Multivesmír úrovně IV: Matematické struktury a fyzická realita

Předpokládejme, že si osvojíte platonistické paradigma a věříte, že na vrcholu obrázku 7 skutečně existuje TOE – a že jsme prostě ještě nenašli správné rovnice. Pak zůstává trapná otázka, jak zdůraznil John Archibald Wheeler: Proč zrovna tyto rovnice, a ne jiné? Pojďme nyní prozkoumat myšlenku matematické demokracie, podle které jsou vesmíry řízené jinými rovnicemi stejně reálné. Toto je multivesmír úrovně IV. Nejprve však musíme strávit dvě další myšlenky: koncept matematické struktury a myšlenku, že fyzický svět může být jednou z nich.

Mnoho z nás si myslí, že matematika je pytel triků, které jsme se naučili ve škole k manipulaci s čísly. Většina matematiků má však na své pole velmi odlišný pohled. Studují abstraktnější objekty, jako jsou funkce, množiny, prostory a operátory, a snaží se dokázat věty o vztazích mezi nimi. Některé moderní matematické články jsou tak abstraktní, že jediná čísla, která v nich najdete, jsou čísla stránek! Co má společného dvanáctistěn s množinou komplexních čísel? Navzdory množství matematických struktur s děsivými názvy jako orbifoldy a Killingova pole se v posledním století objevila pozoruhodná základní jednota: všechny matematické struktury jsou jen speciální případy jedné a téže věci: takzvané formální systémy. Formální systém se skládá z abstraktních symbolů a pravidel pro manipulaci s nimi, která určují, jak lze z daných symbolů odvodit nové řetězce symbolů označované jako věty označované jako axiomy. Tento historický vývoj představoval formu dekonstrukcionismu, protože zbavil všechny významy a interpretace, které byly tradičně dávány matematickým strukturám, a destiloval pouze abstraktní vztahy zachycující jejich samotnou podstatu. Výsledkem je, že počítače nyní mohou dokazovat věty o geometrii, aniž by měly jakoukoli fyzickou intuici o tom, jaký prostor je.

Obrázek 8 ukazuje některé z nejzákladnějších matematických struktur a jejich vzájemné vztahy. I když se tento rodokmen pravděpodobně rozšiřuje donekonečna, ilustruje, že na matematických strukturách není nic nejasného. Jsou „tam venku“ v tom smyslu, že je matematici objevují, spíše než aby je vytvářeli, a že kontemplativní mimozemské civilizace by našly stejné struktury (věta je pravdivá bez ohledu na to, zda ji dokáže člověk, počítač nebo mimozemšťan).

Nyní si osvojme myšlenku, že fyzický svět (konkrétně multivesmír úrovně III) je matematická struktura. I když to mnoho teoretických fyziků tradičně považuje za samozřejmé, je to hluboká a dalekosáhlá myšlenka. Znamená to, že matematické rovnice popisují nejen některé omezené aspekty fyzického světa, ale všechny jeho aspekty. Znamená to, že existuje nějaká matematická struktura, která je pro matematiky izomorfní (a tedy ekvivalentní) našemu fyzickému světu, přičemž každá fyzická entita má jedinečný protějšek v matematické struktuře a naopak. Pojďme se podívat na některé příklady.

Před sto lety, kdy ještě vládla klasická fyzika, se mnoho vědců domnívalo, že fyzický prostor je izomorfní s matematickou strukturou známou jako R3: trojrozměrný euklidovský prostor. Navíc si někteří mysleli, že všechny formy hmoty ve vesmíru odpovídají různým klasickým polím: elektrickému poli, magnetickému poli a možná několika neobjeveným, matematicky odpovídajícím funkcím na R3 (hrstka čísel v každém bodě prostoru). V tomto pohledu (později se ukázalo jako nesprávný) byly husté shluky hmoty, jako jsou atomy, jednoduše oblasti v prostoru, kde byla některá pole silná (kde byla některá čísla velká). Tato pole se deterministicky vyvíjela v čase podle některých parciálních diferenciálních rovnic a pozorovatelé to vnímali jako pohybující se věci a probíhající události. Mohla by tedy pole v trojrozměrném prostoru být matematickou strukturou odpovídající vesmíru? Ne, protože matematická struktura se nemůže měnit – je to abstraktní, neměnná entita existující mimo prostor a čas. Naše známá žabí perspektiva trojrozměrného prostoru, kde se události odehrávají, je ekvivalentní, z ptačí perspektivy, čtyřrozměrnému časoprostoru, kde je obsažena celá historie, takže matematickou strukturou by byla pole ve čtyřrozměrném prostoru. Jinými slovy, pokud by historie byla film, matematická struktura by neodpovídala jednomu snímku, ale celé videokazetě.

Pokud máme matematickou strukturu, řekneme, že má fyzickou existenci, pokud jakákoli sebeuvědomující se substruktura (SAS) v ní subjektivně, z její žabí perspektivy, vnímá sama sebe jako žijící ve fyzicky reálném světě. Jak by taková SAS matematicky vypadala? V klasickém fyzikálním příkladu výše by SAS, jako jste vy, byla trubice časoprostorem, tlustá verze toho, co Einstein označoval jako světovou čáru. Umístění trubice by určovalo vaši polohu v prostoru v různých časech. Uvnitř trubice by pole vykazovala určité komplexní chování, které by odpovídalo ukládání a zpracování informací o hodnotách pole v okolí, a v každé poloze podél trubice by tyto procesy vyvolávaly známý, ale záhadný pocit sebeuvědomění. Ze své žabí perspektivy by SAS vnímala tento jednorozměrný řetězec vjemů podél trubice jako plynutí času.

I když náš příklad ilustruje myšlenku, jak může být náš fyzický svět matematickou strukturou, je nyní známo, že tato konkrétní matematická struktura (pole ve čtyřrozměrném prostoru) je nesprávná. Poté, co si Einstein uvědomil, že časoprostor může být zakřivený, neústupně hledal takzvanou sjednocenou teorii pole, kde by vesmír byl to, co matematici nazývají 3+1-rozměrná pseudo-Riemannova varieta s tenzorovými poli, ale to nevysvětlovalo pozorované chování atomů. Podle kvantové teorie pole, moderní syntézy speciální teorie relativity a kvantové teorie, je vesmír (v tomto případě multivesmír úrovně III) matematická struktura známá jako algebra operátorově hodnotových polí. Zde je otázka, co tvoří SAS, jemnější (Tegmark 2000). To však nepopisuje vypařování černých děr, první případ Velkého třesku a další kvantové gravitační jevy, takže skutečná matematická struktura izomorfní s naším vesmírem, pokud existuje, ještě nebyla nalezena.

Nyní předpokládejme, že náš fyzický svět je skutečně matematická struktura a že vy jste SAS v ní. To znamená, že ve stromu matematiky na obrázku 8 je jeden z rámečků náš vesmír. (Celý strom je pravděpodobně nekonečný, takže náš konkrétní rámeček není jedním z mála rámečků ze spodní části stromu, které jsou zobrazeny.)

Jinými slovy, tato konkrétní matematická struktura se těší nejen matematické existenci, ale i fyzické existenci. A co všechny ostatní rámečky ve stromě? Těší se i ony fyzické existenci? Pokud ne, existovala by v samotném srdci reality zabudovaná zásadní, nevysvětlená ontologická asymetrie, která by rozdělovala matematické struktury do dvou tříd: ty s fyzickou existencí a ty bez ní. Jako cestu z tohoto filozofického hlavolamu jsem navrhl (Tegmark 1998), že platí úplná matematická demokracie: že matematická existence a fyzická existence jsou ekvivalentní, takže všechny matematické struktury fyzicky existují také. Toto je multivesmír úrovně IV. Lze jej považovat za formu radikálního platonismu, který tvrdí, že matematické struktury v Platónově říši idejí, v Mindscape Ruckera (1982), existují „tam venku“ ve fyzickém smyslu (Davies 1993), což vrhá takzvanou teorii modálního realismu Davida Lewise (1986) do matematických pojmů podobných tomu, co Barrow (1991; 1992) označuje jako „π na obloze“. Pokud je tato teorie správná, pak vzhledem k tomu, že nemá žádné volné parametry, všechny vlastnosti všech paralelních vesmírů (včetně subjektivních vjemů SAS v nich) by v zásadě mohl odvodit nekonečně inteligentní matematik.

Čtyři úrovně paralelních vesmírů jsme popsali v pořadí rostoucí spekulativnosti, tak proč bychom měli věřit v úroveň IV? Logicky se opírá o dva samostatné předpoklady:

• Předpoklad 1: Že fyzický svět (konkrétně náš multivesmír úrovně III) je matematická struktura
• Předpoklad 2: Matematická demokracie: že všechny matematické struktury existují „tam venku“ ve stejném smyslu

Wigner (1967) v slavné eseji tvrdil, že „obrovská užitečnost matematiky v přírodních vědách je něco hraničícího se záhadným“ a že „pro ni neexistuje žádné racionální vysvětlení“. Tento argument lze považovat za podporu předpokladu 1: zde je užitečnost matematiky pro popis fyzického světa přirozeným důsledkem skutečnosti, že ten druhý je matematická struktura, a my to prostě kousek po kousku odhalujeme. Různé aproximace, které tvoří naše současné fyzikální teorie, jsou úspěšné, protože jednoduché matematické struktury mohou poskytnout dobré aproximace toho, jak bude SAS vnímat složitější matematické struktury. Jinými slovy, naše úspěšné teorie nejsou matematika aproximující fyziku, ale matematika aproximující matematiku. Wignerovo pozorování pravděpodobně není založeno na náhodných shodách okolností, protože v desetiletích od jeho vzniku bylo v přírodě objeveno mnohem více matematické regularity, včetně standardního modelu částicové fyziky.

Druhý argument podporující předpoklad 1 spočívá v tom, že abstraktní matematika je tak obecná, že jakákoli TOE, která je definovatelná čistě formálními termíny (nezávisle na nejasné lidské terminologii), je také matematická struktura. Například TOE zahrnující sadu různých typů entit (označených slovy, řekněme) a vztahů mezi nimi (označených dalšími slovy) není nic jiného než to, co matematici nazývají teoretickým modelem množin, a obecně lze najít formální systém, jehož je modelem.

Tento argument také činí předpoklad 2 přitažlivějším, protože implikuje, že jakoukoli myslitelnou teorii paralelních vesmírů lze popsat na úrovni IV. Multivesmír úrovně IV, nazývaný „konečná teorie souboru“ v Tegmark (1997), protože zahrnuje všechny ostatní soubory, proto uzavírá hierarchii multivesmírů a nemůže existovat například úroveň V. Uvažování o souboru matematických struktur nepřidává nic nového, protože se stále jedná pouze o další matematickou strukturu. A co často diskutovaná myšlenka, že vesmír je počítačová simulace? Tato myšlenka se často objevuje ve sci-fi a byla podstatně rozpracována (např. Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Informační obsah (paměťový stav) digitálního počítače je řetězec bitů, řekněme „1001011100111001...“ velké, ale konečné délky, ekvivalentní nějakému velkému, ale konečnému celému číslu n zapsanému binárně. Zpracování informací počítačem je deterministické pravidlo pro změnu každého paměťového stavu na jiný (aplikované znovu a znovu), takže matematicky je to jednoduše funkce f mapující celá čísla na sebe, která se iteruje: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Jinými slovy, i ta nejsofistikovanější počítačová simulace je jen další speciální případ matematické struktury a je již zahrnuta v multivesmíru úrovně IV. (Mimochodem, iterování spojitých funkcí spíše než celočíselných může vést k fraktálům.)

Další lákavou vlastností předpokladu 2 je, že poskytuje jedinou dosavadní odpověď na Wheelerovu otázku: Proč zrovna tyto rovnice, a ne jiné? Mít vesmíry tančící podle melodie všech možných rovnic také jednou provždy řeší problém jemného doladění v oddíle II C, a to i na úrovni základních rovnic: i když mnoho, ne-li většina matematických struktur bude pravděpodobně mrtvá a zbavená SAS, protože nedokáže zajistit složitost, stabilitu a předvídatelnost, které SAS vyžadují, samozřejmě očekáváme, že se 100% pravděpodobností zjistíme, že obýváme matematickou strukturu schopnou podporovat život. Kvůli tomuto selektivnímu efektu by pak odpověď na otázku „co vdechuje oheň do rovnic a vytváří vesmír, který by popisovaly?“ (Hawking 1993) byla „ty, SAS“.

Způsob, jakým používáme, testujeme a potenciálně vylučujeme jakoukoli teorii, je výpočet rozdělení pravděpodobnosti pro naše budoucí vjemy na základě našich minulých vjemů a porovnání těchto předpovědí s naším pozorovaným výsledkem. V teorii multivesmíru existuje obvykle více než jedna SAS, která zažila minulý život identický s vaším, takže neexistuje způsob, jak určit, která z nich jste vy. Chcete-li provést předpovědi, musíte tedy vypočítat, jaké zlomky z nich budou v budoucnu vnímat co, což vede k následujícím předpovědím:

• Předpověď 1: Matematická struktura popisující náš svět je nejobecnější, která je konzistentní s našimi pozorováními.
• Předpověď 2: Naše budoucí pozorování jsou nejobecnější, která jsou konzistentní s našimi minulými pozorováními.
• Předpověď 3: Naše minulá pozorování jsou nejobecnější, která jsou konzistentní s naší existencí.

K problému, co znamená „obecný“, se vrátíme v části MeasureSec (problém míry). Jedním z pozoruhodných rysů matematických struktur, o kterém se podrobně diskutuje v Tegmark (1997), je však to, že druh symetrie a invariantních vlastností, které jsou zodpovědné za jednoduchost a uspořádanost našeho vesmíru, bývají obecné, spíše pravidlem než výjimkou – matematické struktury je mají tendenci mít ve výchozím nastavení a ke zrušení je třeba přidat složité další axiomy atd. Jinými slovy, jak z tohoto důvodu, tak i kvůli selektivním efektům bychom nutně neměli očekávat, že život v multivesmíru úrovně IV bude neuspořádaný.