Multiwszechświat Poziomu IV: Inne Struktury Matematyczne i Rzeczywistość Fizyczna

Załóżmy, że akceptujesz paradygmat platoński i wierzysz, że naprawdę istnieje TOE na szczycie rysunku 7 — i że po prostu nie znaleźliśmy jeszcze poprawnych równań. Wtedy pozostaje kłopotliwe pytanie, jak podkreślił John Archibald Wheeler: Dlaczego te konkretne równania, a nie inne? Zbadajmy teraz ideę demokracji matematycznej, zgodnie z którą wszechświaty rządzone przez inne równania są równie realne. To jest multiwersum poziomu IV. Najpierw musimy jednak przyswoić dwie inne idee: koncepcję struktury matematycznej i pojęcie, że świat fizyczny może być jedną.

Wielu z nas myśli o matematyce jako o torbie sztuczek, których nauczyliśmy się w szkole do manipulowania liczbami. Jednak większość matematyków ma bardzo odmienny pogląd na swoją dziedzinę. Badają bardziej abstrakcyjne obiekty, takie jak funkcje, zbiory, przestrzenie i operatory, i próbują udowodnić twierdzenia o relacjach między nimi. Rzeczywiście, niektóre współczesne prace matematyczne są tak abstrakcyjne, że jedyne liczby, które w nich znajdziesz, to numery stron! Co ma wspólnego dwunastościan ze zbiorem liczb zespolonych? Pomimo bogactwa struktur matematycznych o onieśmielających nazwach, takich jak orbifoldy i pola Killinga, w ostatnim stuleciu wyłoniła się uderzająca, podstawowa jedność: wszystkie struktury matematyczne są tylko szczególnymi przypadkami jednej i tej samej rzeczy: tak zwanych systemów formalnych. System formalny składa się z abstrakcyjnych symboli i reguł manipulowania nimi, określających, jak nowe ciągi symboli zwane twierdzeniami mogą być wyprowadzane z danych ciągów zwanych aksjomatami. Ten historyczny rozwój reprezentował formę dekonstrukcjonizmu, ponieważ pozbawił całe znaczenie i interpretację, które tradycyjnie nadawano strukturom matematycznym, i wydestylował tylko abstrakcyjne relacje oddające ich istotę. W rezultacie komputery mogą teraz udowadniać twierdzenia o geometrii bez posiadania jakiejkolwiek fizycznej intuicji na temat tego, jak wygląda przestrzeń.

Rysunek 8 przedstawia niektóre z najbardziej podstawowych struktur matematycznych i ich wzajemne relacje. Chociaż to drzewo genealogiczne prawdopodobnie rozciąga się w nieskończoność, ilustruje, że w strukturach matematycznych nie ma nic niejasnego. One są “tam na zewnątrz” w tym sensie, że matematycy je odkrywają, a nie tworzą, i że kontemplacyjne cywilizacje pozaziemskie znalazłyby te same struktury (twierdzenie jest prawdziwe niezależnie od tego, czy jest udowodnione przez człowieka, komputer czy obcego).

Rozważmy teraz ideę, że świat fizyczny (a konkretnie multiwersum poziomu III) jest strukturą matematyczną. Chociaż tradycyjnie uważane za oczywiste przez wielu fizyków teoretycznych, jest to głębokie i dalekosiężne pojęcie. Oznacza to, że równania matematyczne opisują nie tylko pewne ograniczone aspekty świata fizycznego, ale wszystkie jego aspekty. Oznacza to, że istnieje pewna struktura matematyczna, która jest tym, co matematycy nazywają izomorficzną (a zatem równoważną) z naszym światem fizycznym, przy czym każda fizyczna jednostka ma unikalny odpowiednik w strukturze matematycznej i odwrotnie. Rozważmy kilka przykładów.

Wiek temu, kiedy królowała jeszcze fizyka klasyczna, wielu naukowców wierzyło, że przestrzeń fizyczna jest izomorficzna ze strukturą matematyczną znaną jako R3: trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa. Co więcej, niektórzy uważali, że wszystkie formy materii we wszechświecie odpowiadają różnym polom klasycznym: polu elektrycznemu, polu magnetycznemu i być może kilku nieodkrytym, matematycznie odpowiadającym funkcjom na R3 (garść liczb w każdym punkcie przestrzeni). W tym ujęciu (później udowodnionym jako niepoprawne) gęste skupiska materii, takie jak atomy, były po prostu obszarami w przestrzeni, gdzie niektóre pola były silne (gdzie niektóre liczby były duże). Pola te ewoluowały deterministycznie w czasie zgodnie z pewnymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a obserwatorzy postrzegali to jako przemieszczanie się rzeczy i zachodzące zdarzenia. Czy zatem pola w przestrzeni trójwymiarowej mogłyby być strukturą matematyczną odpowiadającą wszechświatu? Nie, ponieważ struktura matematyczna nie może się zmieniać — jest to abstrakcyjna, niezmienna jednostka istniejąca poza przestrzenią i czasem. Nasza znajoma żabia perspektywa trójwymiarowej przestrzeni, w której rozgrywają się wydarzenia, jest równoważna, z perspektywy ptaka, czterowymiarowej czasoprzestrzeni, w której zawarta jest cała historia, więc struktura matematyczna byłaby polami w przestrzeni czterowymiarowej. Innymi słowy, gdyby historia była filmem, struktura matematyczna nie odpowiadałaby pojedynczej klatce, ale całemu nagraniu wideo.

Biorąc pod uwagę strukturę matematyczną, powiemy, że ma ona fizyczne istnienie, jeśli jakakolwiek samoświadoma podstruktura (SAS) w niej, subiektywnie, z żabiej perspektywy, postrzega siebie jako żyjącą w fizycznie realnym świecie. Jak matematycznie wyglądałaby taka SAS? W powyższym przykładzie fizyki klasycznej, SAS, taki jak ty, byłby rurką przez czasoprzestrzeń, grubszą wersją tego, co Einstein nazywał linią świata. Położenie rurki określałoby twoją pozycję w przestrzeni w różnych momentach. Wewnątrz rurki pola wykazywałyby pewne złożone zachowanie, odpowiadające przechowywaniu i przetwarzaniu informacji o wartościach pól w otoczeniu, a w każdym położeniu wzdłuż rurki procesy te dawałyby początek znanemu, ale tajemniczemu odczuciu samoświadomości. Z żabiej perspektywy SAS postrzegałaby ten jednowymiarowy ciąg spostrzeżeń wzdłuż rurki jako upływ czasu.

Chociaż nasz przykład ilustruje ideę, jak nasz świat fizyczny może być strukturą matematyczną, ta konkretna struktura matematyczna (pola w przestrzeni czterowymiarowej) jest obecnie znana jako błędna. Po uświadomieniu sobie, że czasoprzestrzeń może być zakrzywiona, Einstein uparcie poszukiwał tak zwanej ujednoliconej teorii pola, w której wszechświat był tym, co matematycy nazywają 3+1-wymiarową pseudo-riemannowską rozmaitością z polami tensorowymi, ale to nie wyjaśniło obserwowanego zachowania atomów. Zgodnie z kwantową teorią pola, nowoczesną syntezą szczególnej teorii względności i teorii kwantowej, wszechświat (w tym przypadku multiwersum poziomu III) jest strukturą matematyczną znaną jako algebra pól o wartościach operatorowych. Tutaj pytanie o to, co stanowi SAS, jest bardziej subtelne (Tegmark 2000). Jednak to nie opisuje parowania czarnych dziur, pierwszego przypadku Wielkiego Wybuchu i innych zjawisk grawitacji kwantowej, więc prawdziwa struktura matematyczna izomorficzna z naszym wszechświatem, jeśli istnieje, nie została jeszcze znaleziona.

Załóżmy teraz, że nasz świat fizyczny naprawdę jest strukturą matematyczną i że jesteś SAS w niej. Oznacza to, że w drzewie matematyki na rysunku 8 jednym z pól jest nasz wszechświat. (Pełne drzewo jest prawdopodobnie nieskończone w rozciągłości, więc nasze konkretne pole nie jest jednym z nielicznych pól z dołu drzewa, które są pokazane.)

Innymi słowy, ta konkretna struktura matematyczna cieszy się nie tylko matematycznym istnieniem, ale także fizycznym istnieniem. Co z wszystkimi innymi polami w drzewie? Czy one również cieszą się fizycznym istnieniem? Jeśli nie, w samym sercu rzeczywistości istniałaby fundamentalna, niewyjaśniona asymetria ontologiczna, dzieląca struktury matematyczne na dwie klasy: te z fizycznym istnieniem i te bez niego. Jako sposób na wyjście z tego filozoficznego dylematu zasugerowałem (Tegmark 1998), że obowiązuje pełna demokracja matematyczna: że istnienie matematyczne i istnienie fizyczne są równoważne, więc wszystkie struktury matematyczne istnieją fizycznie również. To jest multiwersum poziomu IV. Można to postrzegać jako formę radykalnego platonizmu, stwierdzającą, że struktury matematyczne w platońskiej krainie idei, Mindscape Ruckera (1982), istnieją “tam na zewnątrz” w sensie fizycznym (Davies 1993), rzucając tak zwaną teorię realizmu modalnego Davida Lewisa (1986) w matematycznych kategoriach zbliżonych do tego, co Barrow (1991; 1992) nazywa “π na niebie”. Jeśli ta teoria jest poprawna, to ponieważ nie ma w niej wolnych parametrów, wszystkie właściwości wszystkich równoległych wszechświatów (w tym subiektywne spostrzeżenia SAS w nich) mogłyby w zasadzie zostać wyprowadzone przez nieskończenie inteligentnego matematyka.

Opisaliśmy cztery poziomy równoległych wszechświatów w kolejności rosnącej spekulatywności, więc dlaczego powinniśmy wierzyć w poziom IV? Logicznie rzecz biorąc, opiera się on na dwóch oddzielnych założeniach:

• Założenie 1: Że świat fizyczny (a konkretnie nasze multiwersum poziomu III) jest strukturą matematyczną
• Założenie 2: Demokracja matematyczna: że wszystkie struktury matematyczne istnieją “tam na zewnątrz” w tym samym sensie

W słynnym eseju Wigner (1967) argumentował, że “ogromna użyteczność matematyki w naukach przyrodniczych jest czymś graniczącym z tajemnicą” i że “nie ma dla niej racjonalnego wyjaśnienia”. Argument ten można przyjąć jako poparcie dla założenia 1: tutaj użyteczność matematyki do opisywania świata fizycznego jest naturalną konsekwencją faktu, że ten ostatni jest strukturą matematyczną, a my po prostu odkrywamy to kawałek po kawałku. Różne aproksymacje, które składają się na nasze obecne teorie fizyczne, są skuteczne, ponieważ proste struktury matematyczne mogą zapewnić dobre aproksymacje tego, jak SAS będzie postrzegać bardziej złożone struktury matematyczne. Innymi słowy, nasze udane teorie nie są matematyką aproksymującą fizykę, ale matematyką aproksymującą matematykę. Jest mało prawdopodobne, aby obserwacja Wignera opierała się na przypadkowych zbiegach okoliczności, ponieważ w ciągu dziesięcioleci, które minęły od jego dokonania, odkryto znacznie więcej regularności matematycznych w naturze, w tym model standardowy fizyki cząstek elementarnych.

Drugim argumentem popierającym założenie 1 jest to, że abstrakcyjna matematyka jest tak ogólna, że każda TOE, którą można zdefiniować w czysto formalnych kategoriach (niezależnie od niejasnej ludzkiej terminologii), jest również strukturą matematyczną. Na przykład TOE obejmująca zbiór różnych typów jednostek (oznaczonych słowami, powiedzmy) i relacje między nimi (oznaczone dodatkowymi słowami) jest niczym innym jak tym, co matematycy nazywają modelem teoriomnogościowym, i na ogół można znaleźć system formalny, którego jest modelem.

Argument ten sprawia również, że założenie 2 jest bardziej atrakcyjne, ponieważ implikuje, że każda możliwa teoria równoległych wszechświatów może być opisana na poziomie IV. Multiwersum poziomu IV, nazwane “Teorią Zespołu ostatecznego” w Tegmark (1997), ponieważ obejmuje wszystkie inne zespoły, dlatego domyka hierarchię multiwersów i nie może istnieć, powiedzmy, poziom V. Rozważanie zespołu struktur matematycznych nie dodaje nic nowego, ponieważ to nadal jest tylko kolejna struktura matematyczna. A co z często omawianym poglądem, że wszechświat jest symulacją komputerową? Pomysł ten pojawia się często w science fiction i został znacznie rozwinięty (np. Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). Zawartość informacyjna (stan pamięci) komputera cyfrowego to ciąg bitów, powiedzmy “1001011100111001...” o dużej, ale skończonej długości, równoważny pewnej dużej, ale skończonej liczbie całkowitej n zapisanej w systemie binarnym. Przetwarzanie informacji przez komputer to deterministyczna reguła zmiany każdego stanu pamięci na inny (stosowana wielokrotnie), więc matematycznie jest to po prostu funkcja f odwzorowująca liczby całkowite na siebie, która jest iterowana: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Innymi słowy, nawet najbardziej wyrafinowana symulacja komputerowa jest po prostu kolejnym szczególnym przypadkiem struktury matematycznej i jest już zawarta w multiwersum poziomu IV. (Nawiasem mówiąc, iterowanie funkcji ciągłych, a nie o wartościach całkowitych, może prowadzić do fraktali.)

Kolejną atrakcyjną cechą założenia 2 jest to, że zapewnia ono jedyną jak dotąd odpowiedź na pytanie Wheelera: Dlaczego te konkretne równania, a nie inne? Posiadanie wszechświatów tańczących do melodii wszystkich możliwych równań rozwiązuje również problem precyzyjnego dostrojenia z sekcji II C raz na zawsze, nawet na poziomie równań fundamentalnych: chociaż wiele, jeśli nie większość struktur matematycznych, prawdopodobnie jest martwych i pozbawionych SAS, nie zapewniając złożoności, stabilności i przewidywalności, których wymagają SAS, oczywiście oczekujemy, że ze 100% prawdopodobieństwem stwierdzimy, że zamieszkujemy strukturę matematyczną zdolną do podtrzymywania życia. Z powodu tego efektu selekcji odpowiedź na pytanie “co tchnie ogień w równania i tworzy wszechświat, który mają opisywać?” (Hawking 1993) brzmiałaby wówczas “ty, SAS”.

Sposób, w jaki używamy, testujemy i potencjalnie wykluczamy jakąkolwiek teorię, polega na obliczaniu rozkładów prawdopodobieństwa dla naszych przyszłych spostrzeżeń, biorąc pod uwagę nasze przeszłe spostrzeżenia, i porównywaniu tych przewidywań z naszym obserwowanym wynikiem. W teorii multiwersum zazwyczaj istnieje więcej niż jeden SAS, który doświadczył przeszłego życia identycznego z twoim, więc nie ma możliwości ustalenia, który z nich jesteś ty. Aby dokonywać przewidywań, musisz zatem obliczyć, jakie ułamki z nich będą postrzegać co w przyszłości, co prowadzi do następujących przewidywań:

• Przewidywanie 1: Struktura matematyczna opisująca nasz świat jest najbardziej ogólną, która jest zgodna z naszymi obserwacjami.
• Przewidywanie 2: Nasze przyszłe obserwacje są najbardziej ogólnymi, które są zgodne z naszymi przeszłymi obserwacjami.
• Przewidywanie 3: Nasze przeszłe obserwacje są najbardziej ogólnymi, które są zgodne z naszym istnieniem.

Wrócimy do problemu, co oznacza “ogólny” w secMeasureSec (problem miary). Jednak jedną z uderzających cech struktur matematycznych, omówioną szczegółowo w Tegmark (1997), jest to, że rodzaj symetrii i właściwości niezmienniczości, które są odpowiedzialne za prostotę i uporządkowanie naszego wszechświata, zwykle są ogólne, bardziej regułą niż wyjątkiem — struktury matematyczne zwykle mają je domyślnie i skomplikowane dodatkowe aksjomaty itp. należy dodać, aby je usunąć. Innymi słowy, zarówno z powodu tego, jak i efektów selekcji, niekoniecznie powinniśmy oczekiwać, że życie w multiwersum poziomu IV będzie nieuporządkowanym bałaganem.