Level IV Multiversum: Muud matemaatilised struktuurid ja füüsiline reaalsus

Oletame, et sa usud platonistlikku paradigmat ja usud, et tegelikult on olemas TOE joonisel 7 — ja et me lihtsalt pole veel leidnud õigeid võrrandeid. Siis jääb piinlik küsimus, nagu rõhutas John Archibald Wheeler: Miks just need võrrandid, mitte teised? Uurime nüüd matemaatilise demokraatia ideed, mille kohaselt on teiste võrranditega juhitavad universumid võrdselt reaalsed. See on tase IV multiversum. Esmalt peame seedima kahte muud ideed: matemaatilise struktuuri mõistet ja arusaama, et füüsiline maailm võib olla üks.

Paljud meist peavad matemaatikat trikkide kotiks, mida me koolis õppisime numbritega manipuleerimiseks. Kuid enamikul matemaatikutel on oma valdkonnast väga erinev vaade. Nad uurivad abstraktsemaid objekte nagu funktsioonid, hulgad, ruumid ja operaatorid ning proovivad tõestada teoreeme nendevaheliste suhete kohta. Tõepoolest, mõned kaasaegsed matemaatikaartiklid on nii abstraktsed, et ainsad numbrid, mida neist leiate, on leheküljenumbrid! Mis on dodekaeedril ühist kompleksarvude hulgaga? Vaatamata paljudele matemaatilistele struktuuridele, millel on hirmutavad nimed nagu orbifoldid ja Killingi väljad, on viimasel sajandil esile kerkinud silmatorkav aluseks olev ühtsus: kõik matemaatilised struktuurid on vaid erijuhud ühest ja samast asjast: nn formaalsed süsteemid. Formaalne süsteem koosneb abstraktsetest sümbolitest ja reeglitest nendega manipuleerimiseks, määrates, kuidas uusi sümbolite stringe, mida nimetatakse teoreemideks, saab tuletada antud stringidest, mida nimetatakse aksioomideks. See ajalooline areng kujutas endast dekonstruktsionismi vormi, kuna see eemaldas kogu tähenduse ja tõlgenduse, mis oli traditsiooniliselt antud matemaatilistele struktuuridele, ja destilleeris välja ainult abstraktsed suhted, mis hõlmasid nende olemust. Selle tulemusena saavad arvutid nüüd tõestada teoreeme geomeetria kohta, omamata mingit füüsilist intuitsiooni selle kohta, milline ruum on.

Joonis 8 näitab mõningaid kõige põhilisemaid matemaatilisi struktuure ja nende vastastikuseid suhteid. Kuigi see sugupuu ulatub tõenäoliselt lõputult, illustreerib see, et matemaatiliste struktuuride juures pole midagi hägust. Nad on “väljas” selles mõttes, et matemaatikud avastavad neid, mitte ei loo neid, ja et mõtisklevad tulnukate tsivilisatsioonid leiaksid samad struktuurid (teoreem on tõene olenemata sellest, kas selle tõestab inimene, arvuti või tulnukas).

Seedime nüüd ideed, et füüsiline maailm (täpsemalt tase III multiversum) on matemaatiline struktuur. Kuigi paljud teoreetilised füüsikud on seda traditsiooniliselt pidanud enesestmõistetavaks, on see sügav ja kaugeleulatuv mõiste. See tähendab, et matemaatilised võrrandid ei kirjelda mitte ainult mõningaid füüsilise maailma piiratud aspekte, vaid kõiki selle aspekte. See tähendab, et on olemas mingi matemaatiline struktuur, mis on matemaatikute sõnul isomorfne (ja seega samaväärne) meie füüsilise maailmaga, kusjuures igal füüsilisel üksusel on matemaatilises struktuuris ainulaadne vaste ja vastupidi. Vaatleme mõningaid näiteid.

Sajand tagasi, kui klassikaline füüsika veel valitses, uskusid paljud teadlased, et füüsiline ruum on isomorfne matemaatilise struktuuriga, mida tuntakse kui R3 : kolmemõõtmeline eukleidiline ruum. Lisaks arvasid mõned, et kõik aine vormid universumis vastavad erinevatele klassikalistele väljadele: elektriväli, magnetväli ja võib-olla mõned avastamata väljad, mis vastavad matemaatiliselt funktsioonidele R3 (käputäis numbreid igas ruumipunktis). Selles vaates (mis hiljem osutus valeks) olid tihedad aineklombid nagu aatomid lihtsalt piirkonnad ruumis, kus mõned väljad olid tugevad (kus mõned numbrid olid suured). Need väljad arenesid aja jooksul deterministlikult vastavalt mõnedele osalistele diferentsiaalvõrranditele ja vaatlejad tajusid seda kui asjade ringiliikumist ja sündmuste toimumist. Kas siis väljad kolmemõõtmelises ruumis võiksid olla matemaatiline struktuur, mis vastab universumile? Ei, kuna matemaatiline struktuur ei saa muutuda — see on abstraktne, muutumatu üksus, mis eksisteerib väljaspool ruumi ja aega. Meie tuttav konna perspektiiv kolmemõõtmelisest ruumist, kus sündmused arenevad, on linnu perspektiivist samaväärne neljamõõtmelise ruumajaga, kus kogu ajalugu sisaldub, seega oleks matemaatiline struktuur väljad neljamõõtmelises ruumis. Teisisõnu, kui ajalugu oleks film, ei vastaks matemaatiline struktuur mitte ühele kaadrile sellest, vaid kogu videolindile.

Antud matemaatilise struktuuri korral ütleme, et sellel on füüsiline eksistents, kui mõni eneseteadlik alamstruktuur (SAS) selle sees tajub ennast oma konna perspektiivist füüsiliselt reaalses maailmas elavana. Milline oleks matemaatiliselt selline SAS? Ülaltoodud klassikalise füüsika näites oleks selline SAS nagu sina toru läbi ruumaja, Einsteini poolt maailmajooneks nimetatu paks versioon. Toru asukoht määraks teie positsiooni ruumis erinevatel aegadel. Toru sees näitaksid väljad teatud keerulist käitumist, mis vastaks teabe salvestamisele ja töötlemisele väljaväärtuste kohta ümbruses ning igas positsioonis piki toru põhjustaksid need protsessid tuttava, kuid salapärase eneseteadvuse tunnetuse. Oma konna perspektiivist tajuks SAS seda ühemõõtmelist tajumisahelat piki toru kui aja kulgu.

Kuigi meie näide illustreerib ideed, kuidas meie füüsiline maailm võib olla matemaatiline struktuur, on nüüd teada, et see konkreetne matemaatiline struktuur (väljad neljamõõtmelises ruumis) on vale. Pärast mõistmist, et ruumaja võib olla kõver, otsis Einstein kangekaelselt nn ühtse välja teooriat, kus universum oli see, mida matemaatikud nimetavad 3+1-mõõtmeliseks pseudo-Riemann'i muutkonnaks tensorväljadega, kuid see ei suutnud arvesse võtta aatomite täheldatud käitumist. Kvantväljateooria, erirelatiivsusteooria ja kvantteooria kaasaegse sünteesi kohaselt on universum (antud juhul tase III multiversum) matemaatiline struktuur, mida tuntakse operaatorväärtusega väljade algebrana. Siin on küsimus, mis moodustab SAS-i, peenem (Tegmark 2000). Kuid see ei suuda kirjeldada musta augu aurustumist, Suure Paugu esimest juhtumit ja muid kvantgravitatsiooni nähtusi, nii et tõelist universumiga isomorfset matemaatilist struktuuri pole veel leitud, kui see üldse eksisteerib.

Oletame nüüd, et meie füüsiline maailm on tõesti matemaatiline struktuur ja et sa oled SAS selle sees. See tähendab, et joonise 8 matemaatikapuus on üks kast meie universum. (Kogu puu on tõenäoliselt lõpmatu, nii et meie konkreetne kast ei ole üks vähestest puu põhjast näidatud kastidest.)

Teisisõnu, see konkreetne matemaatiline struktuur ei naudi mitte ainult matemaatilist eksistentsi, vaid ka füüsilist eksistentsi. Aga kõik teised kastid puus? Kas nemadki naudivad füüsilist eksistentsi? Kui ei, siis oleks reaalsuse südamesse sisse ehitatud fundamentaalne, seletamatu ontoloogiline asümmeetria, mis jagaks matemaatilised struktuurid kahte klassi: need, millel on füüsiline eksistents, ja need, millel seda ei ole. Selle filosoofilise mõistatuse lahendamiseks olen ma soovitanud (Tegmark 1998), et kehtib täielik matemaatiline demokraatia: et matemaatiline eksistents ja füüsiline eksistents on samaväärsed, nii et kõik matemaatilised struktuurid eksisteerivad ka füüsiliselt. See on tase IV multiversum. Seda võib vaadelda kui radikaalse platonismi vormi, väites, et matemaatilised struktuurid Platoni ideede valdkonnas, Ruckeri mõttemaastikul (1982), eksisteerivad füüsilises mõttes “väljas” (Davies 1993), esitades David Lewise (1986) nn modaalse realismi teooria matemaatilistes terminites, mis on sarnased sellega, mida Barrow (1991; 1992) nimetab “π taevas”. Kui see teooria on õige, siis kuna sellel pole vabu parameetreid, saab kõigi paralleelsete universumite kõik omadused (sealhulgas SAS-ide subjektiivsed taju) põhimõtteliselt tuletada lõpmatult intelligentne matemaatik.

Oleme kirjeldanud paralleelsete universumite nelja taset spekulatiivsuse suurenemise järjekorras, nii et miks me peaksime uskuma tase IV-sse? Loogiliselt toetub see kahele eraldi eeldusel:

• Eeldus 1: Et füüsiline maailm (täpsemalt meie tase III multiversum) on matemaatiline struktuur
• Eeldus 2: Matemaatiline demokraatia: et kõik matemaatilised struktuurid eksisteerivad “väljas” samas mõttes

Kuulsas essees väitis Wigner (1967), et “matemaatika tohutu kasulikkus loodusteadustes on midagi, mis piirneb salapäraga” ja et “sellele pole ratsionaalset seletust”. Seda argumenti võib võtta kui toetust eeldusele 1: siin on matemaatika kasulikkus füüsilise maailma kirjeldamisel loomulik tagajärg asjaolule, et viimane on matemaatiline struktuur, ja me lihtsalt avastame seda natukehaaval. Erinevad lähendused, mis moodustavad meie praegused füüsikateooriad, on edukad, kuna lihtsad matemaatilised struktuurid võivad anda head lähendust sellele, kuidas SAS tajub keerukamaid matemaatilisi struktuure. Teisisõnu, meie edukad teooriad ei ole mitte matemaatika, mis lähendab füüsikat, vaid matemaatika, mis lähendab matemaatikat. Wigneri tähelepanek ei põhine tõenäoliselt juhuslikel kokkulangevustel, kuna aastakümnete jooksul pärast selle tegemist on looduses avastatud palju rohkem matemaatilist korrapärasust, sealhulgas osakestefüüsika standardmudel.

Teine argument, mis toetab eeldust 1, on see, et abstraktne matemaatika on nii üldine, et iga TOE, mis on määratletav puhtalt formaalsetes terminites (sõltumatult ebamäärasest inimterminoloogiast), on ka matemaatiline struktuur. Näiteks TOE, mis hõlmab hulka erinevaid üksuste tüüpe (tähistatud sõnadega, ütleme) ja nendevahelisi suhteid (tähistatud täiendavate sõnadega), pole midagi muud kui see, mida matemaatikud nimetavad hulgateoreetiliseks mudeliks, ja üldiselt võib leida formaalse süsteemi, mille mudel see on.

See argument muudab ka eelduse 2 atraktiivsemaks, kuna see tähendab, et iga kujutletavat paralleeluniversumi teooriat saab kirjeldada tase IV-l. Tase IV multiversum, mida Tegmarkis (1997) nimetatakse “elite Ensemble'i teooriaks”, kuna see hõlmab kõiki teisi ansambleid, toob seega multiversumite hierarhiale sulgemise ja ei saa olla näiteks tase V. Matemaatiliste struktuuride ansambli kaalumine ei lisa midagi uut, kuna see on ikkagi lihtsalt teine matemaatiline struktuur. Aga mis on sageli arutletud mõte, et universum on arvutisimulatsioon? See idee esineb sageli ulmekirjanduses ja seda on oluliselt arendatud (nt Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Digitaalse arvuti infosisu (mälu olek) on bitistring, ütleme “1001011100111001...”, millel on suur, kuid lõplik pikkus, mis on samaväärne mõne suure, kuid lõpliku täisarvuga n, mis on kirjutatud binaarses süsteemis. Arvuti infoprotsess on deterministlik reegel iga mäluoleku muutmiseks teiseks (rakendatakse ikka ja jälle), nii et matemaatiliselt on see lihtsalt funktsioon f, mis kaardistab täisarvud iseendale, mida itereeritakse: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Teisisõnu, isegi kõige keerukam arvutisimulatsioon on lihtsalt veel üks matemaatilise struktuuri erijuhtum ja on juba tase IV multiversumis. (Muide, pidevate funktsioonide, mitte täisarvuliste funktsioonide iteratsioon võib põhjustada fraktaale.)

Teine atraktiivne omadus eelduse 2 juures on see, et see annab seni ainsa vastuse Wheeleri küsimusele: Miks just need võrrandid, mitte teised? Universumite tantsimine kõigi võimalike võrrandite järgi lahendab ka II C jaotise peenhäälestuse probleemi üks kord ja kõik, isegi fundamentaalse võrrandi tasemel: kuigi paljud, kui mitte enamik matemaatilisi struktuure on tõenäoliselt surnud ja ilma SAS-ideta, ei suuda nad pakkuda keerukust, stabiilsust ja ennustatavust, mida SAS-id vajavad, eeldame me loomulikult 100% tõenäosusega, et me asustame eluvõimelise matemaatilise struktuuri. Selle valikuefekti tõttu oleks vastus küsimusele “mis see on, mis hingab võrranditesse tule ja tekitab neile universumi kirjeldamiseks?” (Hawking 1993) siis “sina, SAS”.

Viis, kuidas me teooriat kasutame, testime ja potentsiaalselt välistame, on arvutada tõenäosusjaotused meie tulevaste taju jaoks, arvestades meie varasemat tajumist, ja võrrelda neid ennustusi meie täheldatud tulemusega. Multiversumi teoorias on tavaliselt rohkem kui üks SAS, kes on kogenud sinuga identse minevikuelu, nii et pole võimalik kindlaks teha, kes sina oled. Ennustuste tegemiseks peate seetõttu arvutama, millised osad neist tajuvad tulevikus mida, mis viib järgmiste ennustusteni:

• Ennustus 1: Meie maailma kirjeldav matemaatiline struktuur on kõige üldisem, mis on kooskõlas meie vaatlustega.
• Ennustus 2: Meie tulevased vaatlused on kõige üldisemad, mis on kooskõlas meie varasemate vaatlustega.
• Ennustus 3: Meie varasemad vaatlused on kõige üldisemad, mis on kooskõlas meie eksistentsiga.

Me pöördume tagasi probleemi juurde, mida “üldine” tähendab jaotises MeasureSec (mõõtmisprobleem). Üks silmatorkav omadus matemaatiliste struktuuride juures, mida on üksikasjalikult arutatud Tegmarkis (1997), on aga see, et sellised sümmeetria ja invariantsuse omadused, mis vastutavad meie universumi lihtsuse ja korrastatuse eest, on tavaliselt üldised, pigem reegel kui erand — matemaatilistel struktuuridel on neid tavaliselt vaikimisi ja nende kaotamiseks tuleb lisada keerulisi täiendavaid aksioome jne. Teisisõnu, nii selle kui ka valikuefektide tõttu ei tohiks me tingimata oodata, et elu tase IV multiversumis on korratu segadus.