Nivel IV Multiverso: Otras Estructuras Matemáticas y la Realidad Física

Suponga que compra el paradigma platónico y cree que realmente hay una TOE en la parte superior de la Figura 7, y que simplemente aún no hemos encontrado las ecuaciones correctas. Entonces queda una pregunta vergonzosa, como enfatizó John Archibald Wheeler: ¿Por qué estas ecuaciones particulares, y no otras? Exploremos ahora la idea de la democracia matemática, según la cual los universos gobernados por otras ecuaciones son igualmente reales. Este es el multiverso de Nivel IV. Primero necesitamos digerir otras dos ideas, sin embargo: el concepto de una estructura matemática y la noción de que el mundo físico puede ser uno.

Muchos de nosotros pensamos en las matemáticas como una bolsa de trucos que aprendimos en la escuela para manipular números. Sin embargo, la mayoría de los matemáticos tienen una visión muy diferente de su campo. Estudian objetos más abstractos como funciones, conjuntos, espacios y operadores e intentan probar teoremas sobre las relaciones entre ellos. De hecho, algunos trabajos de matemáticas modernas son tan abstractos que los únicos números que encontrarás en ellos son los números de página. ¿Qué tiene en común un dodecaedro con un conjunto de números complejos? A pesar de la plétora de estructuras matemáticas con nombres intimidantes como orbifolds y campos de Killing, una unidad subyacente sorprendente que ha surgido en el último siglo: todas las estructuras matemáticas son solo casos especiales de una y la misma cosa: los llamados sistemas formales. Un sistema formal consiste en símbolos abstractos y reglas para manipularlos, especificando cómo se pueden derivar nuevas cadenas de símbolos denominadas teoremas a partir de otras dadas denominadas axiomas. Este desarrollo histórico representó una forma de deconstruccionismo, ya que despojó todo el significado e interpretación que tradicionalmente se había dado a las estructuras matemáticas y destiló solo las relaciones abstractas que capturan su esencia misma. Como resultado, las computadoras ahora pueden probar teoremas sobre geometría sin tener ninguna intuición física sobre cómo es el espacio.

La Figura 8 muestra algunas de las estructuras matemáticas más básicas y sus interrelaciones. Aunque este árbol genealógico probablemente se extiende indefinidamente, ilustra que no hay nada vago acerca de las estructuras matemáticas. Están “ahí fuera” en el sentido de que los matemáticos las descubren en lugar de crearlas, y que las civilizaciones alienígenas contemplativas encontrarían las mismas estructuras (un teorema es verdadero independientemente de si es probado por un humano, una computadora o un extraterrestre).

Ahora digeramos la idea de que el mundo físico (específicamente, el multiverso de Nivel III) es una estructura matemática. Aunque tradicionalmente dado por sentado por muchos físicos teóricos, esta es una noción profunda y de gran alcance. Significa que las ecuaciones matemáticas describen no meramente algunos aspectos limitados del mundo físico, sino todos los aspectos de él. Significa que hay alguna estructura matemática que es lo que los matemáticos llaman isomorfa (y por lo tanto equivalente) a nuestro mundo físico, con cada entidad física teniendo una contraparte única en la estructura matemática y viceversa. Consideremos algunos ejemplos.

Hace un siglo, cuando la física clásica aún reinaba suprema, muchos científicos creían que el espacio físico era isomorfo a la estructura matemática conocida como R3: espacio euclidiano tridimensional. Además, algunos pensaban que todas las formas de materia en el universo correspondían a varios campos clásicos: el campo eléctrico, el campo magnético y quizás algunos no descubiertos, correspondiendo matemáticamente a funciones en R3 (un puñado de números en cada punto del espacio). En esta visión (luego probada incorrecta), densos cúmulos de materia como los átomos eran simplemente regiones en el espacio donde algunos campos eran fuertes (donde algunos números eran grandes). Estos campos evolucionaron determinísticamente con el tiempo de acuerdo con algunas ecuaciones diferenciales parciales, y los observadores percibieron esto como cosas moviéndose y eventos teniendo lugar. ¿Podrían, entonces, los campos en el espacio tridimensional ser la estructura matemática correspondiente al universo? No, ya que una estructura matemática no puede cambiar: es una entidad abstracta e inmutable que existe fuera del espacio y el tiempo. Nuestra familiar perspectiva de rana de un espacio tridimensional donde los eventos se desarrollan es equivalente, desde la perspectiva de pájaro, a un espacio-tiempo tetradimensional donde toda la historia está contenida, por lo que la estructura matemática serían campos en el espacio tetradimensional. En otras palabras, si la historia fuera una película, la estructura matemática no correspondería a un solo fotograma de ella, sino a toda la cinta de video.

Dada una estructura matemática, diremos que tiene existencia física si cualquier subestructura autoconsciente (SAS) dentro de ella, subjetivamente, desde su perspectiva de rana, se percibe a sí misma como viviendo en un mundo físicamente real. ¿Cómo sería, matemáticamente, tal SAS? En el ejemplo de física clásica anterior, una SAS como tú sería un tubo a través del espacio-tiempo, una versión gruesa de lo que Einstein llamó una línea de mundo. La ubicación del tubo especificaría tu posición en el espacio en diferentes momentos. Dentro del tubo, los campos exhibirían cierto comportamiento complejo, correspondiente al almacenamiento y procesamiento de información sobre los valores de campo en los alrededores, y en cada posición a lo largo del tubo, estos procesos darían lugar a la familiar pero misteriosa sensación de autoconciencia. Desde su perspectiva de rana, la SAS percibiría esta cadena unidimensional de percepciones a lo largo del tubo como el paso del tiempo.

Aunque nuestro ejemplo ilustra la idea de cómo nuestro mundo físico puede ser una estructura matemática, esta estructura matemática particular (campos en el espacio tetradimensional) ahora se sabe que es la incorrecta. Después de darse cuenta de que el espacio-tiempo podría ser curvo, Einstein buscó tenazmente una llamada teoría del campo unificado donde el universo era lo que los matemáticos llaman una variedad pseudo-Riemanniana 3+1 dimensional con campos tensoriales, pero esto no logró explicar el comportamiento observado de los átomos. Según la teoría cuántica de campos, la síntesis moderna de la teoría de la relatividad especial y la teoría cuántica, el universo (en este caso el multiverso de Nivel III) es una estructura matemática conocida como un álgebra de campos con valores de operador. Aquí la cuestión de qué constituye una SAS es más sutil (Tegmark 2000). Sin embargo, esto no describe la evaporación de los agujeros negros, la primera instancia del Big Bang y otros fenómenos de gravedad cuántica, por lo que la verdadera estructura matemática isomorfa a nuestro universo, si existe, aún no se ha encontrado.

Ahora supongamos que nuestro mundo físico realmente es una estructura matemática, y que tú eres una SAS dentro de ella. Esto significa que en el árbol de Matemáticas de la Figura 8, una de las cajas es nuestro universo. (El árbol completo es probablemente infinito en extensión, por lo que nuestra caja particular no es una de las pocas cajas desde la parte inferior del árbol que se muestran).

En otras palabras, esta estructura matemática particular disfruta no solo de la existencia matemática, sino también de la existencia física. ¿Qué pasa con todas las otras cajas en el árbol? ¿También disfrutan de la existencia física? Si no, habría una asimetría ontológica fundamental e inexplicable construida en el corazón mismo de la realidad, dividiendo las estructuras matemáticas en dos clases: aquellas con y sin existencia física. Como una forma de salir de este enigma filosófico, he sugerido (Tegmark 1998) que se mantenga la democracia matemática completa: que la existencia matemática y la existencia física son equivalentes, de modo que todas las estructuras matemáticas también existen físicamente. Este es el multiverso de Nivel IV. Puede verse como una forma de platonismo radical, afirmando que las estructuras matemáticas en el reino de las ideas de Platón, el Paisaje Mental de Rucker (1982), existen “ahí fuera” en un sentido físico (Davies 1993), presentando la llamada teoría del realismo modal de David Lewis (1986) en términos matemáticos similares a lo que Barrow (1991; 1992) se refiere como “π en el cielo”. Si esta teoría es correcta, entonces, dado que no tiene parámetros libres, todas las propiedades de todos los universos paralelos (incluidas las percepciones subjetivas de las SAS en ellos) podrían en principio ser derivadas por un matemático infinitamente inteligente.

Hemos descrito los cuatro niveles de universos paralelos en orden de especulación creciente, entonces, ¿por qué deberíamos creer en el Nivel IV? Lógicamente, se basa en dos supuestos separados:

• Supuesto 1: Que el mundo físico (específicamente nuestro multiverso de nivel III) es una estructura matemática
• Supuesto 2: Democracia matemática: que todas las estructuras matemáticas existen “ahí fuera” en el mismo sentido

En un famoso ensayo, Wigner (1967) argumentó que “la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que raya en lo misterioso”, y que “no hay una explicación racional para ello”. Este argumento puede tomarse como un apoyo para el supuesto 1: aquí la utilidad de las matemáticas para describir el mundo físico es una consecuencia natural del hecho de que este último es una estructura matemática, y simplemente estamos descubriendo esto poco a poco. Las diversas aproximaciones que constituyen nuestras teorías físicas actuales son exitosas porque las estructuras matemáticas simples pueden proporcionar buenas aproximaciones de cómo una SAS percibirá estructuras matemáticas más complejas. En otras palabras, nuestras teorías exitosas no son matemáticas que se aproximan a la física, sino matemáticas que se aproximan a las matemáticas. Es poco probable que la observación de Wigner se base en coincidencias fortuitas, ya que se ha descubierto mucha más regularidad matemática en la naturaleza en las décadas transcurridas desde que la hizo, incluido el modelo estándar de la física de partículas.

Un segundo argumento que apoya el supuesto 1 es que las matemáticas abstractas son tan generales que cualquier TOE que sea definible en términos puramente formales (independiente de la terminología humana vaga) es también una estructura matemática. Por ejemplo, una TOE que involucre un conjunto de diferentes tipos de entidades (denotadas por palabras, digamos) y relaciones entre ellas (denotadas por palabras adicionales) no es más que lo que los matemáticos llaman un modelo teórico de conjuntos, y generalmente se puede encontrar un sistema formal del que es un modelo.

Este argumento también hace que el supuesto 2 sea más atractivo, ya que implica que cualquier teoría concebible de universos paralelos puede describirse en el Nivel IV. El multiverso de Nivel IV, denominado la “teoría del conjunto último” en Tegmark (1997) ya que subsume todos los demás conjuntos, por lo tanto, cierra la jerarquía de multiversos, y no puede haber, digamos, un Nivel V. Considerar un conjunto de estructuras matemáticas no agrega nada nuevo, ya que esto sigue siendo solo otra estructura matemática. ¿Qué pasa con la noción frecuentemente discutida de que el universo es una simulación por computadora? Esta idea ocurre con frecuencia en la ciencia ficción y ha sido sustancialmente elaborada (por ejemplo, Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). El contenido de información (estado de memoria) de una computadora digital es una cadena de bits, digamos “1001011100111001...” de gran pero finita longitud, equivalente a algún entero n grande pero finito escrito en binario. El procesamiento de información de una computadora es una regla determinista para cambiar cada estado de memoria en otro (aplicado una y otra vez), por lo que matemáticamente, es simplemente una función f que mapea los enteros sobre sí mismos que se itera: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... En otras palabras, incluso la simulación por computadora más sofisticada es solo otro caso especial de una estructura matemática, y ya está incluida en el multiverso de Nivel IV. (Por cierto, iterar funciones continuas en lugar de funciones con valores enteros puede dar lugar a fractales).

Otra característica atractiva del supuesto 2 es que proporciona la única respuesta hasta ahora a la pregunta de Wheeler: ¿Por qué estas ecuaciones particulares, y no otras? Tener universos que bailan al son de todas las ecuaciones posibles también resuelve el problema del ajuste fino de la Sección II C de una vez por todas, incluso a nivel de ecuación fundamental: aunque muchas, si no la mayoría, de las estructuras matemáticas probablemente estén muertas y desprovistas de SAS, sin proporcionar la complejidad, la estabilidad y la predictibilidad que requieren las SAS, por supuesto, esperamos encontrar con un 100% de probabilidad que habitamos una estructura matemática capaz de sustentar la vida. Debido a este efecto de selección, la respuesta a la pregunta “¿qué es lo que infunde fuego a las ecuaciones y crea un universo para que lo describan?” (Hawking 1993) sería entonces “tú, la SAS”.

La forma en que usamos, probamos y potencialmente descartamos cualquier teoría es calcular las distribuciones de probabilidad para nuestras percepciones futuras dadas nuestras percepciones pasadas y comparar estas predicciones con nuestro resultado observado. En una teoría del multiverso, normalmente hay más de una SAS que ha experimentado una vida pasada idéntica a la tuya, por lo que no hay forma de determinar cuál eres tú. Para hacer predicciones, por lo tanto, tienes que calcular qué fracciones de ellos percibirán qué en el futuro, lo que lleva a las siguientes predicciones:

• Predicción 1: La estructura matemática que describe nuestro mundo es la más genérica que es consistente con nuestras observaciones.
• Predicción 2: Nuestras observaciones futuras son las más genéricas que son consistentes con nuestras observaciones pasadas.
• Predicción 3: Nuestras observaciones pasadas son las más genéricas que son consistentes con nuestra existencia.

Volveremos al problema de lo que significa “genérico” en secMeasureSec (el problema de la medida). Sin embargo, una característica sorprendente de las estructuras matemáticas, discutida en detalle en Tegmark (1997), es que el tipo de propiedades de simetría e invariancia que son responsables de la simplicidad y el orden de nuestro universo tienden a ser genéricas, más la regla que la excepción: las estructuras matemáticas tienden a tenerlas por defecto, y se deben agregar axiomas adicionales complicados, etc., para hacer que desaparezcan. En otras palabras, debido tanto a esto como a los efectos de selección, no necesariamente deberíamos esperar que la vida en el multiverso de Nivel IV sea un desorden.