процедуру, але збільшіть налаштування циркуля для максимізації кута. Тепер час брати ножиці! Виріжте трикутники та порівняйте всі кути отриманих фігур трикутників. Всі кути однакові, але фігури не ідентичні! Ми можемо натякнути, що коло має стандартні вимірювання, які називаються градусами, а отримані трикутники — ідеальні, кожен кут приблизно 60 градусів.

Ой, ми підходимо до складних завдань, але шлях долають лише ті, хто продовжує йти, тож… Час ввести поняття градусів. Пояснюючи градуси, можемо звернутися до історії стандартизації вимірювань і обговорити походження метрів, футів, дюймів, сантиметрів та міліметрів. Історія градусів більше легендарна, ніж фактична; можна розповісти казку та пояснити поширене посилання на вавилонське походження одиниць вимірювання, але на мою думку, потрібно підкреслити неоднозначність легенди.

Добре, крок за кроком ми підходимо до експериментів з пляшками. Ей, пірати, ми йдемо за вашими пляшками — тремтіть і бійтеся! У всіх учнів є пляшка, а як щодо мотузок? Так, нам потрібні нитки, ножиці та пляшка (або склянка), всі циліндричної форми. Кожен учень робить один оберт нитки навколо пляшки. Потім учитель підходить до кожного учня з різаком або бритвою і ріже нитку так, щоб залишок відповідав зовнішньому колу циліндра. Потім ставимо пляшку на папір і використовуємо зовнішній край пляшки як шаблон для малювання кола. Тепер у нас є нитка і коло. Час визначити діаметр кола. Візьмемо циркуль і встановимо його точно на діаметр кола. Буде дві максимальні протилежні точки, і з цих точок ми створимо трикутник, а потім побудуємо дзеркальне відображення трикутника. Так ми знайдемо центр кола. Це демонструє учням, що існує багато способів визначення центру кола, що є суттєвим для кола як геометричного об’єкта. Продовжуючи, інтуїтивно зрозуміло, що нитка, яку ми маніпулювали, близька до довжини зовнішньої окружності кола. Використовуючи діаметр, зафіксований циркулем, підрахуємо, скільки разів діаметр вміщується у довжину кола. Тут потрібен стандартний лінійний вимірювальний інструмент. Нарешті, ми дізнаємося, що навіть з допусками всі учні отримують дуже близькі результати! З цього можна припустити, що пропорція діаметра до довжини кола завжди повідомляє нам про довжину кола, і навпаки. Більше того, ця пропорція є константою — і це чудово! Навіть не наближаючись до складних завдань, учні вже чітко розуміють походження π, його основне значення та фізичний сенс.

Тут я хочу лише показати, дорогі колеги, що навіть догматичний порядок подання матеріалу можна переглянути, і цей перегляд може призвести до більш комфортного та ефективного процесу навчання учнів. Такий підхід може значно прискорити розуміння наступного матеріалу. Звісно, я подаю цей підхід для обговорення, і такі обговорення завжди вітаються.