レベルIV多元宇宙：究極の数学的構造と物理的現実

プラトン主義のパラダイムを受け入れ、図7の頂点に本当にTOEが存在すると信じていると仮定しよう。そして、ジョン・アーチボルド・ホイーラーが強調するように、当惑するような疑問が残る。なぜ他の式ではなく、これらの特定の式なのか？数学的民主主義のアイデアを探求してみよう。他の式によって支配される宇宙も同様に現実であるという考え方だ。これがレベルIVマルチバースである。しかし、まず、数学的構造の概念と、物理世界が1つである可能性があるという概念という、他の2つのアイデアを理解する必要がある。

私たちの多くは、数学を、学校で学んだ数字を操作するためのトリックの集まりと考えている。しかし、ほとんどの数学者は、自分たちの分野について非常に異なる見解を持っている。彼らは、関数、集合、空間、演算子のようなより抽象的な対象を研究し、それらの間の関係について定理を証明しようとする。実際、現代数学の論文の中には、非常に抽象的で、そこに書かれている数字がページ番号だけというものもある！正十二面体は、複素数の集合と何が共通しているのか？オービホールドやキリングベクトル場のような、威圧的な名前を持つ無数の数学的構造にもかかわらず、過去1世紀に現れた顕著な根底にある統一性がある。すべての数学的構造は、いわゆる形式システムの特殊な場合に過ぎない。形式システムは、抽象的な記号とそれらを操作するための規則で構成されており、公理と呼ばれる与えられたものから、定理と呼ばれる新しい記号列をどのように導き出すことができるかを指定する。この歴史的発展は、構造に伝統的に与えられてきたすべての意味と解釈を取り除き、その本質を捉える抽象的な関係だけを抽出したため、脱構築主義の一形態を表していた。その結果、コンピュータは、空間がどのようなものであるかについての物理的な直感を持たなくても、幾何学に関する定理を証明できるようになった。

図8は、最も基本的な数学的構造とその相互関係を示している。この家系図はおそらく無限に広がっているが、数学的構造について曖昧なことは何もないことを示している。それらは、数学者がそれらを作成するのではなく発見し、熟考する異星文明が同じ構造を見つけるという意味で、「そこにある」（定理は、人間、コンピュータ、またはエイリアンによって証明されるかどうかにかかわらず真である）。

物理世界（具体的には、レベルIIIマルチバース）が数学的構造であるという考え方を理解しよう。伝統的に多くの理論物理学者によって当然のことと見なされてきたが、これは深く広範囲に及ぶ概念である。それは、数学的な方程式が物理世界のいくつかの限定された側面だけでなく、そのすべての側面を記述することを意味する。それは、数学者が同型（したがって同等）と呼ぶ数学的構造があり、それが私たちの物理世界と同型であり、各物理的エンティティが数学的構造に固有の対応物を持つことを意味する。いくつかの例を考えてみよう。

1世紀前、古典物理学がまだ隆盛を誇っていた頃、多くの科学者は、物理空間はR3として知られる数学的構造と同型であると信じていた。R3：3次元ユークリッド空間。さらに、宇宙のすべての形態の物質は、様々な古典的な場、すなわち電場、磁場、そしておそらくいくつかの未発見のものに対応すると考えられていた。数学的には、R3上の関数に対応する（空間内の各点に一握りの数がある）。この見方では（後に誤りであることが証明された）、原子のような高密度の物質の塊は、単にいくつかの場が強い（いくつかの数が大きい）空間内の領域であった。これらの場は、いくつかの偏微分方程式に従って時間とともに決定論的に進化し、観察者はこれを物事が動き回り、出来事が起こるものとして認識した。それでは、3次元空間の場は、宇宙に対応する数学的構造となり得るのだろうか？いや、数学的構造は変化できないからだ。それは、空間と時間の外に存在する抽象的で不変の存在である。私たちがおなじみのカエルの視点から見た、出来事が展開される3次元空間は、鳥の視点から見ると、歴史全体が含まれる4次元時空と同等である。したがって、数学的構造は、映画の1つのフレームに対応するのではなく、ビデオテープ全体に対応することになる。

数学的構造が与えられたとき、その中にいる自己認識のあるサブ構造（SAS）が、カエルの視点から、物理的に現実の世界に住んでいると主観的に認識する場合、それは物理的な存在を持つと言う。数学的に、そのようなSASはどのようなものになるのだろうか？上記の古典物理学の例では、あなたのようなSASは、時空を通過するチューブ、アインシュタインがワールドラインと呼んだものの厚いバージョンになるだろう。チューブの位置は、異なる時間における空間内のあなたの位置を指定する。チューブ内では、場は周囲の場の値に関する情報を保存および処理することに対応する特定の複雑な挙動を示し、チューブに沿った各位置で、これらのプロセスは、自己認識というおなじみでありながら神秘的な感覚を生み出す。カエルの視点から見ると、SASはこのチューブに沿った知覚の1次元の文字列を時間の経過として認識するだろう。

私たちの例は、私たちの物理世界がどのように数学的構造となり得るかのアイデアを示しているが、この特定の数学的構造（4次元空間の場）は、現在、間違っていることがわかっている。時空が湾曲している可能性があることに気づいた後、アインシュタインは、宇宙が数学者がテンソル場を持つ3+1次元擬リーマン多様体と呼ぶものである、いわゆる統一場理論を執拗に探し求めたが、これは原子の観測された挙動を説明できなかった。量子場理論によれば、特殊相対性理論と量子論の現代的な統合である宇宙（この場合はレベルIIIマルチバース）は、演算子値場の代数として知られる数学的構造である。ここでは、何がSASを構成するのかという問題はより微妙である（テグマーク2000）。しかし、これはブラックホールの蒸発、ビッグバンの最初の事例、およびその他の量子重力現象を説明することができないため、私たちの宇宙と同型な真の数学的構造は、存在する場合は、まだ発見されていない。

私たちの物理世界が本当に数学的構造であり、あなたがその中のSASであると仮定しよう。これは、図8の数学ツリーの中の1つのボックスが私たちの宇宙であることを意味する。（完全なツリーはおそらく無限に広がっているため、私たちの特定のボックスは、ツリーの底からのいくつかのボックスの1つではない）。

言い換えれば、この特定の数学的構造は、数学的な存在だけでなく、物理的な存在も享受している。ツリー内の他のすべてのボックスはどうだろうか？それらも物理的な存在を享受しているのだろうか？そうでない場合、数学的構造を、物理的な存在を持つものと持たないものの2つのクラスに分割する、根本的で説明のつかない存在論的非対称性が現実の中心に組み込まれることになる。この哲学的難問からの脱出方法として、私は（テグマーク1998）完全な数学的民主主義が成立することを提案した。数学的な存在と物理的な存在は同等であり、すべての数学的構造も物理的に存在する。これは、ラジカルなプラトン主義の一形態と見なすことができ、プラトンのイデアの領域、ラッカー（1982）の精神風景にある数学的構造が、物理的な意味で「そこにある」（デイビス1993）と主張し、デイビッド・ルイス（1986）のいわゆるモーダルリアリズム理論を、バロー（1991; 1992）が「空のπ」と呼ぶものと同様の数学的用語で表現している。この理論が正しければ、自由なパラメータがないため、すべての並行宇宙のすべての特性（それらにいるSASの主観的な認識を含む）は、原則として、無限に知的な数学者によって導き出すことができる。

並行宇宙の4つのレベルを、投機性の高い順に説明してきた。なぜレベルIVを信じる必要があるのだろうか？論理的には、それは2つの別個の仮定に基づいている。

• 仮定1：物理世界（具体的にはレベルIIIマルチバース）は数学的構造である
• 仮定2：数学的民主主義：すべての数学的構造は同じ意味で「そこにある」

有名なエッセイの中で、ウィグナー（1967）は、「自然科学における数学の途方もない有用性は、神秘的としか言いようがない」と主張し、「それに対する合理的な説明はない」と述べた。この議論は、仮定1の支持として受け止めることができる。ここでは、物理世界を記述するための数学の有用性は、後者が数学的構造であるという事実の自然な結果であり、私たちは単にこれを少しずつ明らかにしているだけである。私たちの現在の物理学理論を構成する様々な近似は、SASがより複雑な数学的構造をどのように認識するかについて、単純な数学的構造が優れた近似を提供できるため、成功している。言い換えれば、私たちの成功した理論は、数学が物理学を近似するのではなく、数学が数学を近似しているのである。ウィグナーの観察は、偶然の一致に基づいている可能性は低い。彼がそれを作ってから数十年間で、素粒子物理学の標準模型を含め、自然界でより多くの数学的規則性が発見されているからである。

仮定1を支持する2番目の議論は、抽象数学は非常に一般的であるため、純粋に形式的な用語で定義可能な（曖昧な人間の用語とは独立した）すべてのTOEも数学的構造であるということである。例えば、異なる種類のエンティティ（例えば、単語で示される）とそれらの間の関係（追加の単語で示される）を含むTOEは、数学者が集合論的モデルと呼ぶものに他ならず、一般に、それがモデルである形式システムを見つけることができる。

この議論はまた、仮定2をより魅力的なものにする。これは、考えられる並行宇宙理論はすべてレベルIVで記述できることを意味するからである。テグマーク（1997）で「究極のアンサンブル理論」と呼ばれるレベルIVマルチバースは、他のすべてのアンサンブルを包含するため、マルチバースの階層を完結させ、レベルVはあり得ない。数学的構造のアンサンブルを考慮しても、これは別の数学的構造に過ぎないため、新しいものは何も追加されない。宇宙がコンピュータシミュレーションであるという、頻繁に議論される概念はどうだろうか？このアイデアはサイエンスフィクションによく登場し、大幅に手が加えられている（例えば、シュミットフーバー1997、ウルフラム2002）。デジタルコンピュータの情報内容（メモリ状態）は、ビット列であり、例えば「1001011100111001...」のような、大きくはあるが有限の長さであり、2進数で記述された大きくはあるが有限の整数nに相当する。コンピュータの情報処理は、各メモリ状態を別の状態に変化させるための決定論的な規則であり（何度も何度も適用される）、数学的には、整数を自分自身にマッピングする関数fに過ぎず、それが繰り返される：n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... 言い換えれば、最も洗練されたコンピュータシミュレーションでさえ、数学的構造の特殊な場合に過ぎず、すでにレベルIVマルチバースに含まれている。（ちなみに、整数値ではなく連続関数を繰り返すと、フラクタルが発生する可能性がある）。

仮定2のもう1つの魅力的な特徴は、それがホイーラーの質問に対するこれまでの唯一の答えを提供することである。なぜ他の式ではなく、これらの特定の式なのか？可能なすべての式に合わせて宇宙を踊らせることは、セクションII Cの微調整の問題も根本的な方程式レベルで一度に解決する。多くの数学的構造が、SASが必要とする複雑さ、安定性、予測性を提供できず、死んでおり、SASがない可能性が高いが、100％の確率で、生命をサポートできる数学的構造に私たちが住んでいることがわかるはずである。この選択効果のために、「方程式に火を吹き込み、記述するための宇宙を作るのは何か？」という質問に対する答え（ホーキング1993）は、「あなた、SAS」となるだろう。

私たちが理論を使用、テストし、潜在的に排除する方法は、過去の認識に基づいて将来の認識の確率分布を計算し、これらの予測を観察された結果と比較することである。マルチバース理論では、あなたと同一の過去の生活を経験したSASが複数存在するのが一般的であるため、どれがあなたであるかを判断する方法はない。予測を行うには、それらの何分の何が将来何を知覚するかを計算する必要があるため、次の予測につながる。

• 予測1：私たちの世界を記述する数学的構造は、私たちの観察と一致する最も一般的な構造である。
• 予測2：私たちの将来の観察は、私たちの過去の観察と一致する最も一般的な観察である。
• 予測3：私たちの過去の観察は、私たちの存在と一致する最も一般的な観察である。

「一般的」が何を意味するのかという問題については、secMeasureSec（測定問題）で戻る。しかし、数学的構造の1つの顕著な特徴は、テグマーク（1997）で詳細に議論されているように、私たちの宇宙の単純さと秩序を担う対称性と不変性の特性は一般的であり、例外よりもルールである傾向があることである。数学的構造はデフォルトでそれらを持っている傾向があり、複雑な追加の公理などを追加してそれらを消滅させる必要がある。言い換えれば、これと選択効果の両方のために、レベルIVマルチバースの生命が必ずしも無秩序な混乱であるとは限らないと予想される。