Multiverso di Livello IV: Strutture Matematiche e Realtà Fisica

Supponiamo che tu acquisisca il paradigma platonico e creda che ci sia realmente una TOE in cima alla Figura 7 — e che semplicemente non abbiamo ancora trovato le equazioni corrette. Allora rimane una domanda imbarazzante, come sottolineato da John Archibald Wheeler: Perché queste particolari equazioni, non altre? Esploriamo ora l'idea della democrazia matematica, per cui gli universi governati da altre equazioni sono ugualmente reali. Questo è il multiverso di Livello IV. Prima dobbiamo digerire altre due idee, tuttavia: il concetto di struttura matematica e la nozione che il mondo fisico possa esserlo.

Molti di noi pensano alla matematica come a un sacco di trucchi che abbiamo imparato a scuola per manipolare i numeri. Eppure la maggior parte dei matematici ha una visione molto diversa del proprio campo. Studiano oggetti più astratti come funzioni, insiemi, spazi e operatori e cercano di dimostrare teoremi sulle relazioni tra di essi. In effetti, alcuni articoli di matematica moderna sono così astratti che gli unici numeri che vi troverete sono i numeri di pagina! Cosa ha in comune un dodecaedro con un insieme di numeri complessi? Nonostante la pletora di strutture matematiche con nomi intimidatori come orbifolds e campi di Killing, è emersa un'impressionante unità sottostante nell'ultimo secolo: tutte le strutture matematiche sono solo casi speciali di una e la stessa cosa: i cosiddetti sistemi formali. Un sistema formale consiste in simboli astratti e regole per manipolarli, specificando come nuove stringhe di simboli, chiamate teoremi, possono essere derivate da quelle date, chiamate assiomi. Questo sviluppo storico ha rappresentato una forma di decostruzionismo, poiché ha spogliato di ogni significato e interpretazione che tradizionalmente era stata data alle strutture matematiche e ha distillato solo le relazioni astratte che catturano la loro stessa essenza. Di conseguenza, i computer ora possono dimostrare teoremi sulla geometria senza avere alcuna intuizione fisica su come sia lo spazio.

La Figura 8 mostra alcune delle strutture matematiche più basilari e le loro interrelazioni. Sebbene questo albero genealogico si estenda probabilmente all'infinito, illustra che non c'è nulla di vago nelle strutture matematiche. Sono "là fuori" nel senso che i matematici le scoprono piuttosto che crearle, e che civiltà aliene contemplative troverebbero le stesse strutture (un teorema è vero indipendentemente dal fatto che sia dimostrato da un umano, un computer o un alieno).

Digeriamo ora l'idea che il mondo fisico (in particolare, il multiverso di Livello III) sia una struttura matematica. Sebbene tradizionalmente data per scontata da molti fisici teorici, questa è una nozione profonda e di vasta portata. Significa che le equazioni matematiche descrivono non solo alcuni aspetti limitati del mondo fisico, ma tutti gli aspetti di esso. Significa che esiste una struttura matematica che è ciò che i matematici chiamano isomorfica (e quindi equivalente) al nostro mondo fisico, con ogni entità fisica che ha una controparte unica nella struttura matematica e viceversa. Consideriamo alcuni esempi.

Un secolo fa, quando la fisica classica regnava ancora sovrana, molti scienziati credevano che lo spazio fisico fosse isomorfo alla struttura matematica nota come R3: spazio euclideo tridimensionale. Inoltre, alcuni pensavano che tutte le forme di materia nell'universo corrispondessero a vari campi classici: il campo elettrico, il campo magnetico e forse alcuni non scoperti, corrispondenti matematicamente a funzioni su R3 (una manciata di numeri in ogni punto dello spazio). In questa visione (successivamente dimostrata errata), densi ammassi di materia come gli atomi erano semplicemente regioni nello spazio dove alcuni campi erano forti (dove alcuni numeri erano grandi). Questi campi si evolvevano deterministicamente nel tempo secondo alcune equazioni differenziali parziali, e gli osservatori percepivano questo come cose che si muovono e eventi che accadono. Potrebbero, quindi, i campi nello spazio tridimensionale essere la struttura matematica corrispondente all'universo? No, poiché una struttura matematica non può cambiare — è un'entità astratta e immutabile che esiste al di fuori dello spazio e del tempo. La nostra familiare prospettiva da rana di uno spazio tridimensionale dove si svolgono gli eventi è equivalente, dalla prospettiva dell'uccello, a uno spaziotempo quadridimensionale dove è contenuta tutta la storia, quindi la struttura matematica sarebbero campi nello spazio quadridimensionale. In altre parole, se la storia fosse un film, la struttura matematica non corrisponderebbe a un singolo fotogramma di esso, ma all'intera videocassetta.

Data una struttura matematica, diremo che ha esistenza fisica se qualsiasi sottostruttura autocosciente (SAS) al suo interno, soggettivamente, dalla sua prospettiva da rana, percepisce se stessa come vivente in un mondo fisicamente reale. Come sarebbe, matematicamente, una tale SAS? Nell'esempio di fisica classica sopra, una SAS come te sarebbe un tubo attraverso lo spaziotempo, una versione spessa di ciò che Einstein chiamava una linea universo. La posizione del tubo specificherebbe la tua posizione nello spazio in tempi diversi. All'interno del tubo, i campi esibirebbero un certo comportamento complesso, corrispondente all'archiviazione ed elaborazione di informazioni sui valori del campo nell'ambiente circostante, e in ogni posizione lungo il tubo, questi processi darebbero origine alla familiare ma misteriosa sensazione di autocoscienza. Dalla sua prospettiva da rana, la SAS percepirebbe questa stringa unidimensionale di percezioni lungo il tubo come passaggio del tempo.

Sebbene il nostro esempio illustri l'idea di come il nostro mondo fisico possa essere una struttura matematica, questa particolare struttura matematica (campi nello spazio quadridimensionale) è ora nota per essere quella sbagliata. Dopo aver realizzato che lo spaziotempo poteva essere curvo, Einstein cercò ostinatamente una cosiddetta teoria del campo unificato dove l'universo era ciò che i matematici chiamano una varietà pseudo-Riemanniana 3+1-dimensionale con campi tensoriali, ma questo non riuscì a spiegare il comportamento osservato degli atomi. Secondo la teoria quantistica dei campi, la sintesi moderna della teoria della relatività speciale e della teoria quantistica, l'universo (in questo caso il multiverso di Livello III) è una struttura matematica nota come algebra di campi a valori operatoriali. Qui la questione di cosa costituisce una SAS è più sottile (Tegmark 2000). Tuttavia, questo non riesce a descrivere l'evaporazione dei buchi neri, la prima istanza del Big Bang e altri fenomeni di gravità quantistica, quindi la vera struttura matematica isomorfa al nostro universo, se esiste, non è ancora stata trovata.

Ora supponiamo che il nostro mondo fisico sia realmente una struttura matematica e che tu sia una SAS al suo interno. Ciò significa che nell'albero della matematica della Figura 8, una delle caselle è il nostro universo. (L'albero completo è probabilmente infinito in estensione, quindi la nostra particolare casella non è una delle poche caselle dal fondo dell'albero che vengono mostrate.)

In altre parole, questa particolare struttura matematica gode non solo dell'esistenza matematica, ma anche dell'esistenza fisica. Che dire di tutte le altre caselle nell'albero? Godono anche loro dell'esistenza fisica? In caso contrario, ci sarebbe un'asimmetria ontologica fondamentale e inspiegabile incorporata nel cuore stesso della realtà, che divide le strutture matematiche in due classi: quelle con e senza esistenza fisica. Come via d'uscita da questo enigma filosofico, ho suggerito (Tegmark 1998) che valga la democrazia matematica completa: che l'esistenza matematica e l'esistenza fisica siano equivalenti, in modo che tutte le strutture matematiche esistano fisicamente. Questo è il multiverso di Livello IV. Può essere visto come una forma di platonismo radicale, che afferma che le strutture matematiche nel regno delle idee di Platone, il Mindscape di Rucker (1982), esistono "là fuori" in un senso fisico (Davies 1993), gettando la cosiddetta teoria del realismo modale di David Lewis (1986) in termini matematici simili a ciò che Barrow (1991; 1992) chiama "π nel cielo". Se questa teoria è corretta, allora, poiché non ha parametri liberi, tutte le proprietà di tutti gli universi paralleli (incluse le percezioni soggettive delle SAS in essi) potrebbero in linea di principio essere derivate da un matematico infinitamente intelligente.

Abbiamo descritto i quattro livelli di universi paralleli in ordine di speculatività crescente, quindi perché dovremmo credere nel Livello IV? Logicamente, si basa su due ipotesi separate:

• Ipotesi 1: Che il mondo fisico (in particolare il nostro multiverso di Livello III) sia una struttura matematica
• Ipotesi 2: Democrazia matematica: che tutte le strutture matematiche esistano "là fuori" nello stesso senso

In un famoso saggio, Wigner (1967) sosteneva che "l'enorme utilità della matematica nelle scienze naturali è qualcosa che rasenta il misterioso" e che "non c'è una spiegazione razionale per essa". Questo argomento può essere interpretato come un sostegno all'ipotesi 1: qui l'utilità della matematica per descrivere il mondo fisico è una conseguenza naturale del fatto che quest'ultimo è una struttura matematica e noi stiamo semplicemente scoprendo questo pezzo per pezzo. Le varie approssimazioni che costituiscono le nostre attuali teorie fisiche hanno successo perché semplici strutture matematiche possono fornire buone approssimazioni di come una SAS percepirà strutture matematiche più complesse. In altre parole, le nostre teorie di successo non sono la matematica che approssima la fisica, ma la matematica che approssima la matematica. È improbabile che l'osservazione di Wigner si basi su coincidenze fortuite, poiché molta più regolarità matematica nella natura è stata scoperta nei decenni successivi alla sua formulazione, incluso il modello standard della fisica delle particelle.

Un secondo argomento a sostegno dell'ipotesi 1 è che la matematica astratta è così generale che qualsiasi TOE definibile in termini puramente formali (indipendente dalla vaga terminologia umana) è anche una struttura matematica. Ad esempio, una TOE che coinvolge un insieme di diversi tipi di entità (denotate da parole, diciamo) e relazioni tra di esse (denotate da parole aggiuntive) non è altro che ciò che i matematici chiamano un modello teorico degli insiemi, e si può generalmente trovare un sistema formale di cui è un modello.

Questo argomento rende anche l'ipotesi 2 più attraente, poiché implica che qualsiasi teoria concepibile di universi paralleli può essere descritta al Livello IV. Il multiverso di Livello IV, definito la "teoria dell'insieme definitivo" in Tegmark (1997) poiché sussume tutti gli altri insiemi, porta quindi alla chiusura della gerarchia dei multiversi e non può esserci, diciamo, un Livello V. Considerare un insieme di strutture matematiche non aggiunge nulla di nuovo, poiché questa è ancora solo un'altra struttura matematica. Che dire della nozione frequentemente discussa che l'universo è una simulazione al computer? Questa idea ricorre frequentemente nella fantascienza ed è stata sostanzialmente elaborata (ad esempio, Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Il contenuto informativo (stato di memoria) di un computer digitale è una stringa di bit, diciamo "1001011100111001..." di grande ma finita lunghezza, equivalente a un intero n grande ma finito scritto in binario. L'elaborazione delle informazioni di un computer è una regola deterministica per cambiare ogni stato di memoria in un altro (applicata più e più volte), quindi matematicamente, è semplicemente una funzione f che mappa gli interi su se stessi che viene iterata: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... In altre parole, anche la simulazione al computer più sofisticata è solo un altro caso speciale di una struttura matematica ed è già inclusa nel multiverso di Livello IV. (Incidentalmente, iterare funzioni continue piuttosto che a valori interi può dare origine a frattali.)

Un'altra caratteristica interessante dell'ipotesi 2 è che fornisce finora l'unica risposta alla domanda di Wheeler: Perché queste particolari equazioni, non altre? Avere universi che danzano al ritmo di tutte le possibili equazioni risolve anche il problema della messa a punto fine della Sezione II C una volta per tutte, anche a livello di equazione fondamentale: sebbene molte, se non la maggior parte, delle strutture matematiche siano probabilmente morte e prive di SAS, non riuscendo a fornire la complessità, la stabilità e la prevedibilità che le SAS richiedono, ci aspettiamo ovviamente di trovare con il 100% di probabilità che abitiamo una struttura matematica in grado di sostenere la vita. A causa di questo effetto di selezione, la risposta alla domanda "cosa è che soffia il fuoco nelle equazioni e crea un universo da descrivere?" (Hawking 1993) sarebbe quindi "tu, la SAS".

Il modo in cui usiamo, testiamo e potenzialmente escludiamo qualsiasi teoria è calcolare le distribuzioni di probabilità per le nostre percezioni future date le nostre percezioni passate e confrontare queste previsioni con il nostro risultato osservato. In una teoria del multiverso, c'è tipicamente più di una SAS che ha sperimentato una vita passata identica alla tua, quindi non c'è modo di determinare quale sei tu. Per fare previsioni, devi quindi calcolare quali frazioni di esse percepiranno cosa in futuro, il che porta alle seguenti previsioni:

• Previsione 1: La struttura matematica che descrive il nostro mondo è la più generica che sia coerente con le nostre osservazioni.
• Previsione 2: Le nostre osservazioni future sono le più generiche che siano coerenti con le nostre osservazioni passate.
• Previsione 3: Le nostre osservazioni passate sono le più generiche che siano coerenti con la nostra esistenza.

Torneremo al problema di cosa significa "generico" nella sezione MeasureSec (il problema della misura). Tuttavia, una caratteristica sorprendente delle strutture matematiche, discussa in dettaglio in Tegmark (1997), è che il tipo di proprietà di simmetria e invarianza che sono responsabili della semplicità e dell'ordine del nostro universo tendono ad essere generiche, più la regola che l'eccezione — le strutture matematiche tendono ad averle per impostazione predefinita e assiomi aggiuntivi complicati, ecc. devono essere aggiunti per farle sparire. In altre parole, a causa sia di questo che degli effetti di selezione, non dovremmo necessariamente aspettarci che la vita nel multiverso di Livello IV sia un disordinato casino.