레벨 IV 다중우주: 다양한 수학 구조와 물리적 현실 탐구

만약 여러분이 플라톤주의 패러다임을 받아들이고 그림 7의 맨 위에 실제로 TOE가 있다고 믿는다면 — 그리고 우리가 아직 올바른 방정식을 찾지 못했을 뿐이라고 믿는다면, 존 아치볼드 휠러가 강조했듯이 당황스러운 질문이 남습니다. 왜 다른 방정식이 아닌 바로 이러한 방정식인가? 이제 다른 방정식에 의해 지배되는 우주가 똑같이 실재한다는 수학적 민주주의라는 아이디어를 탐구해 봅시다. 이것이 레벨 IV 다중우주입니다. 그러나 먼저 두 가지 다른 아이디어를 소화해야 합니다. 수학적 구조의 개념과 물리적 세계가 하나일 수 있다는 개념입니다.

우리 중 많은 사람들은 수학을 학교에서 숫자를 조작하기 위해 배운 요령 모음으로 생각합니다. 그러나 대부분의 수학자들은 자신의 분야에 대해 매우 다른 견해를 가지고 있습니다. 그들은 함수, 집합, 공간 및 연산자와 같은 더 추상적인 객체를 연구하고 그들 사이의 관계에 대한 정리를 증명하려고 노력합니다. 실제로 일부 현대 수학 논문은 너무 추상적이어서 그 안에 있는 유일한 숫자는 페이지 번호입니다! 십이면체는 복소수 집합과 어떤 공통점이 있을까요? 오비폴드 및 킬링 필드와 같이 위협적인 이름을 가진 수많은 수학적 구조에도 불구하고 지난 세기에 나타난 놀라운 기본적 통일성이 있습니다. 모든 수학적 구조는 동일한 것의 특수한 경우일 뿐입니다. 소위 형식 시스템입니다. 형식 시스템은 추상 기호와 이를 조작하는 규칙으로 구성되며, 공리라고 하는 주어진 기호에서 정리라고 하는 새로운 기호 문자열을 파생시키는 방법을 지정합니다. 이러한 역사적 발전은 해체주의의 한 형태를 나타냅니다. 전통적으로 수학적 구조에 부여된 모든 의미와 해석을 제거하고 그 본질을 포착하는 추상적 관계만 증류했기 때문입니다. 결과적으로 컴퓨터는 공간이 어떤 것인지에 대한 물리적 직관 없이 기하학에 대한 정리를 증명할 수 있습니다.

그림 8은 가장 기본적인 수학적 구조와 그 상호 관계를 보여줍니다. 이 가계도는 아마도 무한히 확장되지만 수학적 구조에 대해 모호한 것은 없음을 보여줍니다. 그들은 수학자가 만들지 않고 발견한다는 의미에서 “저 밖에” 있으며, 사색적인 외계 문명은 동일한 구조를 발견할 것입니다(정리는 인간, 컴퓨터 또는 외계인이 증명하든 상관없이 참입니다).

이제 물리적 세계(특히 레벨 III 다중우주)가 수학적 구조라는 아이디어를 소화해 봅시다. 전통적으로 많은 이론 물리학자들이 당연하게 여겼지만, 이것은 심오하고 광범위한 개념입니다. 그것은 수학 방정식이 물리적 세계의 일부 제한된 측면뿐만 아니라 모든 측면을 설명한다는 것을 의미합니다. 그것은 수학자들이 동형(따라서 동등)이라고 부르는 어떤 수학적 구조가 우리 물리적 세계와 같다는 것을 의미하며, 각 물리적 엔티티는 수학적 구조에서 고유한 대응물을 가지고 그 반대도 마찬가지입니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.

한 세기 전, 고전 물리학이 여전히 지배적이었을 때 많은 과학자들은 물리적 공간이 R3: 3차원 유클리드 공간으로 알려진 수학적 구조와 동형이라고 믿었습니다. 더욱이 일부는 우주의 모든 형태의 물질이 다양한 고전적 필드에 해당한다고 생각했습니다. 전기장, 자기장, 그리고 아마도 몇 가지 발견되지 않은 필드, 수학적으로 R3의 함수에 해당합니다(공간의 각 지점에서 소수의 숫자). 이러한 관점에서(나중에 잘못된 것으로 입증됨) 원자와 같은 밀도가 높은 물질 덩어리는 단순히 일부 필드가 강한(일부 숫자가 큰) 공간 영역이었습니다. 이러한 필드는 일부 편미분 방정식에 따라 시간이 지남에 따라 결정론적으로 진화했으며, 관찰자는 이것을 사물이 움직이고 사건이 발생하는 것으로 인식했습니다. 그렇다면 3차원 공간의 필드가 우주에 해당하는 수학적 구조가 될 수 있을까요? 아닙니다. 수학적 구조는 변할 수 없기 때문입니다. 그것은 공간과 시간 외부에 존재하는 추상적이고 불변의 엔티티입니다. 사건이 펼쳐지는 3차원 공간에 대한 우리의 익숙한 개구리 관점은 전체 역사가 포함된 4차원 시공간에 대한 새 관점과 동일하므로 수학적 구조는 영화의 단일 프레임이 아니라 전체 비디오 테이프에 해당합니다.

수학적 구조가 주어지면 그 안에 있는 자각이 있는 하위 구조(SAS)가 개구리 관점에서 물리적으로 실재하는 세계에 살고 있다고 주관적으로 인식하는 경우 물리적 존재를 갖는다고 말합니다. 수학적으로 그러한 SAS는 어떤 모습일까요? 위의 고전 물리학 예에서 여러분과 같은 SAS는 시공간을 통과하는 튜브, 아인슈타인이 세계선이라고 부르는 것의 두꺼운 버전일 것입니다. 튜브의 위치는 다른 시간에 공간에서 여러분의 위치를 지정합니다. 튜브 내에서 필드는 주변의 필드 값에 대한 정보를 저장하고 처리하는 것에 해당하는 특정 복잡한 동작을 나타내며, 튜브를 따라 각 위치에서 이러한 프로세스는 익숙하지만 신비로운 자각 감각을 일으킵니다. 개구리 관점에서 SAS는 튜브를 따라 이 1차원적인 인식 문자열을 시간의 흐름으로 인식합니다.

우리의 예는 물리적 세계가 어떻게 수학적 구조가 될 수 있는지에 대한 아이디어를 보여주지만, 이 특정 수학적 구조(4차원 공간의 필드)는 이제 잘못된 것으로 알려져 있습니다. 아인슈타인은 시공간이 휘어질 수 있다는 것을 깨달은 후 우주가 수학자가 텐서 필드가 있는 3+1차원 유사 리만 매니폴드라고 부르는 소위 통일장 이론을 끈기 있게 찾았지만, 이는 원자의 관찰된 동작을 설명하지 못했습니다. 양자장 이론(특수 상대성 이론과 양자 이론의 현대적 종합)에 따르면 우주(이 경우 레벨 III 다중우주)는 연산자 값 필드의 대수로 알려진 수학적 구조입니다. 여기서 SAS를 구성하는 것에 대한 질문은 더 미묘합니다(Tegmark 2000). 그러나 이것은 블랙홀 증발, 빅뱅의 첫 번째 인스턴스 및 기타 양자 중력 현상을 설명하지 못하므로 우리 우주와 동형인 진정한 수학적 구조가 존재한다면 아직 발견되지 않았습니다.

이제 우리 물리적 세계가 실제로 수학적 구조이고 여러분이 그 안의 SAS라고 가정해 보겠습니다. 이것은 그림 8의 수학 트리에서 상자 중 하나가 우리 우주라는 것을 의미합니다. (전체 트리는 아마도 무한히 확장될 것이므로 우리의 특정 상자는 그림에 표시된 트리의 하단에서 몇 개 안 되는 상자 중 하나가 아닙니다.)

다시 말해, 이 특정 수학적 구조는 수학적 존재뿐만 아니라 물리적 존재도 누리고 있습니다. 트리의 다른 모든 상자는 어떻습니까? 그들도 물리적 존재를 누리고 있을까요? 그렇지 않다면 현실의 핵심에 근본적이고 설명되지 않은 존재론적 비대칭이 내장되어 수학적 구조를 물리적 존재가 있는 것과 없는 것의 두 가지 클래스로 나눌 것입니다. 이러한 철학적 난관에서 벗어나기 위해 나는 (Tegmark 1998) 완전한 수학적 민주주의가 성립한다고 제안했습니다. 수학적 존재와 물리적 존재는 동등하므로 모든 수학적 구조도 물리적으로 존재합니다. 이것이 레벨 IV 다중우주입니다. 이것은 급진적인 플라톤주의의 한 형태로 볼 수 있으며, 플라톤의 아이디어 영역에 있는 수학적 구조(Rucker(1982)의 Mindscape)가 물리적 의미에서 “저 밖에” 존재한다고 주장합니다(Davies 1993). David Lewis(1986)의 소위 모달 현실주의 이론을 Barrow(1991; 1992)가 “하늘의 π”라고 부르는 것과 유사한 수학적 용어로 표현합니다. 이 이론이 옳다면 자유 매개변수가 없기 때문에 모든 평행 우주의 모든 속성(그 안의 SAS의 주관적 인식 포함)은 원칙적으로 무한히 지능적인 수학자가 도출할 수 있습니다.

우리는 증가하는 추측 순서대로 평행 우주의 네 가지 레벨을 설명했으므로 왜 레벨 IV를 믿어야 할까요? 논리적으로 그것은 두 가지 별개의 가정에 달려 있습니다.

• 가정 1: 물리적 세계(특히 레벨 III 다중우주)가 수학적 구조라는 것
• 가정 2: 수학적 민주주의: 모든 수학적 구조가 동일한 의미에서 “저 밖에” 존재한다는 것

유명한 에세이에서 Wigner(1967)는 “자연 과학에서 수학의 엄청난 유용성은 신비에 가깝다”고 주장했으며, “그에 대한 합리적인 설명은 없다”고 주장했습니다. 이 주장은 가정 1에 대한 지지로 받아들여질 수 있습니다. 여기서 물리적 세계를 설명하는 수학의 유용성은 후자가 수학적 구조라는 사실의 자연스러운 결과이며, 우리는 단순히 이것을 조금씩 밝혀내고 있습니다. 우리의 현재 물리학 이론을 구성하는 다양한 근사는 단순한 수학적 구조가 SAS가 더 복잡한 수학적 구조를 인식하는 방법에 대한 좋은 근사치를 제공할 수 있기 때문에 성공적입니다. 다시 말해, 우리의 성공적인 이론은 물리학을 근사하는 수학이 아니라 수학을 근사하는 수학입니다. Wigner의 관찰은 우연에 기반하지 않을 가능성이 높습니다. 그가 그것을 만든 이후 수십 년 동안 입자 물리학의 표준 모델을 포함하여 자연에서 훨씬 더 많은 수학적 규칙성이 발견되었기 때문입니다.

가정 1을 뒷받침하는 두 번째 주장은 추상 수학이 너무 일반적이어서 순전히 형식적인 용어(모호한 인간 용어와 독립적)로 정의할 수 있는 모든 TOE도 수학적 구조라는 것입니다. 예를 들어, 서로 다른 유형의 엔티티(예: 단어로 표시)와 그들 사이의 관계(추가 단어로 표시)를 포함하는 TOE는 수학자가 집합 이론 모델이라고 부르는 것일 뿐이며, 일반적으로 그것이 모델인 형식 시스템을 찾을 수 있습니다.

이 주장은 또한 가정 2를 더 매력적으로 만듭니다. 이는 생각할 수 있는 모든 평행 우주 이론을 레벨 IV에서 설명할 수 있음을 의미하기 때문입니다. Tegmark(1997)에서 “궁극적인 앙상블 이론”이라고 불리는 레벨 IV 다중우주는 다른 모든 앙상블을 포함하므로 다중우주의 계층 구조에 종결을 가져오고 레벨 V는 있을 수 없습니다. 수학적 구조의 앙상블을 고려하는 것은 여전히 또 다른 수학적 구조일 뿐이므로 새로운 것을 추가하지 않습니다. 우주가 컴퓨터 시뮬레이션이라는 자주 논의되는 개념은 어떻습니까? 이 아이디어는 공상 과학 소설에서 자주 발생하며 실질적으로 정교하게 설명되었습니다(예: Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). 디지털 컴퓨터의 정보 내용(메모리 상태)은 크지만 유한한 길이의 비트 문자열(예: “1001011100111001...”)이며, 이는 이진법으로 작성된 크지만 유한한 정수 n과 같습니다. 컴퓨터의 정보 처리는 각 메모리 상태를 다른 상태로 변경하는 결정론적 규칙(반복적으로 적용됨)이므로 수학적으로는 정수를 자신에게 매핑하는 함수 f일 뿐이며 반복됩니다: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... 다시 말해, 가장 정교한 컴퓨터 시뮬레이션조차도 수학적 구조의 또 다른 특수한 경우일 뿐이며 이미 레벨 IV 다중우주에 포함되어 있습니다. (덧붙여서 정수 값 함수가 아닌 연속 함수를 반복하면 프랙탈이 생길 수 있습니다.)

가정 2의 또 다른 매력적인 특징은 Wheeler의 질문에 대한 유일한 답을 제공한다는 것입니다. 왜 다른 방정식이 아닌 바로 이러한 방정식인가? 가능한 모든 방정식에 맞춰 우주를 춤추게 하면 2C절의 미세 조정 문제가 근본적인 방정식 수준에서도 한 번에 해결됩니다. 많은 수학적 구조가 죽어 있고 SAS가 부족하여 SAS가 요구하는 복잡성, 안정성 및 예측 가능성을 제공하지 못하더라도 우리는 물론 생명을 유지할 수 있는 수학적 구조에 살고 있다는 것을 100% 확률로 발견할 것으로 예상합니다. 이러한 선택 효과 때문에 “방정식에 불을 붙여 묘사할 우주를 만드는 것은 무엇인가?”라는 질문에 대한 답은 (Hawking 1993) “당신, SAS”가 될 것입니다.

우리가 이론을 사용하고 테스트하고 잠재적으로 배제하는 방법은 과거 인식에 대한 미래 인식에 대한 확률 분포를 계산하고 이러한 예측을 관찰된 결과와 비교하는 것입니다. 다중우주 이론에서는 과거의 삶이 여러분과 동일한 SAS가 일반적으로 두 개 이상 있으므로 누가 여러분인지 확인할 방법이 없습니다. 예측을 하려면 미래에 그들 중 몇 퍼센트가 무엇을 인식할지 계산해야 하므로 다음과 같은 예측이 나옵니다.

• 예측 1: 우리 세계를 설명하는 수학적 구조는 우리 관찰과 일치하는 가장 일반적인 구조입니다.
• 예측 2: 우리의 미래 관찰은 우리의 과거 관찰과 일치하는 가장 일반적인 관찰입니다.
• 예측 3: 우리의 과거 관찰은 우리의 존재와 일치하는 가장 일반적인 관찰입니다.

우리는 secMeasureSec(측정 문제)에서 “일반적”이라는 의미가 무엇인지에 대한 문제로 돌아갈 것입니다. 그러나 Tegmark(1997)에서 자세히 논의된 수학적 구조의 한 가지 놀라운 특징은 우리 우주의 단순성과 질서에 책임이 있는 일종의 대칭 및 불변성 속성이 일반적인 경향이 있으며 예외보다 규칙에 가깝다는 것입니다. 수학적 구조는 기본적으로 그러한 속성을 갖는 경향이 있으며 복잡한 추가 공리 등을 추가해야만 사라지게 만들 수 있습니다. 다시 말해, 이와 선택 효과 때문에 레벨 IV 다중우주에서의 삶이 반드시 무질서한 혼란이 될 것이라고 예상해서는 안 됩니다.