Problem miary i złożoność algorytmiczna w multiwersum poziomu IV

Przeprowadziliśmy przegląd naukowych teorii wszechświatów równoległych i stwierdziliśmy, że naturalnie tworzą one czteropoziomową hierarchię multiwersów (Rysunek 1), dopuszczającą stopniowo większe różnice w stosunku do naszego własnego wszechświata:

• Poziom I: Inne objętości Hubble'a mają różne warunki początkowe
• Poziom II: Inne pęcherze po inflacji mogą mieć różne efektywne prawa fizyki (stałe, wymiarowość, zawartość cząstek)
• Poziom III: Inne gałęzie kwantowej funkcji falowej nie dodają nic jakościowo nowego
• Poziom IV: Inne struktury matematyczne mają różne fundamentalne równania fizyki

Podczas gdy wszechświaty poziomu I łączą się płynnie, istnieją wyraźne demarkacje między tymi w poziomach II i III, spowodowane odpowiednio przez rozszerzającą się przestrzeń i dekoherencję. Wszechświaty poziomu IV są całkowicie oddzielne i należy je rozpatrywać łącznie tylko w celu przewidywania przyszłości, ponieważ “ty” możesz istnieć w więcej niż jednym z nich.

Chociaż to poziom I wpędził Giordana Bruna w kłopoty z inkwizycją, niewielu astronomów sugerowałoby dziś, że przestrzeń kończy się nagle na krawędzi obserwowalnego wszechświata. Jest ironią i być może zbiegiem okoliczności historycznych, że to poziom III wzbudził najwięcej kontrowersji w ostatnich dziesięcioleciach, ponieważ jest to jedyny, który nie dodaje jakościowo nowych typów wszechświatów.

Istnieją szerokie perspektywy na przyszłość w testowaniu, a być może i wykluczeniu tych teorii multiwersum. W nadchodzącej dekadzie znacznie ulepszone pomiary kosmologiczne promieniowania tła mikrofalowego, rozkładu materii na dużą skalę itp., przetestują poziom I, dodatkowo ograniczając krzywiznę i topologię przestrzeni, oraz przetestują poziom II, dostarczając rygorystycznych testów inflacji. Postęp zarówno w astrofizyce, jak i fizyce wysokich energii powinien również wyjaśnić, w jakim stopniu różne stałe fizyczne są precyzyjnie dostrojone, osłabiając lub wzmacniając argument za poziomem II. Jeśli obecny ogólnoświatowy wysiłek budowy komputerów kwantowych zakończy się sukcesem, dostarczy to dalszych dowodów na poziom III, ponieważ w istocie wykorzystywałyby one paralelizm multiwersum poziomu III do obliczeń równoległych (Deutsch 1997). I odwrotnie, eksperymentalne dowody naruszenia unitarności wykluczyłyby poziom III. Wreszcie, sukces lub porażka w wielkim wyzwaniu współczesnej fizyki, unifikacji ogólnej teorii względności i kwantowej teorii pola, rzucą więcej światła na poziom IV. Albo ostatecznie znajdziemy strukturę matematyczną pasującą do naszego wszechświata, albo natrafimy na granicę nierozsądnej skuteczności matematyki i będziemy musieli porzucić poziom IV.

Istnieją również interesujące kwestie teoretyczne do rozwiązania w ramach teorii multiwersum, przede wszystkim problem miary. Wraz ze wzrostem wiarygodności teorii multiwersum, drażliwa kwestia obliczania prawdopodobieństw w fizyce przeradza się z drobnej niedogodności w poważne zakłopotanie. Powodem, dla którego prawdopodobieństwa stają się tak ważne, jest to, że jeśli rzeczywiście istnieje wiele kopii “ty” z identycznym życiem przeszłym i wspomnieniami, nie mógłbyś obliczyć swojej własnej przyszłości, nawet gdybyś miał pełną wiedzę o całym stanie multiwersum. Dzieje się tak dlatego, że nie ma sposobu, abyś określił, która z tych kopii to “ty” (wszystkie czują, że to one). Wszystko, co możesz przewidzieć, to zatem prawdopodobieństwa tego, co zaobserwujesz, odpowiadające ułamkom tych obserwatorów, którzy doświadczają różnych rzeczy. Niestety, obliczenie, jaki ułamek nieskończenie wielu obserwatorów postrzega co, jest bardzo subtelne, ponieważ odpowiedź zależy od kolejności, w jakiej ich liczysz! Ułamek liczb całkowitych, które są parzyste, wynosi 50%, jeśli uporządkujesz je 1, 2, 3, 4..., ale zbliża się do 100%, jeśli uporządkujesz je alfabetycznie, tak jak robi to twój edytor tekstu (1, 10, 100, 1000, ...).

Kiedy obserwatorzy przebywają w odłączonych wszechświatach, nie ma oczywiście naturalnego sposobu ich uporządkowania i należy próbkować z różnych wszechświatów z pewnymi wagami statystycznymi, które matematycy nazywają “miarą”. Problem ten pojawia się w łagodny i łatwy do opanowania sposób na poziomie I, staje się poważny na poziomie II, wywołał wiele debat w kontekście wydobywania prawdopodobieństw kwantowych na poziomie III (de Witt 2003) i jest okropny na poziomie IV. Na poziomie II, na przykład, Vilenkin i inni opublikowali przewidywania dotyczące rozkładów prawdopodobieństwa różnych parametrów kosmologicznych, argumentując, że różne wszechświaty równoległe, które rozszerzyły się o różne wielkości, powinny otrzymać wagi statystyczne proporcjonalne do ich objętości (np. Garriga & Vilenkin 2001a). Z drugiej strony, każdy matematyk powie ci, że 2 × ∞ = ∞, więc nie ma obiektywnego sensu, w którym nieskończony wszechświat, który rozszerzył się o współczynnik dwa, stał się większy. Rzeczywiście, eksponencjalnie rozszerzający się wszechświat ma to, co matematycy nazywają wektorem Killinga typu czasowego, co oznacza, że jest niezmienniczy względem przesunięć w czasie, a zatem niezmienny z matematycznego punktu widzenia. Ponadto płaski wszechświat o skończonej objętości i topologii torusa jest równoważny doskonale okresowemu wszechświatowi o nieskończonej objętości, zarówno z perspektywy ptaka matematycznego, jak i z perspektywy żaby obserwatora w nim, więc dlaczego jego nieskończenie mniejsza objętość powinna dawać mu zerową wagę statystyczną? Ponieważ objętości Hubble'a zaczynają się powtarzać nawet w multiwersum poziomu I (choć 115 w losowej kolejności, a nie okresowo) po około 1010 metrach, czy nieskończona przestrzeń naprawdę powinna mieć większą wagę statystyczną niż skończony region o tym rozmiarze? Problem ten należy rozwiązać, aby empirycznie przetestować modele stochastycznej inflacji. Jeśli myślałeś, że to źle, rozważ problem przypisywania wag statystycznych różnym strukturom matematycznym na poziomie IV. Fakt, że nasz wszechświat wydaje się stosunkowo prosty, skłonił wiele osób do zasugerowania, że poprawna miara w jakiś sposób wiąże się ze złożonością. Na przykład, można by nagradzać prostotę, ważąc każdą strukturę matematyczną przez 2−n , gdzie n jest jej algorytmiczną zawartością informacyjną mierzoną w bitach, zdefiniowaną jako długość najkrótszego ciągu bitów (powiedzmy programu komputerowego), który by ją określał (Chaitin 1987).

Odpowiadałoby to równym wagom dla wszystkich nieskończonych ciągów bitów (każdy reprezentowalny jako liczba rzeczywista, np. .101011101...), a nie dla wszystkich struktur matematycznych. Jeśli istnieje tak wykładnicza kara za wysoką złożoność, powinniśmy prawdopodobnie spodziewać się, że zamieszkamy jedną z najprostszych struktur matematycznych wystarczająco złożonych, aby zawierały obserwatorów. Jednak złożoność algorytmiczna zależy od tego, jak struktury są mapowane na ciągi bitów (Chaitin 1987; Deutsch 2003) i jest daleka od oczywistości, czy istnieje najbardziej naturalna definicja, której rzeczywistość mogłaby się podporządkować.

Czy zatem powinieneś wierzyć w wszechświaty równoległe? Zakończmy krótką dyskusją argumentów za i przeciw. Przede wszystkim widzieliśmy, że nie jest to pytanie typu tak/nie — raczej najciekawszym pytaniem jest to, czy istnieją 0, 1, 2, 3 lub 4 poziomy multiwersów. Rysunek 1 podsumowuje dowody na istnienie różnych poziomów. Obserwacje kosmologiczne wspierają poziom I, wskazując na płaską, nieskończoną przestrzeń z ergodycznym rozkładem materii, a poziom I plus inflacja elegancko eliminuje problem warunków początkowych. Poziom II jest wspierany przez sukces teorii inflacji w wyjaśnianiu obserwacji kosmologicznych i może wyjaśnić pozorne dostrojenie parametrów fizycznych. Poziom III jest wspierany zarówno przez eksperymentalne, jak i teoretyczne dowody na unitarność i wyjaśnia pozorny kwantowy losowość, która tak bardzo przeszkadzała Einsteinowi, bez porzucania przyczynowości z perspektywy ptaka. Poziom IV wyjaśnia nierozsądną skuteczność matematyki Wignera w opisywaniu fizyki i odpowiada na pytanie “dlaczego te równania, a nie inne?”.

Głównymi argumentami przeciwko wszechświatom równoległym jest to, że są one marnotrawne i dziwne, więc rozważmy te dwa zarzuty po kolei. Pierwszy argument jest taki, że teorie multiwersum są podatne na brzytwę Ockhama, ponieważ postulują istnienie innych światów, których nigdy nie możemy zaobserwować. Dlaczego natura miałaby być tak ontologicznie marnotrawna i oddawać się takiej wystawności, jak zawieranie nieskończoności różnych światów? Co ciekawe, argument ten można odwrócić, aby argumentować za multiwersum. Kiedy czujemy, że natura jest marnotrawna, czym dokładnie jesteśmy zaniepokojeni, że marnuje? Z pewnością nie “przestrzenią”, ponieważ standardowy płaski model wszechświata z jego nieskończoną objętością nie budzi takich zastrzeżeń. Z pewnością nie “masą” ani “atomami”, z tego samego powodu — gdy już zmarnowałeś nieskończoną ilość czegoś, kogo obchodzi, czy zmarnujesz trochę więcej? Raczej prawdopodobnie to pozorne zmniejszenie prostoty wydaje się niepokojące, ilość informacji niezbędnych do określenia wszystkich tych niewidocznych światów. Jednak, jak omówiono bardziej szczegółowo w Tegmark (1996), cała ensemble jest często znacznie prostsza niż jeden z jej członków. Na przykład algorytmiczna zawartość informacyjna ogólnej liczby całkowitej n jest rzędu log2 n (Chaitin 1987), liczby bitów wymaganych do zapisania jej w systemie binarnym. Niemniej jednak zbiór wszystkich liczb całkowitych 1, 2, 3, ... może być generowany przez dość trywialny program komputerowy, więc złożoność algorytmiczna całego zbioru jest mniejsza niż złożoność algorytmiczna ogólnego elementu. Podobnie, zbiór wszystkich rozwiązań doskonałego płynu dla równań pola Einsteina ma mniejszą złożoność algorytmiczną niż ogólne konkretne rozwiązanie, ponieważ to pierwsze jest określane po prostu przez podanie kilku równań, a to drugie wymaga określenia ogromnych ilości danych początkowych na pewnej powierzchni. Mówiąc ogólnie, pozorna zawartość informacyjna rośnie, gdy ograniczamy naszą uwagę do jednego konkretnego elementu w ensemble, tracąc w ten sposób symetrię i prostotę, która była nieodłączna od całości wszystkich elementów wziętych razem. W tym sensie multiwersy wyższego poziomu mają mniejszą złożoność algorytmiczną. Przejście od naszego wszechświata do multiwersum poziomu I eliminuje potrzebę określania warunków początkowych, aktualizacja do poziomu II eliminuje potrzebę określania stałych fizycznych, a multiwersum poziomu IV wszystkich struktur matematycznych zasadniczo nie ma żadnej złożoności algorytmicznej. Ponieważ istnieje to jedynie z perspektywy żaby, w subiektywnych percepcjach obserwatorów, że ta wystawność informacji i złożoności naprawdę tam jest, teoria multiwersum jest prawdopodobnie bardziej ekonomiczna niż ta, która obdarza fizyczną egzystencją tylko jeden element ensemble (Tegmark 1996).

Drugim powszechnym zarzutem wobec multiwersów jest to, że są dziwne. Ten zarzut jest raczej estetyczny niż naukowy i, jak wspomniano powyżej, ma naprawdę sens tylko w arystotelesowskim światopoglądzie. W paradygmacie platońskim można by oczekiwać, że obserwatorzy będą narzekać, że poprawna TOE jest dziwna, jeśli perspektywa ptaka jest wystarczająco różna od perspektywy żaby, i wszystko wskazuje na to, że tak jest w naszym przypadku. Postrzegana dziwność nie jest zaskakująca, ponieważ ewolucja dała nam intuicję tylko dla codziennej fizyki, która miała wartość przetrwania dla naszych odległych przodków. Dzięki sprytnym wynalazkom rzuciliśmy okiem na nieco więcej niż perspektywa żaby naszego normalnego wewnętrznego widoku i, co zrozumiałe, napotkaliśmy dziwaczne zjawiska, ilekroć odchodziliśmy od ludzkich skal w jakikolwiek sposób: przy dużych prędkościach (czas zwalnia), w małych skalach (cząstki kwantowe mogą znajdować się w kilku miejscach naraz), w dużych skalach (czarne dziury), w niskich temperaturach (ciekły hel może płynąć do góry), w wysokich temperaturach (zderzające się cząstki mogą zmieniać tożsamość) itp. W rezultacie fizycy w dużej mierze zaakceptowali już, że perspektywy żaby i ptaka są bardzo różne. Powszechny współczesny pogląd na kwantową teorię pola jest taki, że model standardowy jest jedynie efektywną teorią, granicą niskiej energii teorii, która jeszcze nie została odkryta, a która jest jeszcze bardziej oddalona od naszych przytulnych klasycznych koncepcji (obejmujących struny w 10 wymiarach, powiedzmy). Wielu eksperymentatorów staje się znudzonych produkowaniem tak wielu “dziwnych” (ale doskonale powtarzalnych) wyników eksperymentalnych i po prostu akceptuje, że świat jest dziwniejszym miejscem, niż nam się wydawało, i zabiera się do swoich obliczeń.

Widzieliśmy, że wspólną cechą wszystkich czterech poziomów multiwersum jest to, że najprostsza i prawdopodobnie najbardziej elegancka teoria domyślnie obejmuje wszechświaty równoległe i że trzeba skomplikować teorię, dodając niepoparte eksperymentalnie procesy i postulaty ad hoc (skończona przestrzeń, załamanie funkcji falowej, asymetria ontologiczna itp.), aby wytłumaczyć wszechświaty równoległe. Nasza ocena estetyczna sprowadza się zatem do tego, co uważamy za bardziej marnotrawne i nieeleganckie: wiele światów czy wiele słów. Być może stopniowo przyzwyczaimy się do dziwnych dróg naszego kosmosu, a nawet uznamy jego dziwność za część jego uroku.

Podziękowania: Autor (Max Tegmark, Dept. of Physics, Univ. of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104; max@physics.upenn.edu) pragnie podziękować Anthony'emu Aguirre, Aaronowi Classensowi, Angelice de Oliveira-Costa, George'owi Musserowi, Davidowi Raubowi, Martinowi Reesowi, Haroldowi Shapiro i Alexowi Vilenkinowi za stymulujące dyskusje. Praca ta została wsparta grantami NSF AST-0071213 & AST-0134999, grantami NASA NAG5-9194 & NAG5-11099, stypendium od David and Lucile Packard Foundation oraz stypendium Cottrell Scholarship od Research Corporation.