Tason IV Multiversumi: Muut matemaattiset rakenteet ja fyysinen todellisuus

Oletetaan, että hyväksyt platonistisen paradigman ja uskot, että kuvan 7 huipulla on todella olemassa Kaiken teoria (TOE) – ja että emme ole yksinkertaisesti vielä löytäneet oikeita yhtälöitä. Tällöin jäljelle jää kiusallinen kysymys, jota John Archibald Wheeler korosti: Miksi juuri nämä yhtälöt, eikä muita? Tutkitaan nyt matemaattisen demokratian ajatusta, jonka mukaan muiden yhtälöiden ohjaamat universumit ovat yhtä todellisia. Tämä on tason IV multiversumi. Ensin meidän on kuitenkin sulatettava kaksi muuta ajatusta: matemaattisen rakenteen käsite ja ajatus siitä, että fyysinen maailma voi olla sellainen.

Monet meistä ajattelevat matematiikkaa temppujen pussina, jonka opimme koulussa numeroiden käsittelyyn. Useimmilla matemaatikoilla on kuitenkin hyvin erilainen näkemys alastaan. He tutkivat abstrakteja objekteja, kuten funktioita, joukkoja, avaruuksia ja operaattoreita, ja yrittävät todistaa teoreemoja niiden välisistä suhteista. Itse asiassa jotkut modernit matematiikan julkaisut ovat niin abstrakteja, että ainoat niistä löytyvät numerot ovat sivunumerot! Mitä dodekaedrilla on yhteistä kompleksilukujen joukon kanssa? Huolimatta lukuisista matemaattisista rakenteista, joilla on pelottavia nimiä, kuten orbifoldit ja Killing-kentät, viime vuosisadalla on noussut esiin silmiinpistävä, taustalla oleva yhtenäisyys: kaikki matemaattiset rakenteet ovat vain erityistapauksia samasta asiasta: niin sanotuista formaaleista järjestelmistä. Formaali järjestelmä koostuu abstrakteista symboleista ja säännöistä niiden käsittelyyn, jotka määrittävät, kuinka uusia symbolijonoja, joita kutsutaan teoreemoiksi, voidaan johtaa annetuista, joita kutsutaan aksioomiksi. Tämä historiallinen kehitys edusti dekonstruktionismia, koska se riisui pois kaiken merkityksen ja tulkinnan, joka oli perinteisesti annettu matemaattisille rakenteille, ja tislaus pois vain abstrakteja suhteita, jotka vangitsevat niiden ytimen. Tämän seurauksena tietokoneet voivat nyt todistaa geometrian teoreemoja ilman, että niillä on mitään fyysistä intuitiota siitä, millainen avaruus on.

Kuva 8 esittää joitain perusmatemaattisia rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Vaikka tämä sukupuu todennäköisesti ulottuu loputtomiin, se havainnollistaa, että matemaattisissa rakenteissa ei ole mitään epämääräistä. Ne ovat 'tuolla ulkona' siinä mielessä, että matemaatikot löytävät ne sen sijaan, että loisivat ne, ja että mietiskelevät muukalaiset sivilisaatiot löytäisivät samat rakenteet (teoreema on totta riippumatta siitä, todistaako sen ihminen, tietokone vai muukalainen).

Sulatetaan nyt ajatus, että fyysinen maailma (erityisesti tason III multiversumi) on matemaattinen rakenne. Vaikka monet teoreettiset fyysikot ovat perinteisesti pitäneet tätä itsestäänselvyytenä, tämä on syvällinen ja kauaskantoinen ajatus. Se tarkoittaa, että matemaattiset yhtälöt kuvaavat paitsi joitain fyysisen maailman rajoitettuja näkökohtia, myös kaikkia sen näkökohtia. Se tarkoittaa, että on olemassa jokin matemaattinen rakenne, joka on matemaatikoiden mielestä isomorfinen (ja siten vastaava) fyysisen maailmamme kanssa, ja jokaisella fyysisellä entiteetillä on yksilöllinen vastine matemaattisessa rakenteessa ja päinvastoin. Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä.

Sata vuotta sitten, kun klassinen fysiikka vielä hallitsi, monet tiedemiehet uskoivat, että fyysinen avaruus oli isomorfinen matemaattisen rakenteen R3 kanssa: kolmiulotteinen euklidinen avaruus. Lisäksi jotkut ajattelivat, että kaikki maailmankaikkeuden aineen muodot vastasivat erilaisia klassisia kenttiä: sähkökenttää, magneettikenttää ja ehkä muutamia löytämättömiä, jotka vastaavat matemaattisesti funktioita R3:ssa (kourallinen numeroita jokaisessa avaruuden pisteessä). Tässä näkemyksessä (joka myöhemmin todistettiin virheelliseksi) tiheät aineen kokonaisuudet, kuten atomit, olivat yksinkertaisesti avaruuden alueita, joissa jotkin kentät olivat vahvoja (joissa jotkin numerot olivat suuria). Nämä kentät kehittyivät deterministisesti ajan myötä joidenkin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden mukaan, ja tarkkailijat kokivat tämän asioiden liikkumisena ja tapahtumien sattumisena. Voisivatko siis kentät kolmiulotteisessa avaruudessa olla maailmankaikkeutta vastaava matemaattinen rakenne? Ei, koska matemaattinen rakenne ei voi muuttua – se on abstrakti, muuttumaton entiteetti, joka on olemassa avaruuden ja ajan ulkopuolella. Tuttu sammakkoperspektiivimme kolmiulotteisesta avaruudesta, jossa tapahtumat kehittyvät, vastaa lintuperspektiivistä nelidimensionaalista aika-avaruutta, jossa koko historia sisältyy, joten matemaattinen rakenne ei vastaisi yhtä sen kehystä, vaan koko videonauhaa.

Annettu matemaattinen rakenne, sanomme, että sillä on fyysinen olemassaolo, jos mikä tahansa itsetietoinen alirakenne (SAS) sen sisällä subjektiivisesti, sammakkoperspektiivistään, kokee elävänsä fyysisesti todellisessa maailmassa. Millainen SAS olisi matemaattisesti? Yllä olevassa klassisen fysiikan esimerkissä SAS, kuten sinä, olisi putki aika-avaruuden läpi, paksu versio siitä, mitä Einstein kutsui maailmanviivaksi. Putken sijainti määrittäisi sijaintisi avaruudessa eri aikoina. Putken sisällä kentät osoittaisivat tiettyä monimutkaista käyttäytymistä, joka vastaa tiedon tallentamista ja prosessointia kenttäarvoista ympäristössä, ja jokaisessa putken kohdassa nämä prosessit synnyttäisivät tutun mutta salaperäisen itsetietoisuuden tunteen. Sammakkoperspektiivistään SAS kokisi tämän yksidimensionaalisen havaintojen ketjun putkea pitkin ajan kulumisena.

Vaikka esimerkkimme havainnollistaa ajatusta siitä, kuinka fyysinen maailmamme voi olla matemaattinen rakenne, tämä erityinen matemaattinen rakenne (kentät nelidimensionaalisessa avaruudessa) tiedetään nyt olevan väärä. Huomattuaan, että aika-avaruus voi olla kaareva, Einstein etsi itsepintaisesti niin sanottua yhtenäistä kenttäteoriaa, jossa maailmankaikkeus oli matemaatikoiden kutsuma 3+1-ulotteinen pseudo-Riemannin monisto tensorikentillä, mutta tämä ei onnistunut selittämään atomien havaittua käyttäytymistä. Kvanttikenttäteorian, suhteellisuusteorian ja kvanttiteorian modernin synteesin mukaan maailmankaikkeus (tässä tapauksessa tason III multiversumi) on matemaattinen rakenne, joka tunnetaan operaattorikäyttöisten kenttien algebrana. Tässä kysymys siitä, mikä muodostaa SAS:n, on hienovaraisempi (Tegmark 2000). Tämä ei kuitenkaan kuvaa mustan aukon haihtumista, alkuräjähdyksen ensimmäistä ilmentymää ja muita kvanttipainovoiman ilmiöitä, joten todellista, maailmankaikkeuttamme isomorfista matemaattista rakennetta ei ole vielä löydetty, jos sellaista on olemassa.

Oletetaan nyt, että fyysinen maailmamme on todella matemaattinen rakenne ja että olet SAS sen sisällä. Tämä tarkoittaa, että kuvan 8 matematiikkapuussa yksi laatikoista on meidän maailmankaikkeutemme. (Koko puu on todennäköisesti ääretön, joten meidän erityinen laatikkomme ei ole yksi niistä harvoista laatikoista puun pohjalta, jotka on näytetty.)

Toisin sanoen tällä erityisellä matemaattisella rakenteella ei ole vain matemaattista olemassaoloa, vaan myös fyysistä olemassaoloa. Entä kaikki muut laatikot puussa? Onko niilläkin fyysistä olemassaoloa? Jos ei, todellisuuden ytimeen olisi rakennettu perustavanlaatuinen, selittämätön ontologinen epäsymmetria, joka jakaisi matemaattiset rakenteet kahteen luokkaan: ne, joilla on fyysinen olemassaolo, ja ne, joilla ei ole. Tämän filosofisen ongelman ratkaisemiseksi olen ehdottanut (Tegmark 1998), että täydellinen matemaattinen demokratia toteutuu: että matemaattinen olemassaolo ja fyysinen olemassaolo ovat yhtä suuria, joten kaikki matemaattiset rakenteet ovat olemassa myös fyysisesti. Tämä on tason IV multiversumi. Sitä voidaan pitää radikaalin platonismin muotona, jossa väitetään, että Platonin ideoiden valtakunnassa, Ruckerin (1982) mielimaisemassa olevat matemaattiset rakenteet ovat olemassa 'tuolla ulkona' fyysisessä mielessä (Davies 1993), mikä valaa David Lewisin (1986) niin sanotun modaalisen realismin teorian matemaattisiin termeihin, jotka ovat verrattavissa siihen, mitä Barrow (1991; 1992) kutsuu 'π:ksi taivaalla'. Jos tämä teoria on oikea, niin koska sillä ei ole vapaita parametreja, kaikki rinnakkaisten universumien ominaisuudet (mukaan lukien SAS:ien subjektiiviset havainnot niissä) voitaisiin periaatteessa johtaa äärettömän älykkään matemaatikon toimesta.

Olemme kuvanneet rinnakkaisten universumien neljä tasoa spekulatiivisuuden järjestyksessä, joten miksi meidän pitäisi uskoa tasoon IV? Loogisesti se perustuu kahteen erilliseen oletukseen:

• Oletus 1: Että fyysinen maailma (erityisesti tason III multiversumimme) on matemaattinen rakenne
• Oletus 2: Matemaattinen demokratia: että kaikki matemaattiset rakenteet ovat olemassa 'tuolla ulkona' samassa mielessä

Kuuluisassa esseessään Wigner (1967) väitti, että 'matematiikan valtava hyödyllisyys luonnontieteissä on jotain mysteerin rajalla' ja että 'sille ei ole rationaalista selitystä'. Tätä argumenttia voidaan pitää tukena oletukselle 1: tässä matematiikan hyödyllisyys fyysisen maailman kuvaamisessa on luonnollinen seuraus siitä, että jälkimmäinen on matemaattinen rakenne, ja me paljastamme sitä vähitellen. Erilaiset likiarvot, jotka muodostavat nykyiset fysiikan teoriat, ovat onnistuneita, koska yksinkertaiset matemaattiset rakenteet voivat tarjota hyviä likiarvoja sille, kuinka SAS havaitsee monimutkaisempia matemaattisia rakenteita. Toisin sanoen onnistuneet teorioomme eivät ole matematiikkaa, joka lähentää fysiikkaa, vaan matematiikkaa, joka lähentää matematiikkaa. Wignerin havainto ei todennäköisesti perustu sattumanvaraisiin yhteensattumiin, koska luonnossa on löydetty paljon enemmän matemaattista säännönmukaisuutta sen jälkeen, kun hän teki sen, mukaan lukien hiukkasfysiikan vakiomalli.

Toinen oletusta 1 tukeva argumentti on, että abstrakti matematiikka on niin yleistä, että mikä tahansa Kaiken teoria (TOE), joka on määriteltävissä puhtaasti muodollisesti (riippumatta epämääräisestä ihmiskielen terminologiasta), on myös matemaattinen rakenne. Esimerkiksi Kaiken teoria (TOE), joka sisältää joukon erilaisia entiteettejä (merkitty sanoilla) ja niiden välisiä suhteita (merkitty lisäsanoilla), ei ole mitään muuta kuin matemaatikoiden kutsuma joukko-opillinen malli, ja voidaan yleensä löytää formaali järjestelmä, jonka malli se on.

Tämä argumentti tekee myös oletuksesta 2 houkuttelevamman, koska se viittaa siihen, että mikä tahansa kuviteltavissa oleva rinnakkaisen universumin teoria voidaan kuvata tasolla IV. Tason IV multiversumi, jota kutsutaan 'äärimmäiseksi kokonaisteoriaksi' Tegmarkissa (1997), koska se sisältää kaikki muut kokonaisuudet, tuo siten päätöksen multiversumien hierarkiaan, eikä voi olla esimerkiksi tasoa V. Matemaattisten rakenteiden kokonaisuuden tarkastelu ei lisää mitään uutta, koska tämä on edelleen vain toinen matemaattinen rakenne. Entä usein keskusteltu ajatus, että maailmankaikkeus on tietokonesimulaatio? Tämä ajatus esiintyy usein tieteiskirjallisuudessa ja sitä on kehitetty huomattavasti (esim. Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Digitaalisen tietokoneen tietosisältö (muistitila) on bittijono, esimerkiksi '1001011100111001...', joka on suuri mutta äärellinen pituus, mikä vastaa jotakin suurta mutta äärellistä kokonaislukua n binäärimuodossa. Tietokoneen tiedonkäsittely on deterministinen sääntö, jolla jokainen muistitila muutetaan toiseksi (sovellettuna yhä uudelleen), joten matemaattisesti se on yksinkertaisesti funktio f, joka kartoittaa kokonaisluvut itselleen ja jota iteroidaan: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Toisin sanoen jopa hienostunein tietokonesimulaatio on vain jälleen yksi matemaattisen rakenteen erityistapaus ja sisältyy jo tason IV multiversumiin. (Satunnaisesti jatkuvien funktioiden iteroiminen kokonaislukuarvoisten sijaan voi synnyttää fraktaaleja.)

Toinen oletuksen 2 houkutteleva piirre on, että se tarjoaa tähän mennessä ainoan vastauksen Wheelerin kysymykseen: Miksi juuri nämä yhtälöt, eikä muita? Se, että universumit tanssivat kaikkien mahdollisten yhtälöiden tahdissa, ratkaisee myös osan II C hienosäätöongelman lopullisesti, jopa perusyhtälötasolla: vaikka monet, elleivät useimmat matemaattiset rakenteet, ovat todennäköisesti kuolleita ja vailla SAS:iä, eivätkä ne pysty tarjoamaan monimutkaisuutta, vakautta ja ennustettavuutta, joita SAS:it tarvitsevat, odotamme tietysti 100 %:n todennäköisyydellä löytävämme, että asutamme matemaattista rakennetta, joka pystyy tukemaan elämää. Tämän valintavaikutuksen vuoksi vastaus kysymykseen 'mikä antaa yhtälöille hengen ja luo niille universumin kuvattavaksi?' (Hawking 1993) olisi silloin 'sinä, SAS'.

Tapa, jolla käytämme, testaamme ja mahdollisesti suljemme pois minkä tahansa teorian, on laskea todennäköisyysjakaumia tuleville havainnoillemme menneisyyden havaintojemme perusteella ja verrata näitä ennusteita havaittuun tulokseen. Multiversumiteoriassa on tyypillisesti useampi kuin yksi SAS, joka on kokenut menneisyyden elämän, joka on identtinen sinun kanssasi, joten ei ole mahdollista määrittää, kuka olet. Ennusteiden tekemiseksi sinun on siksi laskettava, mitkä osuudet heistä havaitsevat mitä tulevaisuudessa, mikä johtaa seuraaviin ennusteisiin:

• Ennuste 1: Maailmaamme kuvaava matemaattinen rakenne on yleisin, joka on yhdenmukainen havaintojemme kanssa.
• Ennuste 2: Tulevat havaintomme ovat yleisimmät, jotka ovat yhdenmukaisia menneisyyden havaintojemme kanssa.
• Ennuste 3: Menneisyyden havaintomme ovat yleisimmät, jotka ovat yhdenmukaisia olemassaolomme kanssa.

Palaamme ongelmaan, mitä 'yleinen' tarkoittaa jaksossa mittaongelma (secMeasureSec). Matemaattisten rakenteiden silmiinpistävä piirre, jota on käsitelty yksityiskohtaisesti Tegmarkissa (1997), on kuitenkin se, että symmetria- ja invarianssiominaisuudet, jotka ovat vastuussa maailmankaikkeutemme yksinkertaisuudesta ja järjestyksestä, ovat yleensä yleisiä, enemmän sääntö kuin poikkeus – matemaattisilla rakenteilla on taipumus olla niitä oletusarvoisesti, ja monimutkaisia lisäaksioomia jne. on lisättävä, jotta ne katoavat. Toisin sanoen sekä tämän että valintavaikutusten vuoksi meidän ei välttämättä pitäisi odottaa elämän tason IV multiversumissa olevan epäjärjestyksellinen sotku.