Level IV Multiversum: Andere mathematische Strukturen & physikalische Realität

Nehmen wir an, Sie kaufen das platonische Paradigma und glauben, dass es wirklich eine TOE an der Spitze von Abbildung 7 gibt — und dass wir einfach noch nicht die richtigen Gleichungen gefunden haben. Dann bleibt eine peinliche Frage, wie John Archibald Wheeler betonte: Warum gerade diese Gleichungen, nicht andere? Lassen Sie uns nun die Idee der mathematischen Demokratie untersuchen, wonach Universen, die von anderen Gleichungen regiert werden, gleichermaßen real sind. Dies ist das Level IV Multiversum. Zuerst müssen wir jedoch zwei andere Ideen verdauen: das Konzept einer mathematischen Struktur und die Vorstellung, dass die physische Welt eine sein könnte.

Viele von uns betrachten Mathematik als eine Sammlung von Tricks, die wir in der Schule gelernt haben, um Zahlen zu manipulieren. Die meisten Mathematiker haben jedoch eine ganz andere Sicht auf ihr Fachgebiet. Sie untersuchen abstraktere Objekte wie Funktionen, Mengen, Räume und Operatoren und versuchen, Theoreme über die Beziehungen zwischen ihnen zu beweisen. Tatsächlich sind einige moderne Mathematikarbeiten so abstrakt, dass die einzigen Zahlen, die Sie darin finden, die Seitenzahlen sind! Was hat ein Dodekaeder mit einer Menge komplexer Zahlen gemeinsam? Trotz der Fülle mathematischer Strukturen mit einschüchternden Namen wie Orbifaltigkeiten und Killing-Feldern hat sich im letzten Jahrhundert eine bemerkenswerte zugrunde liegende Einheit herauskristallisiert: Alle mathematischen Strukturen sind nur Sonderfälle ein und derselben Sache: sogenannte formale Systeme. Ein formales System besteht aus abstrakten Symbolen und Regeln für deren Manipulation, die festlegen, wie neue Zeichenketten von Symbolen, die als Theoreme bezeichnet werden, aus gegebenen Zeichenketten, die als Axiome bezeichnet werden, abgeleitet werden können. Diese historische Entwicklung stellte eine Form des Dekonstruktionismus dar, da sie alle Bedeutung und Interpretation entfernte, die mathematischen Strukturen traditionell gegeben worden war, und nur die abstrakten Beziehungen herausfilterte, die ihr eigentliches Wesen erfassen. Infolgedessen können Computer jetzt Theoreme über Geometrie beweisen, ohne irgendeine physische Intuition darüber zu haben, wie der Raum ist.

Abbildung 8 zeigt einige der grundlegendsten mathematischen Strukturen und ihre Beziehungen. Obwohl sich dieser Stammbaum wahrscheinlich unendlich ausdehnt, veranschaulicht er, dass mathematische Strukturen nichts Unklares an sich haben. Sie sind „außerhalb“ in dem Sinne, dass Mathematiker sie entdecken, anstatt sie zu erschaffen, und dass nachdenkliche außerirdische Zivilisationen die gleichen Strukturen finden würden (ein Theorem ist wahr, unabhängig davon, ob es von einem Menschen, einem Computer oder einem Außerirdischen bewiesen wird).

Lassen Sie uns nun die Idee verdauen, dass die physische Welt (insbesondere das Level III Multiversum) eine mathematische Struktur ist. Obwohl dies traditionell von vielen theoretischen Physikern als selbstverständlich angesehen wird, ist dies eine tiefe und weitreichende Vorstellung. Es bedeutet, dass mathematische Gleichungen nicht nur einige begrenzte Aspekte der physischen Welt beschreiben, sondern alle Aspekte davon. Es bedeutet, dass es eine mathematische Struktur gibt, die das ist, was Mathematiker isomorph (und daher äquivalent) zu unserer physischen Welt nennen, wobei jede physische Entität ein eindeutiges Gegenstück in der mathematischen Struktur hat und umgekehrt. Betrachten wir einige Beispiele.

Vor einem Jahrhundert, als die klassische Physik noch vorherrschte, glaubten viele Wissenschaftler, dass der physische Raum isomorph zu der mathematischen Struktur war, die als R3 bekannt ist: dreidimensionaler euklidischer Raum. Darüber hinaus dachten einige, dass alle Formen von Materie im Universum verschiedenen klassischen Feldern entsprachen: dem elektrischen Feld, dem magnetischen Feld und vielleicht einigen unentdeckten Feldern, die mathematisch Funktionen auf R3 entsprechen (eine Handvoll Zahlen an jedem Punkt im Raum). In dieser Sichtweise (die sich später als falsch herausstellte) waren dichte Materieansammlungen wie Atome einfach Regionen im Raum, in denen einige Felder stark waren (wo einige Zahlen groß waren). Diese Felder entwickelten sich im Laufe der Zeit deterministisch gemäß einigen partiellen Differentialgleichungen, und Beobachter nahmen dies als Dinge wahr, die sich bewegten und Ereignisse, die stattfanden. Könnten dann Felder im dreidimensionalen Raum die mathematische Struktur sein, die dem Universum entspricht? Nein, da sich eine mathematische Struktur nicht ändern kann — sie ist eine abstrakte, unveränderliche Entität, die außerhalb von Raum und Zeit existiert. Unsere vertraute Froschperspektive eines dreidimensionalen Raums, in dem sich Ereignisse entfalten, ist aus der Vogelperspektive äquivalent zu einer vierdimensionalen Raumzeit, in der die gesamte Geschichte enthalten ist, sodass die mathematische Struktur Felder im vierdimensionalen Raum wären. Mit anderen Worten, wenn die Geschichte ein Film wäre, würde die mathematische Struktur nicht einem einzelnen Frame davon entsprechen, sondern dem gesamten Videoband.

Angesichts einer mathematischen Struktur werden wir sagen, dass sie physische Existenz hat, wenn jede selbstbewusste Substruktur (SAS) darin subjektiv aus ihrer Froschperspektive sich selbst als in einer physisch realen Welt lebend wahrnimmt. Wie würde eine solche SAS mathematisch aussehen? Im obigen Beispiel der klassischen Physik wäre eine SAS wie Sie eine Röhre durch die Raumzeit, eine dicke Version dessen, was Einstein als Weltlinie bezeichnete. Die Position der Röhre würde Ihre Position im Raum zu verschiedenen Zeiten angeben. Innerhalb der Röhre würden die Felder ein bestimmtes komplexes Verhalten zeigen, das dem Speichern und Verarbeiten von Informationen über die Feldwerte in der Umgebung entspricht, und an jeder Position entlang der Röhre würden diese Prozesse das vertraute, aber mysteriöse Gefühl des Selbstbewusstseins hervorrufen. Aus ihrer Froschperspektive würde die SAS diese eindimensionale Kette von Wahrnehmungen entlang der Röhre als Zeitablauf wahrnehmen.

Obwohl unser Beispiel die Idee veranschaulicht, wie unsere physische Welt eine mathematische Struktur sein kann, ist bekannt, dass diese spezielle mathematische Struktur (Felder im vierdimensionalen Raum) die falsche ist. Nachdem Einstein erkannt hatte, dass die Raumzeit gekrümmt sein könnte, suchte er hartnäckig nach einer sogenannten einheitlichen Feldtheorie, in der das Universum das war, was Mathematiker als 3+1-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit mit Tensorfeldern bezeichnen, aber dies konnte das beobachtete Verhalten von Atomen nicht erklären. Laut der Quantenfeldtheorie, der modernen Synthese der speziellen Relativitätstheorie und der Quantentheorie, ist das Universum (in diesem Fall das Level III Multiversum) eine mathematische Struktur, die als Algebra operatorwertiger Felder bekannt ist. Hier ist die Frage, was eine SAS ausmacht, subtiler (Tegmark 2000). Dies beschreibt jedoch nicht die Verdampfung schwarzer Löcher, den ersten Fall des Urknalls und andere Quantengravitationsphänomene, sodass die wahre mathematische Struktur, die isomorph zu unserem Universum ist, falls sie existiert, noch nicht gefunden wurde.

Nehmen wir nun an, dass unsere physische Welt wirklich eine mathematische Struktur ist und dass Sie eine SAS darin sind. Dies bedeutet, dass in der Mathematik-Baumstruktur von Abbildung 8 eine der Boxen unser Universum ist. (Der vollständige Baum ist wahrscheinlich unendlich groß, sodass unsere spezielle Box nicht eine der wenigen Boxen vom unteren Rand des Baums ist, die gezeigt werden.)

Mit anderen Worten, diese spezielle mathematische Struktur genießt nicht nur mathematische Existenz, sondern auch physische Existenz. Was ist mit all den anderen Boxen im Baum? Genießen auch sie physische Existenz? Wenn nicht, gäbe es eine fundamentale, unerklärliche ontologische Asymmetrie, die im Herzen der Realität eingebaut ist und mathematische Strukturen in zwei Klassen einteilt: solche mit und ohne physische Existenz. Als Ausweg aus diesem philosophischen Dilemma habe ich vorgeschlagen (Tegmark 1998), dass eine vollständige mathematische Demokratie herrscht: dass mathematische Existenz und physische Existenz äquivalent sind, sodass alle mathematischen Strukturen auch physisch existieren. Dies ist das Level IV Multiversum. Es kann als eine Form des radikalen Platonismus betrachtet werden, die besagt, dass die mathematischen Strukturen in Platos Reich der Ideen, der Mindscape von Rucker (1982), in einem physischen Sinne „außerhalb“ existieren (Davies 1993), wodurch die sogenannte modale Realismustheorie von David Lewis (1986) in mathematischen Begriffen dargestellt wird, die dem ähneln, was Barrow (1991; 1992) als “π am Himmel“ bezeichnet. Wenn diese Theorie richtig ist, dann könnten alle Eigenschaften aller Paralleluniversen (einschließlich der subjektiven Wahrnehmungen von SASs in ihnen) im Prinzip von einem unendlich intelligenten Mathematiker abgeleitet werden, da sie keine freien Parameter hat.

Wir haben die vier Ebenen paralleler Universen in der Reihenfolge zunehmender Spekulativität beschrieben. Warum sollten wir also an Level IV glauben? Logisch gesehen beruht es auf zwei getrennten Annahmen:

• Annahme 1: Dass die physische Welt (insbesondere unser Level III Multiversum) eine mathematische Struktur ist
• Annahme 2: Mathematische Demokratie: dass alle mathematischen Strukturen im gleichen Sinne „außerhalb“ existieren

In einem berühmten Essay argumentierte Wigner (1967), dass “die enorme Nützlichkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften an das Mysteriöse grenzt” und dass “es keine rationale Erklärung dafür gibt”. Dieses Argument kann als Unterstützung für Annahme 1 angesehen werden: Hier ist die Nützlichkeit der Mathematik zur Beschreibung der physischen Welt eine natürliche Folge der Tatsache, dass letztere eine mathematische Struktur ist, und wir decken dies einfach Stück für Stück auf. Die verschiedenen Näherungen, aus denen unsere aktuellen Physiktheorien bestehen, sind erfolgreich, weil einfache mathematische Strukturen gute Näherungen dafür liefern können, wie eine SAS komplexere mathematische Strukturen wahrnehmen wird. Mit anderen Worten, unsere erfolgreichen Theorien sind nicht Mathematik, die sich der Physik annähert, sondern Mathematik, die sich der Mathematik annähert. Es ist unwahrscheinlich, dass Wigners Beobachtung auf Zufallskoinzidenzen beruht, da in den Jahrzehnten seit seiner Veröffentlichung weitaus mehr mathematische Regelmäßigkeiten in der Natur entdeckt wurden, darunter das Standardmodell der Teilchenphysik.

Ein zweites Argument zur Unterstützung von Annahme 1 ist, dass die abstrakte Mathematik so allgemein ist, dass jede TOE, die in rein formalen Begriffen (unabhängig von vager menschlicher Terminologie) definierbar ist, auch eine mathematische Struktur ist. Beispielsweise ist eine TOE, die eine Menge verschiedener Arten von Entitäten (bezeichnet durch Wörter, sagen wir) und Beziehungen zwischen ihnen (bezeichnet durch zusätzliche Wörter) beinhaltet, nichts anderes als das, was Mathematiker ein mengentheoretisches Modell nennen, und man kann im Allgemeinen ein formales System finden, von dem es ein Modell ist.

Dieses Argument macht auch Annahme 2 attraktiver, da es impliziert, dass jede denkbare Paralleluniversumstheorie auf Level IV beschrieben werden kann. Das Level IV Multiversum, in Tegmark (1997) als „ultimative Ensemble-Theorie“ bezeichnet, da es alle anderen Ensembles umfasst, schließt daher die Hierarchie der Multiversen ab, und es kann kein Level V geben. Die Betrachtung eines Ensembles mathematischer Strukturen fügt nichts Neues hinzu, da dies immer noch nur eine weitere mathematische Struktur ist. Was ist mit der häufig diskutierten Vorstellung, dass das Universum eine Computersimulation ist? Diese Idee kommt häufig in der Science-Fiction vor und wurde ausführlich ausgearbeitet (z. B. Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Der Informationsgehalt (Speicherzustand) eines digitalen Computers ist eine Bitfolge, sagen wir „1001011100111001...“ von großer, aber endlicher Länge, äquivalent zu einer großen, aber endlichen ganzen Zahl n, die binär geschrieben ist. Die Informationsverarbeitung eines Computers ist eine deterministische Regel, um jeden Speicherzustand in einen anderen zu ändern (immer wieder angewendet), sodass es mathematisch einfach eine Funktion f ist, die die ganzen Zahlen auf sich selbst abbildet und iteriert wird: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Mit anderen Worten, selbst die ausgefeilteste Computersimulation ist nur ein weiterer Sonderfall einer mathematischen Struktur und bereits im Level IV Multiversum enthalten. (Übrigens kann die Iteration stetiger Funktionen anstelle von ganzzahligen Funktionen zu Fraktalen führen.)

Ein weiteres attraktives Merkmal von Annahme 2 ist, dass sie bisher die einzige Antwort auf Wheelers Frage liefert: Warum gerade diese Gleichungen, nicht andere? Universen zu haben, die nach den Melodien aller möglichen Gleichungen tanzen, löst auch das Feinabstimmungsproblem von Abschnitt II C ein für alle Mal, selbst auf der Ebene der fundamentalen Gleichungen: Obwohl viele, wenn nicht die meisten mathematischen Strukturen wahrscheinlich tot und ohne SASs sind, da sie nicht die Komplexität, Stabilität und Vorhersagbarkeit bieten, die SASs benötigen, erwarten wir natürlich mit 100%iger Wahrscheinlichkeit, dass wir eine mathematische Struktur bewohnen, die Leben unterstützen kann. Aufgrund dieses Selektionseffekts wäre die Antwort auf die Frage „was ist es, das Feuer in die Gleichungen haucht und ein Universum für sie erschafft, um es zu beschreiben?“ (Hawking 1993) dann „sie, die SAS“.

Die Art und Weise, wie wir jede Theorie verwenden, testen und möglicherweise ausschließen, besteht darin, Wahrscheinlichkeitsverteilungen für unsere zukünftigen Wahrnehmungen angesichts unserer vergangenen Wahrnehmungen zu berechnen und diese Vorhersagen mit unserem beobachteten Ergebnis zu vergleichen. In einer Multiversumstheorie gibt es typischerweise mehr als eine SAS, die ein vergangenes Leben erlebt hat, das mit Ihrem identisch ist, sodass es keine Möglichkeit gibt, festzustellen, welche Sie sind. Um Vorhersagen zu treffen, müssen Sie daher berechnen, welche Anteile von ihnen was in der Zukunft wahrnehmen werden, was zu den folgenden Vorhersagen führt:

• Vorhersage 1: Die mathematische Struktur, die unsere Welt beschreibt, ist die generischste, die mit unseren Beobachtungen übereinstimmt.
• Vorhersage 2: Unsere zukünftigen Beobachtungen sind die generischsten, die mit unseren vergangenen Beobachtungen übereinstimmen.
• Vorhersage 3: Unsere vergangenen Beobachtungen sind die generischsten, die mit unserer Existenz übereinstimmen.

Wir werden auf das Problem zurückkommen, was „generisch“ in Abschnitt secMeasureSec (das Maßproblem) bedeutet. Ein auffälliges Merkmal mathematischer Strukturen, das in Tegmark (1997) ausführlich diskutiert wird, ist jedoch, dass die Art von Symmetrie- und Invarianzeigenschaften, die für die Einfachheit und Ordnungsmäßigkeit unseres Universums verantwortlich sind, tendenziell generisch sind, eher die Regel als die Ausnahme — mathematische Strukturen haben sie tendenziell standardmäßig, und komplizierte zusätzliche Axiome usw. müssen hinzugefügt werden, um sie verschwinden zu lassen. Mit anderen Worten, aufgrund sowohl dessen als auch der Selektionseffekte sollten wir nicht unbedingt erwarten, dass das Leben im Level IV Multiversum ein ungeordnetes Durcheinander ist.