IV lygio multivisata: kitos matematinės struktūros ir fizinė realybė

Tarkime, jūs perkate platonistinę paradigmą ir tikite, kad 7 paveikslo viršuje iš tikrųjų yra TOE, ir kad mes tiesiog dar neradome teisingų lygčių. Tada lieka gėdingas klausimas, kurį pabrėžė Johnas Archibaldas Wheeleris: Kodėl būtent šios lygtys, o ne kitos? Dabar išnagrinėkime matematinės demokratijos idėją, pagal kurią visatos, valdomos kitų lygčių, yra vienodai realios. Tai yra IV lygmens multivisata. Tačiau pirmiausia turime įsisavinti dvi kitas idėjas: matematinės struktūros sąvoką ir supratimą, kad fizinis pasaulis gali būti viena iš jų.

Daugelis iš mūsų galvoja apie matematiką kaip apie triukų rinkinį, kurio išmokome mokykloje, skirtą manipuliuoti skaičiais. Tačiau dauguma matematikų turi labai skirtingą požiūrį į savo sritį. Jie tiria abstraktesnius objektus, tokius kaip funkcijos, aibės, erdvės ir operatoriai, ir bando įrodyti teoremas apie ryšius tarp jų. Iš tiesų, kai kurie šiuolaikinės matematikos darbai yra tokie abstraktūs, kad vieninteliai skaičiai, kuriuos juose rasite, yra puslapių numeriai! Ką bendro turi dodekaedras su kompleksinių skaičių aibe? Nepaisant daugybės matematinių struktūrų su bauginančiais pavadinimais, tokiais kaip orbifoldai ir Killingo laukai, per pastarąjį šimtmetį išryškėjo stulbinantis pagrindinis vieningumas: visos matematinės struktūros yra tik ypatingi to paties dalyko atvejai: vadinamosios formaliosios sistemos. Formaliąją sistemą sudaro abstraktūs simboliai ir taisyklės, skirtos jais manipuliuoti, nurodančios, kaip naujos simbolių eilutės, vadinamos teoremomis, gali būti išvestos iš duotų, vadinamų aksiomomis. Šis istorinis vystymasis atspindėjo dekonstrukcionizmo formą, nes jis pašalino visą prasmę ir interpretaciją, kuri tradiciškai buvo suteikiama matematinėms struktūroms, ir išgrynino tik abstrakčius ryšius, atspindinčius pačią jų esmę. Dėl to kompiuteriai dabar gali įrodyti geometrijos teoremas net neturėdami jokios fizinės intuicijos apie tai, kokia yra erdvė.

8 paveikslas rodo kai kurias pagrindines matematines struktūras ir jų tarpusavio ryšius. Nors šis šeimos medis tikriausiai tęsiasi neribotai, jis iliustruoja, kad matematinėse struktūrose nėra nieko neaiškaus. Jos yra „ten“, nes matematikai jas atranda, o ne sukuria, ir kad kontempliatyvios ateivių civilizacijos rastų tas pačias struktūras (teorema yra teisinga, nepriklausomai nuo to, ar ją įrodo žmogus, kompiuteris ar ateivis).

Dabar įsisavinkime idėją, kad fizinis pasaulis (konkrečiai, III lygmens multivisata) yra matematinė struktūra. Nors tradiciškai daugelis teorinių fizikų tai laiko savaime suprantamu dalyku, tai yra gili ir toli siekianti sąvoka. Tai reiškia, kad matematinės lygtys apibūdina ne tik kai kuriuos ribotus fizinio pasaulio aspektus, bet ir visus jo aspektus. Tai reiškia, kad yra tam tikra matematinė struktūra, kuri yra tai, ką matematikai vadina izomorfiška (ir todėl ekvivalentiška) mūsų fiziniam pasauliui, kai kiekvienas fizinis objektas turi unikalų atitikmenį matematinėje struktūroje ir atvirkščiai. Apsvarstykime keletą pavyzdžių.

Prieš šimtmetį, kai vis dar karaliavo klasikinė fizika, daugelis mokslininkų tikėjo, kad fizinė erdvė yra izomorfiška matematinei struktūrai, žinomai kaip R3: trimatei Euklido erdvei. Be to, kai kurie manė, kad visos materijos formos visatoje atitinka įvairius klasikinius laukus: elektrinį lauką, magnetinį lauką ir galbūt kelis neatrastus, matematiškai atitinkančius funkcijas R3 (saujelę skaičių kiekviename erdvės taške). Šiuo požiūriu (vėliau įrodyta, kad jis yra neteisingas) tankūs materijos gumulai, tokie kaip atomai, buvo tiesiog erdvės sritys, kuriose kai kurie laukai buvo stiprūs (kur kai kurie skaičiai buvo dideli). Šie laukai deterministiškai vystėsi laikui bėgant pagal kai kurias dalines diferencialines lygtis, o stebėtojai tai suvokė kaip daiktus, judančius aplinkui, ir vykstančius įvykius. Ar, tuomet, laukai trimačioje erdvėje galėtų būti matematinė struktūra, atitinkanti visatą? Ne, nes matematinė struktūra negali keistis – tai yra abstraktus, nekintamas objektas, egzistuojantis už erdvės ir laiko ribų. Mūsų pažįstama varlės perspektyva į trimatę erdvę, kurioje vyksta įvykiai, iš paukščio perspektyvos yra ekvivalentiška keturmatei erdvei-laikui, kurioje yra visa istorija, todėl matematinė struktūra atitiktų ne vieną jos kadrą, o visą vaizdajuostę.

Turėdami matematinę struktūrą, sakysime, kad ji turi fizinę egzistenciją, jei bet kuri save suvokianti substruktūra (SAS) joje subjektyviai, iš savo varlės perspektyvos, suvokia save gyvenančią fiziškai realiame pasaulyje. Kas, matematiškai, būtų toks SAS? Aukščiau pateiktame klasikinės fizikos pavyzdyje SAS, toks kaip jūs, būtų vamzdis per erdvę-laiką, stora Einšteino vadinamos pasaulio linijos versija. Vamzdžio vieta nurodytų jūsų padėtį erdvėje skirtingais laikais. Vamzdžio viduje laukai demonstruotų tam tikrą sudėtingą elgesį, atitinkantį informacijos apie lauko vertes aplinkoje saugojimą ir apdorojimą, ir kiekvienoje padėtyje išilgai vamzdžio šie procesai sukeltų pažįstamą, bet paslaptingą savimonės pojūtį. Iš savo varlės perspektyvos SAS suvoktų šią vienmatę suvokimų eilutę išilgai vamzdžio kaip laiko tėkmę.

Nors mūsų pavyzdys iliustruoja idėją, kaip mūsų fizinis pasaulis gali būti matematinė struktūra, ši konkreti matematinė struktūra (laukai keturmatėje erdvėje) dabar žinoma, kad yra neteisinga. Supratęs, kad erdvė-laikas gali būti iškreiptas, Einšteinas atkakliai ieškojo vadinamosios suvienytos lauko teorijos, kurioje visata būtų tai, ką matematikai vadina 3+1 matmenų pseudo-Rymano daugdara su tenzoriniais laukais, tačiau tai nepavyko paaiškinti stebimo atomų elgesio. Remiantis kvantine lauko teorija, šiuolaikine specialiosios reliatyvumo teorijos ir kvantinės teorijos sinteze, visata (šiuo atveju III lygmens multivisata) yra matematinė struktūra, žinoma kaip operatoriaus reikšmių laukų algebra. Čia klausimas, kas sudaro SAS, yra subtilesnis (Tegmark 2000). Tačiau tai neapibūdina juodosios skylės išgaravimo, pirmojo Didžiojo sprogimo ir kitų kvantinės gravitacijos reiškinių, todėl tikroji matematinė struktūra, izomorfiška mūsų visatai, jei tokia egzistuoja, dar nebuvo rasta.

Dabar tarkime, kad mūsų fizinis pasaulis iš tikrųjų yra matematinė struktūra ir kad jūs esate SAS joje. Tai reiškia, kad 8 paveikslo matematikos medyje vienas iš langelių yra mūsų visata. (Visas medis tikriausiai yra begalinis, todėl mūsų konkretus langelis nėra vienas iš nedaugelio langelių iš medžio apačios, kurie yra parodyti.)

Kitaip tariant, ši konkreti matematinė struktūra mėgaujasi ne tik matematine egzistencija, bet ir fizine egzistencija. O kaip su visais kitais langeliais medyje? Ar jie taip pat mėgaujasi fizine egzistencija? Jei ne, pačioje realybės širdyje būtų įmontuota fundamentalus, nepaaiškinamas ontologinis asimetrija, padalijanti matematines struktūras į dvi klases: tas, kurios turi ir kurios neturi fizinės egzistencijos. Išeitį iš šio filosofinio galvosūkio aš pasiūliau (Tegmark 1998), kad galioja visiška matematinė demokratija: matematinė egzistencija ir fizinė egzistencija yra ekvivalentiškos, todėl visos matematinės struktūros taip pat egzistuoja fiziškai. Tai gali būti laikoma radikalaus platonizmo forma, teigiančia, kad matematinės struktūros Platono idėjų karalystėje, Ruckerio (1982) protovaizdyje, egzistuoja „ten“ fizine prasme (Davies 1993), paverčiant Davido Lewiso (1986) vadinamąją modalaus realizmo teoriją matematiniais terminais, panašiais į tai, ką Barrow (1991; 1992) vadina „π danguje“. Jei ši teorija yra teisinga, tada, kadangi ji neturi laisvų parametrų, visas lygiagrečių visatų savybes (įskaitant subjektyvius SAS suvokimus jose) iš principo galėtų išvesti be galo protingas matematikas.

Mes aprašėme keturis lygiagrečių visatų lygius didėjančio spekuliatyvumo tvarka, tad kodėl turėtume tikėti IV lygiu? Logiškai jis remiasi dviem atskiromis prielaidomis:

• 1 prielaida: kad fizinis pasaulis (konkrečiai, mūsų III lygmens multivisata) yra matematinė struktūra
• 2 prielaida: matematinė demokratija: kad visos matematinės struktūros egzistuoja „ten“ ta pačia prasme

Garsiajame esė Wigneris (1967) teigė, kad „nepaprastas matematikos naudingumas gamtos moksluose yra kažkas, kas ribojasi su paslaptingumu“ ir kad „tam nėra jokio racionalaus paaiškinimo“. Šis argumentas gali būti laikomas 1 prielaidos palaikymu: čia matematikos naudingumas apibūdinant fizinį pasaulį yra natūrali pasekmė to, kad pastarasis yra matematinė struktūra, ir mes tiesiog po truputį ją atskleidžiame. Įvairios aproksimacijos, kurios sudaro mūsų dabartines fizikos teorijas, yra sėkmingos, nes paprastos matematinės struktūros gali suteikti gerą aproksimaciją, kaip SAS suvoks sudėtingesnes matematines struktūras. Kitaip tariant, mūsų sėkmingos teorijos nėra matematika, aproksimuojanti fiziką, bet matematika, aproksimuojanti matematiką. Mažai tikėtina, kad Wignerio pastebėjimas yra pagrįstas atsitiktiniais sutapimais, nes per dešimtmečius nuo jo padarymo gamtoje buvo atrasta daug daugiau matematinio taisyklingumo, įskaitant standartinį dalelių fizikos modelį.

Antras argumentas, pagrindžiantis 1 prielaidą, yra tas, kad abstrakta matematika yra tokia bendra, kad bet kuri TOE, kuri yra apibrėžiama grynai formaliais terminais (nepriklausomai nuo neaiškios žmogaus terminologijos), taip pat yra matematinė struktūra. Pavyzdžiui, TOE, apimantis skirtingų tipų objektų rinkinį (pavyzdžiui, žodžiais pažymėtus) ir ryšius tarp jų (pažymėtus papildomais žodžiais), yra ne kas kita, kaip tai, ką matematikai vadina aibių teorijos modeliu, ir paprastai galima rasti formaliąją sistemą, kurios modelis jis yra.

Šis argumentas taip pat daro 2 prielaidą patrauklesnę, nes tai reiškia, kad bet kuri įsivaizduojama lygiagrečios visatos teorija gali būti aprašyta IV lygiu. IV lygmens multivisata, Tegmark (1997) pavadinta „galutine ansamblio teorija“, nes ji apima visus kitus ansamblius, todėl užbaigia multivisatų hierarchiją ir negali būti, tarkime, V lygmens. Matematinės struktūros ansamblio svarstymas neprideda nieko naujo, nes tai vis dar yra tik kita matematinė struktūra. O kaip su dažnai aptariama idėja, kad visata yra kompiuterinis modeliavimas? Ši idėja dažnai pasitaiko mokslinėje fantastikoje ir buvo išsamiai išplėtota (pvz., Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Skaitmeninio kompiuterio informacijos turinys (atminties būsena) yra bitų eilutė, tarkime, „1001011100111001...“ didelio, bet baigtinio ilgio, ekvivalentiškas tam tikram dideliam, bet baigtiniam sveikajam skaičiui n, parašytam dvejetainiu kodu. Kompiuterio informacijos apdorojimas yra deterministinė taisyklė, skirta pakeisti kiekvieną atminties būseną į kitą (taikoma vėl ir vėl), todėl matematiškai tai tiesiog funkcija f, atvaizduojanti sveikuosius skaičius į save, kuri kartojama: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Kitaip tariant, net ir pats sudėtingiausias kompiuterinis modeliavimas yra tik dar vienas matematinės struktūros ypatingas atvejis ir jau yra įtrauktas į IV lygmens multivisatą. (Beje, kartojant nuolatines funkcijas, o ne sveikąsias, gali atsirasti fraktalų.)

Kita patraukli 2 prielaidos savybė yra ta, kad ji iki šiol pateikia vienintelį atsakymą į Wheelerio klausimą: Kodėl būtent šios lygtys, o ne kitos? Turint visatas, kurios šoka pagal visas įmanomas lygtis, taip pat vieną kartą ir visiems laikams išsprendžiama II C skyriaus smulkaus derinimo problema, net ir fundamentalios lygties lygyje: nors daugelis, jei ne dauguma matematinių struktūrų, greičiausiai yra mirusios ir neturi SAS, nesugebančios užtikrinti sudėtingumo, stabilumo ir nuspėjamumo, kurio reikalauja SAS, mes, žinoma, tikimės 100% tikimybe nustatyti, kad gyvename matematinėje struktūroje, galinčioje palaikyti gyvybę. Dėl šio atrankos efekto atsakymas į klausimą „kas įkvepia ugnį į lygtis ir sukuria visatą joms aprašyti?“ (Hawking 1993) būtų „jūs, SAS“.

Būdas, kuriuo mes naudojame, tikriname ir potencialiai atmetame bet kurią teoriją, yra apskaičiuoti tikimybių pasiskirstymus mūsų būsimiems suvokimams, atsižvelgiant į mūsų praeities suvokimus, ir palyginti šias prognozes su mūsų stebėtais rezultatais. Multivisatos teorijoje paprastai yra daugiau nei vienas SAS, kuris patyrė praeitį, identišką jūsų, todėl nėra jokio būdo nustatyti, kuris iš jų esate jūs. Norėdami pateikti prognozes, todėl turite apskaičiuoti, kokios jų dalys suvoks ką ateityje, o tai lemia šias prognozes:

• 1 prognozė: matematinė struktūra, apibūdinanti mūsų pasaulį, yra pati bendriausia, kuri atitinka mūsų stebėjimus.
• 2 prognozė: mūsų būsimi stebėjimai yra patys bendriausi, kurie atitinka mūsų praeities stebėjimus.
• 3 prognozė: mūsų praeities stebėjimai yra patys bendriausi, kurie atitinka mūsų egzistavimą.

Mes grįšime prie klausimo, ką reiškia „bendras“, secMeasureSec (matavimo problema). Tačiau viena ryški matematinės struktūros savybė, išsamiai aptarta Tegmark (1997), yra ta, kad simetrija ir invariantiškumo savybės, kurios yra atsakingos už mūsų visatos paprastumą ir tvarkingumą, paprastai yra bendros, labiau taisyklė nei išimtis – matematinės struktūros linkusios jas turėti pagal numatytuosius nustatymus, ir reikia pridėti sudėtingų papildomų aksiomų ir t. t., kad jos išnyktų. Kitaip tariant, dėl to ir dėl atrankos efektų neturėtume tikėtis, kad gyvenimas IV lygmens multivisatoje bus netvarkinga netvarka.