IV līmeņa Multiverse: Citas matemātiskas struktūras un fiziskā realitāte

Pieņemsim, ka jūs pieņemat Platonisko paradigmu un ticat, ka 7. attēla augšpusē patiešām ir VVT, un ka mēs vienkārši vēl neesam atraduši pareizos vienādojumus. Tad paliek neērts jautājums, kā uzsvēra Džons Arčibalds Vīlers: kāpēc tieši šie vienādojumi, nevis citi? Tagad izpētīsim matemātiskās demokrātijas ideju, saskaņā ar kuru visumi, ko pārvalda citi vienādojumi, ir vienlīdz reāli. Šis ir IV līmeņa multiversums. Tomēr vispirms mums ir jāapgūst divas citas idejas: matemātiskās struktūras jēdziens un priekšstats, ka fizikālā pasaule var būt viena.

Daudzi no mums domā par matemātiku kā par triku maisu, ko mēs iemācījāmies skolā, lai manipulētu ar skaitļiem. Tomēr lielākajai daļai matemātiķu ir ļoti atšķirīgs skatījums uz savu jomu. Viņi pēta abstraktākus objektus, piemēram, funkcijas, kopas, telpas un operatorus, un cenšas pierādīt teorēmas par attiecībām starp tiem. Patiešām, daži mūsdienu matemātikas darbi ir tik abstrakti, ka vienīgie skaitļi, ko tajos atradīsiet, ir lappušu numuri! Kas dodekaedram ir kopīgs ar kompleksu skaitļu kopu? Neskatoties uz matemātisko struktūru pārpilnību ar biedējošiem nosaukumiem, piemēram, orbifaldiem un Killing laukiem, pēdējā gadsimtā ir parādījusies pārsteidzoša pamatvienotība: visas matemātiskās struktūras ir tikai īpaši viena un tā paša gadījumi: tā sauktās formālās sistēmas. Formālā sistēma sastāv no abstraktiem simboliem un noteikumiem to manipulēšanai, norādot, kā jaunus simbolu virknējumus, ko sauc par teorēmām, var atvasināt no dotajiem, ko sauc par aksiomām. Šī vēsturiskā attīstība bija dekonstrukcionisma forma, jo tā atņēma visu nozīmi un interpretāciju, kas tradicionāli tika piešķirta matemātiskām struktūrām, un destilēja tikai abstraktas attiecības, kas uztver to pašu būtību. Rezultātā datori tagad var pierādīt teorēmas par ģeometriju, neizjūtot nekādu fizisku intuīciju par to, kāda ir telpa.

8. attēlā ir parādītas dažas no pamata matemātiskajām struktūrām un to savstarpējās attiecības. Lai gan šis ģimenes koks, iespējams, stiepjas bezgalīgi, tas ilustrē, ka matemātiskās struktūras nav neskaidras. Tās ir “ārā”, tādā nozīmē, ka matemātiķi tās atklāj, nevis rada, un ka apcerīgas citplanētu civilizācijas atrastu tās pašas struktūras (teorēma ir patiesa neatkarīgi no tā, vai to pierāda cilvēks, dators vai citplanētietis).

Tagad pieņemsim ideju, ka fizikālā pasaule (konkrēti, III līmeņa multiversums) ir matemātiska struktūra. Lai gan daudzi teorētiskie fiziķi to tradicionāli uzskata par pašsaprotamu, šis ir dziļš un tālejošs jēdziens. Tas nozīmē, ka matemātiskie vienādojumi apraksta ne tikai dažus ierobežotus fizikālās pasaules aspektus, bet gan visus tās aspektus. Tas nozīmē, ka pastāv kāda matemātiska struktūra, kas ir matemātiķu saukta par izomorfu (un līdz ar to ekvivalentu) mūsu fizikālajai pasaulei, un katrai fizikālai entītijai ir unikāls analogs matemātiskajā struktūrā un otrādi. Apskatīsim dažus piemērus.

Pirms gadsimta, kad valdīja klasiskā fizika, daudzi zinātnieki uzskatīja, ka fizikālā telpa ir izomorfa matemātiskajai struktūrai, kas pazīstama kā R3: trīsdimensiju Eiklīda telpa. Turklāt daži domāja, ka visas vielas formas Visumā atbilst dažādiem klasiskajiem laukiem: elektriskajam laukam, magnētiskajam laukam un, iespējams, dažiem neatklātiem laukiem, kas matemātiski atbilst funkcijām uz R3 (dažiem skaitļiem katrā telpas punktā). Šajā skatījumā (kas vēlāk tika pierādīts kā nepareizs) blīvi vielas sakopojumi, piemēram, atomi, vienkārši bija reģioni telpā, kur daži lauki bija spēcīgi (kur daži skaitļi bija lieli). Šie lauki deterministiski attīstījās laika gaitā saskaņā ar dažiem daļējiem diferenciālvienādojumiem, un novērotāji to uztvēra kā lietu kustēšanos un notikumu norisi. Vai tad lauki trīsdimensiju telpā varētu būt matemātiskā struktūra, kas atbilst Visumam? Nē, jo matemātiska struktūra nevar mainīties — tā ir abstrakta, nemainīga entītija, kas pastāv ārpus telpas un laika. Mūsu pazīstamā vardes perspektīva uz trīsdimensiju telpu, kurā risinās notikumi, no putna perspektīvas ir līdzvērtīga četrdimensiju laikrtelpai, kurā ir ietverta visa vēsture, tāpēc matemātiskā struktūra neatbilstu vienam tās kadram, bet gan visai videolentei.

Ņemot vērā matemātisku struktūru, mēs teiksim, ka tai ir fizikāla eksistence, ja jebkura pašapzinīga apakšstruktūra (SAAS) tajā subjektīvi, no savas vardes perspektīvas, uztver sevi kā dzīvojošu fizikāli reālā pasaulē. Kāda matemātiski būtu šāda SAAS? Klasiskās fizikas piemērā iepriekš SAAS, piemēram, jūs, būtu caurule cauri laikrtelpai, Einšteina sauktās pasaules līnijas bieza versija. Caurules atrašanās vieta norādītu jūsu pozīciju telpā dažādos laikos. Caurules iekšpusē lauki demonstrētu noteiktu sarežģītu uzvedību, kas atbilstu informācijas uzglabāšanai un apstrādei par lauka vērtībām apkārtnē, un katrā pozīcijā gar cauruli šie procesi radītu pazīstamu, bet noslēpumainu pašapziņas sajūtu. No savas vardes perspektīvas SAAS uztvertu šo vienmēra uztveres virkni gar cauruli kā laika gaitu.

Lai gan mūsu piemērs ilustrē ideju par to, kā mūsu fizikālā pasaule var būt matemātiska struktūra, šī konkrētā matemātiskā struktūra (lauki četrdimensiju telpā) tagad ir zināma kā nepareiza. Pēc tam, kad tika saprasts, ka laikrtelpa var būt izliekta, Einšteins neatlaidīgi meklēja tā saukto vienoto lauku teoriju, kurā Visums būtu tas, ko matemātiķi sauc par 3+1 dimensiju pseido-Rīmaņa daudzveidību ar tenzoru laukiem, bet tas nespēja izskaidrot novēroto atomu uzvedību. Saskaņā ar kvantu lauku teoriju, kas ir speciālās relativitātes teorijas un kvantu teorijas mūsdienu sintēze, Visums (šajā gadījumā III līmeņa multiversums) ir matemātiska struktūra, kas pazīstama kā operatoru vērtību lauku algebra. Šeit jautājums par to, kas veido SAAS, ir smalkāks (Tegmarks 2000). Tomēr tas nespēj aprakstīt melnā cauruma iztvaikošanu, Lielā sprādziena pirmo gadījumu un citas kvantu gravitācijas parādības, tāpēc patiesā matemātiskā struktūra, kas ir izomorfa mūsu Visumam, ja tāda pastāv, vēl nav atrasta.

Tagad pieņemsim, ka mūsu fizikālā pasaule patiešām ir matemātiska struktūra un ka jūs esat SAAS tajā. Tas nozīmē, ka 8. attēla matemātikas kokā viena no rūtiņām ir mūsu Visums. (Pilnais koks, iespējams, ir bezgalīgs, tāpēc mūsu konkrētā rūtiņa nav viena no tām nedaudzajām rūtiņām no koka apakšas, kas ir parādītas.)

Citiem vārdiem sakot, šai konkrētai matemātiskajai struktūrai ir ne tikai matemātiska eksistence, bet arī fizikāla eksistence. Kā ir ar visām pārējām rūtiņām kokā? Vai arī tām ir fizikāla eksistence? Ja nē, tad pašā realitātes sirdī būtu iebūvēta fundamentāla, neizskaidrojama ontoloģiska asimetrija, sadalot matemātiskās struktūras divās klasēs: tās, kurām ir un kurām nav fizikāla eksistence. Lai atrisinātu šo filozofisko mīklu, esmu ierosinājis (Tegmarks 1998), ka pastāv pilnīga matemātiskā demokrātija: ka matemātiskā eksistence un fizikāla eksistence ir līdzvērtīgas, tāpēc visas matemātiskās struktūras pastāv arī fiziski. Šis ir IV līmeņa multiversums. To var uzskatīt par radikāla platonisma formu, apgalvojot, ka matemātiskās struktūras Platona ideju valstībā, Rukera (1982) prāta ainavā, pastāv “ārā” fiziskā nozīmē (Dēviss 1993), atveidojot Deivida Lūisa (1986) tā saukto modālo reālisma teoriju matemātiskos terminos, kas ir līdzīgi tam, ko Barovs (1991; 1992) dēvē par “π debesīs”. Ja šī teorija ir pareiza, tad, tā kā tai nav brīvu parametru, visas visu paralēlo Visumu īpašības (ieskaitot SAAS subjektīvo uztveri tajos) principā varētu atvasināt bezgalīgi inteliģents matemātiķis.

Mēs esam aprakstījuši četrus paralēlo Visumu līmeņus pieaugošas spekulativitātes secībā, tāpēc kāpēc mums būtu jātic IV līmenim? Loģiski tas balstās uz diviem atsevišķiem pieņēmumiem:

• 1. pieņēmums: ka fizikālā pasaule (konkrēti, mūsu III līmeņa multiversums) ir matemātiska struktūra
• 2. pieņēmums: Matemātiskā demokrātija: ka visas matemātiskās struktūras pastāv “ārā” tādā pašā nozīmē

Slavenā esejā Vīgners (1967) apgalvoja, ka “matemātikas ārkārtējā noderība dabaszinātnēs robežojas ar noslēpumaino” un ka “tam nav racionāla izskaidrojuma”. Šo argumentu var uztvert kā atbalstu 1. pieņēmumam: šeit matemātikas lietderība fizikālās pasaules aprakstīšanai ir dabiska sekas faktam, ka pēdējā ir matemātiska struktūra, un mēs vienkārši atklājam to pa druskai. Dažādie tuvinājumi, kas veido mūsu pašreizējās fizikas teorijas, ir veiksmīgi, jo vienkāršas matemātiskās struktūras var nodrošināt labus tuvinājumus tam, kā SAAS uztvers sarežģītākas matemātiskās struktūras. Citiem vārdiem sakot, mūsu veiksmīgās teorijas nav matemātika, kas tuvinās fizikai, bet gan matemātika, kas tuvinās matemātikai. Maz ticams, ka Vīgnera novērojums ir balstīts uz nejaušām sakritībām, jo gadu desmitos kopš viņš to izteica, dabā ir atklāts daudz vairāk matemātiskas regularitātes, tostarp daļiņu fizikas standarta modelis.

Otrs arguments, kas atbalsta 1. pieņēmumu, ir tas, ka abstraktā matemātika ir tik vispārīga, ka jebkura VVT, kas ir definējama tikai formālos terminos (neatkarīgi no nenoteiktas cilvēku terminoloģijas), ir arī matemātiska struktūra. Piemēram, VVT, kas ietver dažāda veida entītiju kopumu (apzīmētas ar vārdiem, teiksim) un attiecības starp tām (apzīmētas ar papildu vārdiem), nav nekas cits kā tas, ko matemātiķi sauc par kopu teorētisko modeli, un parasti var atrast formālu sistēmu, kuras modelis tas ir.

Šis arguments arī padara 2. pieņēmumu pievilcīgāku, jo tas nozīmē, ka jebkuru iedomājamu paralēlā Visuma teoriju var aprakstīt IV līmenī. IV līmeņa multiversums, ko Tegmarks (1997) dēvē par “galējo ansambļa teoriju”, jo tas aptver visus citus ansambļus, tādējādi noslēdz multiversumu hierarhiju, un nevar būt teiksim V līmenis. Matemātisko struktūru ansambļa apsvēršana nepapildina neko jaunu, jo tā joprojām ir tikai cita matemātiska struktūra. Kā ir ar bieži apspriesto jēdzienu, ka Visums ir datora simulācija? Šī ideja bieži parādās zinātniskajā fantastikā un ir būtiski izstrādāta (piemēram, Šmidtubers 1997; Volframs 2002). Ciparu datora informācijas saturs (atmiņas stāvoklis) ir bitu virkne, teiksim, “1001011100111001...”, kas ir liela, bet galīga garuma, kas ir līdzvērtīga kādam lielam, bet galīgam veselam skaitlim n, kas rakstīts binārā formātā. Datora informācijas apstrāde ir determinēts noteikums, lai mainītu katru atmiņas stāvokli citā (atkārtoti pielietots), tāpēc matemātiski tā ir vienkārši funkcija f, kas attēlo veselus skaitļus uz sevi un kas tiek iterēta: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Citiem vārdiem sakot, pat vismodernākā datora simulācija ir tikai vēl viens matemātiskas struktūras īpašs gadījums un jau ir iekļauta IV līmeņa multiversumā. (Starp citu, iterējot nepārtrauktas funkcijas, nevis veselu skaitļu funkcijas, var rasties fraktāļi.)

Vēl viena pievilcīga 2. pieņēmuma iezīme ir tā, ka tas līdz šim sniedz vienīgo atbildi uz Vīlera jautājumu: Kāpēc tieši šie vienādojumi, nevis citi? Visumiem dejojot pēc visu iespējamo vienādojumu melodijas, tas arī atrisina II C sadaļas precīzās regulēšanas problēmu reizi par visām reizēm, pat fundamentālo vienādojumu līmenī: lai gan daudzas, ja ne lielākā daļa matemātisko struktūru, visticamāk, ir mirušas un bez SAAS, nespējot nodrošināt sarežģītību, stabilitāti un paredzamību, kas nepieciešama SAAS, mēs, protams, ar 100% varbūtību sagaidām, ka mēs apdzīvojam matemātisku struktūru, kas spēj uzturēt dzīvību. Šī atlases efekta dēļ atbilde uz jautājumu “kas iedveš uguni vienādojumos un rada Visumu, ko tie apraksta?” (Hokings 1993) būtu “jūs, SAAS”.

Veids, kā mēs izmantojam, pārbaudām un potenciāli izslēdzam jebkuru teoriju, ir aprēķināt varbūtības sadalījumus mūsu nākotnes uztverei, ņemot vērā mūsu pagātnes uztveri, un salīdzināt šos paredzējumus ar mūsu novēroto iznākumu. Multiversuma teorijā parasti ir vairāk nekā viena SAAS, kas ir piedzīvojusi pagātnes dzīvi, kas ir identiska jūsu, tāpēc nav iespējams noteikt, kura no tām esat jūs. Lai izdarītu paredzējumus, jums tāpēc jāaprēķina, kādas daļas no tām nākotnē uztvers to, kas noved pie šādiem paredzējumiem:

• 1. paredzējums: matemātiskā struktūra, kas apraksta mūsu pasauli, ir vispārīgākā, kas ir saderīga ar mūsu novērojumiem.
• 2. paredzējums: mūsu nākotnes novērojumi ir vispārīgākie, kas ir saderīgi ar mūsu pagātnes novērojumiem.
• 3. paredzējums: mūsu pagātnes novērojumi ir vispārīgākie, kas ir saderīgi ar mūsu eksistenci.

Mēs atgriezīsimies pie problēmas, ko nozīmē “vispārīgs” sadaļā secMeasureSec (mēra problēma). Tomēr viena pārsteidzoša matemātisko struktūru iezīme, kas sīki aprakstīta Tegmark (1997), ir tāda, ka simetrija un invariances īpašības, kas ir atbildīgas par mūsu Visuma vienkāršību un kārtību, parasti ir vispārīgas, vairāk likums nekā izņēmums — matemātiskām struktūrām tās parasti ir pēc noklusējuma, un ir jāpievieno sarežģītas papildu aksiomas utt., lai tās pazustu. Citiem vārdiem sakot, gan šī, gan atlases efektu dēļ mums nevajadzētu obligāti sagaidīt, ka dzīve IV līmeņa multiversumā būs nekārtīgs haoss.