Multiverso Nível IV: Estruturas Matemáticas e Realidade Física

Suponha que você adote o paradigma platônico e acredite que realmente existe uma TOE no topo da Figura 7 — e que simplesmente ainda não encontramos as equações corretas. Então, uma questão embaraçosa permanece, como enfatizado por John Archibald Wheeler: Por que essas equações particulares, e não outras? Vamos agora explorar a ideia de democracia matemática, em que universos governados por outras equações são igualmente reais. Este é o multiverso de Nível IV. Primeiro, precisamos digerir duas outras ideias, no entanto: o conceito de uma estrutura matemática e a noção de que o mundo físico pode ser uma delas.

Muitos de nós pensamos na matemática como um saco de truques que aprendemos na escola para manipular números. No entanto, a maioria dos matemáticos tem uma visão muito diferente de seu campo. Eles estudam objetos mais abstratos, como funções, conjuntos, espaços e operadores, e tentam provar teoremas sobre as relações entre eles. De fato, alguns artigos de matemática moderna são tão abstratos que os únicos números que você encontrará neles são os números das páginas! O que um dodecaedro tem em comum com um conjunto de números complexos? Apesar da pletora de estruturas matemáticas com nomes intimidantes como orbifolds e campos de Killing, uma unidade subjacente impressionante que emergiu no último século: todas as estruturas matemáticas são apenas casos especiais de uma e a mesma coisa: os chamados sistemas formais. Um sistema formal consiste em símbolos abstratos e regras para manipulá-los, especificando como novas sequências de símbolos referidos como teoremas podem ser derivados de outros dados referidos como axiomas. Este desenvolvimento histórico representou uma forma de desconstrucionismo, pois removeu todo o significado e interpretação que tradicionalmente eram dados às estruturas matemáticas e destilou apenas as relações abstratas que capturam sua própria essência. Como resultado, os computadores agora podem provar teoremas sobre geometria sem ter qualquer intuição física sobre como é o espaço.

A Figura 8 mostra algumas das estruturas matemáticas mais básicas e suas inter-relações. Embora esta árvore genealógica provavelmente se estenda indefinidamente, ela ilustra que não há nada de impreciso sobre as estruturas matemáticas. Elas estão “lá fora” no sentido de que os matemáticos as descobrem em vez de criá-las, e que civilizações alienígenas contemplativas encontrariam as mesmas estruturas (um teorema é verdadeiro independentemente de ser provado por um humano, um computador ou um alienígena).

Vamos agora digerir a ideia de que o mundo físico (especificamente, o multiverso de Nível III) é uma estrutura matemática. Embora tradicionalmente tomada como certa por muitos físicos teóricos, esta é uma noção profunda e de longo alcance. Significa que as equações matemáticas descrevem não apenas alguns aspectos limitados do mundo físico, mas todos os aspectos dele. Significa que existe alguma estrutura matemática que é o que os matemáticos chamam de isomórfica (e, portanto, equivalente) ao nosso mundo físico, com cada entidade física tendo uma contraparte única na estrutura matemática e vice-versa. Vamos considerar alguns exemplos.

Um século atrás, quando a física clássica ainda reinava suprema, muitos cientistas acreditavam que o espaço físico era isomórfico à estrutura matemática conhecida como R3: espaço euclidiano tridimensional. Além disso, alguns pensavam que todas as formas de matéria no universo correspondiam a vários campos clássicos: o campo elétrico, o campo magnético e talvez alguns não descobertos, correspondendo matematicamente a funções em R3 (um punhado de números em cada ponto no espaço). Nesta visão (posteriormente comprovada incorreta), aglomerados densos de matéria como átomos eram simplesmente regiões no espaço onde alguns campos eram fortes (onde alguns números eram grandes). Esses campos evoluíram deterministicamente ao longo do tempo de acordo com algumas equações diferenciais parciais, e os observadores perceberam isso como coisas se movendo e eventos acontecendo. Poderiam, então, campos no espaço tridimensional ser a estrutura matemática correspondente ao universo? Não, pois uma estrutura matemática não pode mudar — é uma entidade abstrata e imutável que existe fora do espaço e do tempo. Nossa perspectiva familiar de sapo de um espaço tridimensional onde os eventos se desenrolam é equivalente, da perspectiva do pássaro, a um espaço-tempo quadridimensional onde toda a história está contida, então a estrutura matemática seriam campos no espaço quadridimensional. Em outras palavras, se a história fosse um filme, a estrutura matemática não corresponderia a um único quadro dele, mas a toda a fita de vídeo.

Dada uma estrutura matemática, diremos que ela tem existência física se qualquer subestrutura autoconsciente (SAS) dentro dela, subjetivamente, de sua perspectiva de sapo, se percebe como vivendo em um mundo fisicamente real. Como seria, matematicamente, tal SAS? No exemplo da física clássica acima, uma SAS como você seria um tubo através do espaço-tempo, uma versão grossa do que Einstein chamou de linha de mundo. A localização do tubo especificaria sua posição no espaço em diferentes momentos. Dentro do tubo, os campos exibiriam certos comportamentos complexos, correspondendo ao armazenamento e processamento de informações sobre os valores dos campos nos arredores, e em cada posição ao longo do tubo, esses processos dariam origem à sensação familiar, mas misteriosa, de autoconsciência. De sua perspectiva de sapo, a SAS perceberia esta sequência unidimensional de percepções ao longo do tubo como passagem do tempo.

Embora nosso exemplo ilustre a ideia de como nosso mundo físico pode ser uma estrutura matemática, esta estrutura matemática particular (campos no espaço quadridimensional) agora é conhecida por estar errada. Depois de perceber que o espaço-tempo poderia ser curvo, Einstein procurou obstinadamente uma chamada teoria do campo unificado onde o universo era o que os matemáticos chamam de variedade pseudo-Riemanniana 3+1-dimensional com campos tensores, mas isso não conseguiu explicar o comportamento observado dos átomos. De acordo com a teoria quântica de campos, a síntese moderna da teoria da relatividade especial e da teoria quântica, o universo (neste caso, o multiverso de Nível III) é uma estrutura matemática conhecida como álgebra de campos com valores de operadores. Aqui a questão do que constitui uma SAS é mais sutil (Tegmark 2000). No entanto, isso não descreve a evaporação de buracos negros, a primeira instância do Big Bang e outros fenômenos de gravidade quântica, então a verdadeira estrutura matemática isomórfica ao nosso universo, se existir, ainda não foi encontrada.

Agora suponha que nosso mundo físico seja realmente uma estrutura matemática, e que você seja uma SAS dentro dela. Isso significa que na árvore da Matemática da Figura 8, uma das caixas é o nosso universo. (A árvore completa é provavelmente infinita em extensão, então nossa caixa particular não é uma das poucas caixas da parte inferior da árvore que são mostradas.)

Em outras palavras, esta estrutura matemática particular goza não apenas de existência matemática, mas também de existência física. E quanto a todas as outras caixas na árvore? Elas também desfrutam de existência física? Se não, haveria uma assimetria ontológica fundamental e inexplicável construída no próprio coração da realidade, dividindo as estruturas matemáticas em duas classes: aquelas com e sem existência física. Como uma saída para este enigma filosófico, eu sugeri (Tegmark 1998) que a democracia matemática completa se mantém: que a existência matemática e a existência física são equivalentes, de modo que todas as estruturas matemáticas também existem fisicamente. Este é o multiverso de Nível IV. Ele pode ser visto como uma forma de platonismo radical, afirmando que as estruturas matemáticas no reino das ideias de Platão, o Mindscape de Rucker (1982), existem “lá fora” em um sentido físico (Davies 1993), lançando a chamada teoria do realismo modal de David Lewis (1986) em termos matemáticos semelhantes ao que Barrow (1991; 1992) se refere como “π no céu”. Se esta teoria estiver correta, então, como ela não tem parâmetros livres, todas as propriedades de todos os universos paralelos (incluindo as percepções subjetivas das SASs neles) poderiam, em princípio, ser derivadas por um matemático infinitamente inteligente.

Descrevemos os quatro níveis de universos paralelos em ordem crescente de especulatividade, então por que deveríamos acreditar no Nível IV? Logicamente, ele se baseia em duas suposições separadas:

• Suposição 1: Que o mundo físico (especificamente nosso multiverso de nível III) é uma estrutura matemática
• Suposição 2: Democracia matemática: que todas as estruturas matemáticas existem “lá fora” no mesmo sentido

Em um famoso ensaio, Wigner (1967) argumentou que “a enorme utilidade da matemática nas ciências naturais é algo que beira o misterioso”, e que “não há explicação racional para isso”. Este argumento pode ser tomado como suporte para a suposição 1: aqui a utilidade da matemática para descrever o mundo físico é uma consequência natural do fato de que o último é uma estrutura matemática, e estamos simplesmente descobrindo isso pouco a pouco. As várias aproximações que constituem nossas teorias físicas atuais são bem-sucedidas porque estruturas matemáticas simples podem fornecer boas aproximações de como uma SAS perceberá estruturas matemáticas mais complexas. Em outras palavras, nossas teorias bem-sucedidas não são matemática aproximando a física, mas matemática aproximando a matemática. É improvável que a observação de Wigner seja baseada em coincidências fortuitas, já que muito mais regularidade matemática na natureza foi descoberta nas décadas desde que ele a fez, incluindo o modelo padrão da física de partículas.

Um segundo argumento que apoia a suposição 1 é que a matemática abstrata é tão geral que qualquer TOE que seja definível em termos puramente formais (independentemente da terminologia humana vaga) também é uma estrutura matemática. Por exemplo, uma TOE envolvendo um conjunto de diferentes tipos de entidades (denotadas por palavras, digamos) e relações entre elas (denotadas por palavras adicionais) nada mais é do que o que os matemáticos chamam de modelo teórico de conjuntos, e pode-se geralmente encontrar um sistema formal do qual é um modelo.

Este argumento também torna a suposição 2 mais atraente, pois implica que qualquer teoria de universo paralelo concebível pode ser descrita no Nível IV. O multiverso de Nível IV, denominado “a teoria do Conjunto final” em Tegmark (1997), pois subsume todos os outros conjuntos, portanto, traz um fechamento à hierarquia de multiversos, e não pode haver, digamos, um Nível V. Considerar um conjunto de estruturas matemáticas não adiciona nada de novo, pois ainda é apenas mais uma estrutura matemática. E quanto à noção frequentemente discutida de que o universo é uma simulação de computador? Esta ideia ocorre frequentemente na ficção científica e foi substancialmente elaborada (por exemplo, Schmidthuber 1997; Wolfram 2002). O conteúdo de informação (estado de memória) de um computador digital é uma sequência de bits, digamos “1001011100111001...” de grande, mas finito comprimento, equivalente a algum inteiro n grande, mas finito, escrito em binário. O processamento de informações de um computador é uma regra determinística para mudar cada estado de memória em outro (aplicado repetidamente), então, matematicamente, é simplesmente uma função f mapeando os inteiros sobre si mesmos que é iterada: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Em outras palavras, mesmo a simulação de computador mais sofisticada é apenas mais um caso especial de uma estrutura matemática, e já está incluída no multiverso de Nível IV. (Incidentalmente, iterar funções contínuas em vez de funções com valores inteiros pode dar origem a fractais.)

Outra característica atraente da suposição 2 é que ela fornece a única resposta até agora para a pergunta de Wheeler: Por que essas equações particulares, e não outras? Ter universos dançando ao som de todas as equações possíveis também resolve o problema do ajuste fino da Seção II C de uma vez por todas, mesmo no nível da equação fundamental: embora muitas, senão a maioria, das estruturas matemáticas provavelmente estejam mortas e desprovidas de SASs, falhando em fornecer a complexidade, estabilidade e previsibilidade que as SASs exigem, é claro que esperamos encontrar com 100% de probabilidade que habitamos uma estrutura matemática capaz de suportar a vida. Por causa desse efeito de seleção, a resposta à pergunta “o que é que sopra fogo nas equações e faz um universo para elas descreverem?” (Hawking 1993) seria então “você, a SAS”.

A maneira como usamos, testamos e potencialmente descartamos qualquer teoria é calcular distribuições de probabilidade para nossas percepções futuras, dadas nossas percepções passadas, e comparar essas previsões com nosso resultado observado. Em uma teoria do multiverso, normalmente há mais de uma SAS que experimentou uma vida passada idêntica à sua, então não há como determinar qual é você. Para fazer previsões, você, portanto, tem que calcular quais frações deles perceberão o que no futuro, o que leva às seguintes previsões:

• Previsão 1: A estrutura matemática que descreve nosso mundo é a mais genérica que é consistente com nossas observações.
• Previsão 2: Nossas observações futuras são as mais genéricas que são consistentes com nossas observações passadas.
• Previsão 3: Nossas observações passadas são as mais genéricas que são consistentes com nossa existência.

Retornaremos ao problema do que “genérico” significa em secMeasureSec (o problema da medida). No entanto, uma característica marcante das estruturas matemáticas, discutida em detalhes em Tegmark (1997), é que o tipo de simetria e propriedades de invariância que são responsáveis pela simplicidade e organização de nosso universo tendem a ser genéricas, mais a regra do que a exceção — as estruturas matemáticas tendem a tê-las por padrão, e axiomas adicionais complicados etc. devem ser adicionados para fazê-los desaparecer. Em outras palavras, por causa disso e dos efeitos de seleção, não devemos necessariamente esperar que a vida no multiverso de Nível IV seja uma bagunça desordenada.