Multivers Niveau IV: Structures Mathématiques et Réalité Physique

Supposons que vous adhériez au paradigme platonicien et que vous croyiez qu'il existe réellement une TOE au sommet de la Figure 7 — et que nous n'ayons tout simplement pas encore trouvé les équations correctes. Une question embarrassante demeure alors, comme l'a souligné John Archibald Wheeler : Pourquoi ces équations particulières, et pas d'autres ? Explorons maintenant l'idée de la démocratie mathématique, selon laquelle les univers régis par d'autres équations sont également réels. C'est le multivers de niveau IV. Nous devons d'abord digérer deux autres idées, cependant : le concept de structure mathématique, et la notion que le monde physique peut en être une.

Beaucoup d'entre nous considèrent les mathématiques comme un sac d'astuces que nous avons apprises à l'école pour manipuler les nombres. Pourtant, la plupart des mathématiciens ont une vision très différente de leur domaine. Ils étudient des objets plus abstraits tels que les fonctions, les ensembles, les espaces et les opérateurs et essaient de prouver des théorèmes sur les relations entre eux. En effet, certains articles de mathématiques modernes sont si abstraits que les seuls nombres que vous y trouverez sont les numéros de page ! Qu'est-ce qu'un dodécaèdre a en commun avec un ensemble de nombres complexes ? Malgré la pléthore de structures mathématiques avec des noms intimidants comme orbifolds et champs de Killing, une unité sous-jacente frappante a émergé au cours du siècle dernier : toutes les structures mathématiques ne sont que des cas particuliers d'une seule et même chose : les systèmes formels. Un système formel consiste en des symboles abstraits et des règles pour les manipuler, spécifiant comment de nouvelles chaînes de symboles appelées théorèmes peuvent être dérivées de celles données appelées axiomes. Ce développement historique a représenté une forme de déconstructionnisme, car il a dépouillé tout le sens et l'interprétation qui avaient traditionnellement été donnés aux structures mathématiques et n'a distillé que les relations abstraites capturant leur essence même. En conséquence, les ordinateurs peuvent maintenant prouver des théorèmes sur la géométrie sans avoir la moindre intuition physique sur ce qu'est l'espace.

La Figure 8 montre certaines des structures mathématiques les plus basiques et leurs interrelations. Bien que cet arbre généalogique s'étende probablement indéfiniment, il illustre qu'il n'y a rien de flou dans les structures mathématiques. Elles sont « là-bas » dans le sens où les mathématiciens les découvrent plutôt que de les créer, et que des civilisations extraterrestres contemplatives trouveraient les mêmes structures (un théorème est vrai, qu'il soit prouvé par un humain, un ordinateur ou un extraterrestre).

Digérons maintenant l'idée que le monde physique (plus précisément, le multivers de niveau III) est une structure mathématique. Bien que traditionnellement tenue pour acquise par de nombreux physiciens théoriciens, il s'agit d'une notion profonde et de grande portée. Cela signifie que les équations mathématiques décrivent non seulement certains aspects limités du monde physique, mais tous ses aspects. Cela signifie qu'il existe une structure mathématique qui est ce que les mathématiciens appellent isomorphe (et donc équivalente) à notre monde physique, chaque entité physique ayant une contrepartie unique dans la structure mathématique et vice versa. Considérons quelques exemples.

Il y a un siècle, lorsque la physique classique régnait encore en maître, de nombreux scientifiques croyaient que l'espace physique était isomorphe à la structure mathématique connue sous le nom de R3 : l'espace euclidien tridimensionnel. De plus, certains pensaient que toutes les formes de matière dans l'univers correspondaient à divers champs classiques : le champ électrique, le champ magnétique et peut-être quelques autres non découverts, correspondant mathématiquement à des fonctions sur R3 (une poignée de nombres à chaque point de l'espace). Dans cette optique (plus tard prouvée incorrecte), les amas denses de matière comme les atomes étaient simplement des régions de l'espace où certains champs étaient forts (où certains nombres étaient grands). Ces champs évoluaient de manière déterministe au fil du temps selon certaines équations aux dérivées partielles, et les observateurs percevaient cela comme des choses se déplaçant et des événements se produisant. Les champs dans l'espace tridimensionnel pourraient-ils alors être la structure mathématique correspondant à l'univers ? Non, car une structure mathématique ne peut pas changer — c'est une entité abstraite et immuable existant en dehors de l'espace et du temps. Notre perspective familière de grenouille d'un espace tridimensionnel où les événements se déroulent est équivalente, du point de vue de l'oiseau, à un espace-temps quadridimensionnel où toute l'histoire est contenue, de sorte que la structure mathématique serait des champs dans l'espace quadridimensionnel. En d'autres termes, si l'histoire était un film, la structure mathématique ne correspondrait pas à une seule image, mais à toute la bande vidéo.

Étant donné une structure mathématique, nous dirons qu'elle a une existence physique si une sous-structure auto-consciente (SAS) à l'intérieur de celle-ci perçoit subjectivement, de son point de vue de grenouille, qu'elle vit dans un monde physiquement réel. À quoi ressemblerait mathématiquement une telle SAS ? Dans l'exemple de la physique classique ci-dessus, une SAS comme vous serait un tube à travers l'espace-temps, une version épaisse de ce qu'Einstein appelait une ligne d'univers. L'emplacement du tube spécifierait votre position dans l'espace à différents moments. À l'intérieur du tube, les champs présenteraient un certain comportement complexe, correspondant au stockage et au traitement d'informations sur les valeurs des champs dans les environs, et à chaque position le long du tube, ces processus donneraient naissance à la sensation familière mais mystérieuse de conscience de soi. De son point de vue de grenouille, la SAS percevrait cette chaîne unidimensionnelle de perceptions le long du tube comme le passage du temps.

Bien que notre exemple illustre l'idée de la façon dont notre monde physique peut être une structure mathématique, cette structure mathématique particulière (champs dans l'espace quadridimensionnel) est maintenant connue pour être erronée. Après avoir réalisé que l'espace-temps pouvait être courbé, Einstein a obstinément recherché une théorie du champ unifié où l'univers était ce que les mathématiciens appellent une variété pseudo-riemannienne 3+1-dimensionnelle avec des champs tensoriels, mais cela n'a pas permis d'expliquer le comportement observé des atomes. Selon la théorie quantique des champs, la synthèse moderne de la théorie de la relativité restreinte et de la théorie quantique, l'univers (dans ce cas, le multivers de niveau III) est une structure mathématique connue sous le nom d'algèbre de champs à valeurs d'opérateurs. Ici, la question de savoir ce qui constitue une SAS est plus subtile (Tegmark 2000). Cependant, cela ne décrit pas l'évaporation des trous noirs, la première instance du Big Bang et d'autres phénomènes de gravité quantique, de sorte que la véritable structure mathématique isomorphe à notre univers, si elle existe, n'a pas encore été trouvée.

Supposons maintenant que notre monde physique soit réellement une structure mathématique, et que vous soyez une SAS à l'intérieur de celle-ci. Cela signifie que dans l'arbre des Mathématiques de la Figure 8, une des cases est notre univers. (L'arbre complet est probablement infini, donc notre case particulière n'est pas l'une des quelques cases du bas de l'arbre qui sont montrées.)

En d'autres termes, cette structure mathématique particulière jouit non seulement d'une existence mathématique, mais aussi d'une existence physique. Qu'en est-il de toutes les autres cases de l'arbre ? Jouissent-elles aussi d'une existence physique ? Si ce n'est pas le cas, il y aurait une asymétrie ontologique fondamentale et inexpliquée intégrée au cœur même de la réalité, divisant les structures mathématiques en deux classes : celles avec et sans existence physique. Pour sortir de ce problème philosophique, j'ai suggéré (Tegmark 1998) que la démocratie mathématique complète est de mise : que l'existence mathématique et l'existence physique sont équivalentes, de sorte que toutes les structures mathématiques existent également physiquement. C'est le multivers de niveau IV. Il peut être considéré comme une forme de platonisme radical, affirmant que les structures mathématiques dans le royaume des idées de Platon, le Mindscape de Rucker (1982), existent « là-bas » dans un sens physique (Davies 1993), jetant la théorie du réalisme modal de David Lewis (1986) en termes mathématiques similaires à ce que Barrow (1991 ; 1992) appelle « π dans le ciel ». Si cette théorie est correcte, alors puisqu'elle n'a pas de paramètres libres, toutes les propriétés de tous les univers parallèles (y compris les perceptions subjectives des SAS en eux) pourraient en principe être dérivées par un mathématicien infiniment intelligent.

Nous avons décrit les quatre niveaux d'univers parallèles par ordre de spéculation croissante, alors pourquoi devrions-nous croire au niveau IV ? Logiquement, cela repose sur deux hypothèses distinctes :

• Hypothèse 1 : Que le monde physique (plus précisément notre multivers de niveau III) est une structure mathématique
• Hypothèse 2 : Démocratie mathématique : que toutes les structures mathématiques existent « là-bas » dans le même sens

Dans un essai célèbre, Wigner (1967) a soutenu que « l'énorme utilité des mathématiques dans les sciences naturelles est quelque chose qui frise le mystérieux » et qu'« il n'y a pas d'explication rationnelle à cela ». Cet argument peut être considéré comme un soutien à l'hypothèse 1 : ici, l'utilité des mathématiques pour décrire le monde physique est une conséquence naturelle du fait que ce dernier est une structure mathématique, et nous ne faisons que découvrir cela petit à petit. Les diverses approximations qui constituent nos théories physiques actuelles sont couronnées de succès parce que des structures mathématiques simples peuvent fournir de bonnes approximations de la façon dont une SAS percevra des structures mathématiques plus complexes. En d'autres termes, nos théories couronnées de succès ne sont pas les mathématiques qui approchent la physique, mais les mathématiques qui approchent les mathématiques. L'observation de Wigner est peu susceptible d'être basée sur des coïncidences fortuites, car beaucoup plus de régularité mathématique dans la nature a été découverte dans les décennies qui ont suivi sa déclaration, y compris le modèle standard de la physique des particules.

Un deuxième argument soutenant l'hypothèse 1 est que les mathématiques abstraites sont si générales que toute TOE qui est définissable en termes purement formels (indépendamment d'une terminologie humaine vague) est également une structure mathématique. Par exemple, une TOE impliquant un ensemble de différents types d'entités (désignées par des mots, disons) et des relations entre elles (désignées par des mots supplémentaires) n'est rien d'autre que ce que les mathématiciens appellent un modèle ensembliste, et on peut généralement trouver un système formel dont il est un modèle.

Cet argument rend également l'hypothèse 2 plus attrayante, car elle implique que toute théorie concevable d'univers parallèles peut être décrite au niveau IV. Le multivers de niveau IV, appelé la « théorie de l'ensemble ultime » dans Tegmark (1997) puisqu'il englobe tous les autres ensembles, apporte donc une clôture à la hiérarchie des multivers, et il ne peut pas y avoir un niveau V. Considérer un ensemble de structures mathématiques n'ajoute rien de nouveau, car c'est toujours juste une autre structure mathématique. Qu'en est-il de la notion fréquemment débattue selon laquelle l'univers est une simulation informatique ? Cette idée se retrouve fréquemment dans la science-fiction et a été considérablement élaborée (par exemple, Schmidthuber 1997 ; Wolfram 2002). Le contenu informationnel (état de la mémoire) d'un ordinateur numérique est une chaîne de bits, disons « 1001011100111001... » de grande mais finie longueur, équivalente à un grand mais fini entier n écrit en binaire. Le traitement de l'information d'un ordinateur est une règle déterministe pour changer chaque état de la mémoire en un autre (appliquée à maintes reprises), donc mathématiquement, c'est simplement une fonction f qui mappe les entiers sur eux-mêmes qui est itérée : n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... En d'autres termes, même la simulation informatique la plus sophistiquée n'est qu'un autre cas particulier d'une structure mathématique, et est déjà incluse dans le multivers de niveau IV. (Incidemment, l'itération de fonctions continues plutôt que de fonctions à valeurs entières peut donner naissance à des fractales.)

Une autre caractéristique intéressante de l'hypothèse 2 est qu'elle fournit la seule réponse jusqu'à présent à la question de Wheeler : Pourquoi ces équations particulières, et pas d'autres ? Avoir des univers qui dansent au son de toutes les équations possibles résout également le problème du réglage fin de la Section II C une fois pour toutes, même au niveau de l'équation fondamentale : bien que de nombreuses, sinon la plupart des structures mathématiques soient susceptibles d'être mortes et dépourvues de SAS, ne parvenant pas à fournir la complexité, la stabilité et la prévisibilité dont les SAS ont besoin, nous nous attendons bien sûr à trouver avec une probabilité de 100 % que nous habitons une structure mathématique capable de soutenir la vie. En raison de cet effet de sélection, la réponse à la question « qu'est-ce qui insuffle le feu dans les équations et crée un univers pour qu'elles le décrivent ? » (Hawking 1993) serait alors « vous, la SAS ».

La façon dont nous utilisons, testons et potentiellement rejetons toute théorie est de calculer les distributions de probabilité de nos perceptions futures étant donné nos perceptions passées et de comparer ces prédictions avec notre résultat observé. Dans une théorie du multivers, il y a généralement plus d'une SAS qui a vécu une vie passée identique à la vôtre, il n'y a donc aucun moyen de déterminer laquelle est vous. Pour faire des prédictions, vous devez donc calculer quelles fractions d'entre elles percevront quoi à l'avenir, ce qui conduit aux prédictions suivantes :

• Prédiction 1 : La structure mathématique décrivant notre monde est la plus générique qui soit compatible avec nos observations.
• Prédiction 2 : Nos observations futures sont les plus génériques qui soient compatibles avec nos observations passées.
• Prédiction 3 : Nos observations passées sont les plus génériques qui soient compatibles avec notre existence.

Nous reviendrons sur le problème de ce que signifie « générique » dans secMeasureSec (le problème de la mesure). Cependant, une caractéristique frappante des structures mathématiques, discutée en détail dans Tegmark (1997), est que le type de symétrie et de propriétés d'invariance qui sont responsables de la simplicité et de l'ordre de notre univers ont tendance à être génériques, plus la règle que l'exception — les structures mathématiques ont tendance à les avoir par défaut, et des axiomes supplémentaires compliqués, etc. doivent être ajoutés pour les faire disparaître. En d'autres termes, à cause de cela et des effets de sélection, nous ne devrions pas nécessairement nous attendre à ce que la vie dans le multivers de niveau IV soit un gâchis désordonné.