Рівень IV Мультисвіту: Інші Математичні Структури та Фізична Реальність

Припустімо, ви приймаєте платоністську парадигму і вірите, що насправді існує TOE на вершині рисунку 7 — і що ми просто ще не знайшли правильних рівнянь. Тоді залишається незручне питання, як підкреслював Джон Арчибальд Вілер: чому саме ці рівняння, а не інші? Давайте тепер дослідимо ідею математичної демократії, згідно з якою всесвіти, керовані іншими рівняннями, є однаково реальними. Це рівень IV мультивсесвіту. Спочатку нам потрібно переварити дві інші ідеї, однак: концепцію математичної структури та уявлення про те, що фізичний світ може бути одним.

Багато хто з нас думає про математику як про набір трюків, яких ми навчилися в школі для маніпулювання числами. Але більшість математиків мають зовсім інший погляд на свою галузь. Вони вивчають більш абстрактні об’єкти, такі як функції, множини, простори та оператори, і намагаються довести теореми про відношення між ними. Дійсно, деякі сучасні математичні роботи настільки абстрактні, що єдині числа, які ви в них знайдете, — це номери сторінок! Що спільного має додекаедр із множиною комплексних чисел? Незважаючи на велику кількість математичних структур із лякаючими назвами, такими як орбіфолди та кілінгові поля, у минулому столітті виникла вражаюча основна єдність: усі математичні структури є лише окремими випадками одного й того самого: так званих формальних систем. Формальна система складається з абстрактних символів і правил для маніпулювання ними, що визначають, як нові рядки символів, які називаються теоремами, можуть бути виведені з заданих, які називаються аксіомами. Цей історичний розвиток являв собою форму деконструкціонізму, оскільки він відкинув усе значення та інтерпретацію, які традиційно надавалися математичним структурам, і виділив лише абстрактні відношення, що відображають їхню сутність. Як наслідок, комп’ютери тепер можуть доводити теореми про геометрію, не маючи жодної фізичної інтуїції щодо того, як виглядає простір.

На рисунку 8 показано деякі з найпростіших математичних структур та їх взаємозв’язки. Хоча це родинне дерево, ймовірно, тягнеться нескінченно, воно ілюструє, що в математичних структурах немає нічого розмитого. Вони є «там» в тому сенсі, що математики їх відкривають, а не створюють, і що споглядальні інопланетні цивілізації знайдуть ті самі структури (теорема є істинною незалежно від того, чи її доведено людиною, комп’ютером чи інопланетянином).

Давайте тепер переваримо ідею, що фізичний світ (зокрема, рівень III мультивсесвіту) є математичною структурою. Хоча традиційно це сприймається як належне багатьма теоретичними фізиками, це глибоке і далекосяжне поняття. Це означає, що математичні рівняння описують не лише деякі обмежені аспекти фізичного світу, а й усі його аспекти. Це означає, що існує деяка математична структура, яка є тим, що математики називають ізоморфною (і, отже, еквівалентною) нашому фізичному світу, де кожній фізичній сутності відповідає унікальний аналог у математичній структурі і навпаки. Розглянемо кілька прикладів.

Століття тому, коли класична фізика ще панувала, багато вчених вважали, що фізичний простір ізоморфний математичній структурі, відомій як R3: тривимірний евклідів простір. Більше того, деякі вважали, що всі форми матерії у всесвіті відповідають різним класичним полям: електричному полю, магнітному полю і, можливо, кільком невідкритим, математично відповідним функціям на R3 (жменька чисел у кожній точці простору). Згідно з цим поглядом (пізніше доведеним як неправильний), щільні згустки матерії, такі як атоми, були просто областями в просторі, де деякі поля були сильними (де деякі числа були великими). Ці поля детерміновано еволюціонували з часом відповідно до деяких диференціальних рівнянь з частинними похідними, і спостерігачі сприймали це як пересування речей і відбування подій. Чи можуть тоді поля в тривимірному просторі бути математичною структурою, що відповідає всесвіту? Ні, оскільки математична структура не може змінюватися — це абстрактна, незмінна сутність, що існує поза простором і часом. Наша знайома жаб’яча перспектива тривимірного простору, де відбуваються події, еквівалентна, з пташиної перспективи, чотиривимірному простору-часу, де міститься вся історія, тому математичною структурою будуть поля в чотиривимірному просторі. Іншими словами, якби історія була фільмом, математична структура відповідала б не одному її кадру, а всій відеокасеті.

Враховуючи математичну структуру, ми скажемо, що вона має фізичне існування, якщо будь-яка самоусвідомлена підструктура (СУП) всередині неї суб’єктивно, з її жаб’ячої перспективи, сприймає себе як живу в фізично реальному світі. Якою б, математично, була така СУП? У наведеному вище прикладі класичної фізики СУП, така як ви, була б трубою через простір-час, товстою версією того, що Ейнштейн називав світовою лінією. Розташування труби визначало б ваше положення в просторі в різний час. Усередині труби поля демонстрували б певну складну поведінку, що відповідає зберіганню та обробці інформації про значення поля в навколишньому середовищі, і в кожній позиції вздовж труби ці процеси породжували б знайоме, але таємниче відчуття самоусвідомлення. З її жаб’ячої перспективи СУП сприймала б цей одновимірний рядок сприйняття вздовж труби як перебіг часу.

Хоча наш приклад ілюструє ідею того, як наш фізичний світ може бути математичною структурою, ця конкретна математична структура (поля в чотиривимірному просторі), як зараз відомо, є неправильною. Усвідомивши, що простір-час може бути викривленим, Ейнштейн наполегливо шукав так звану єдину теорію поля, де всесвіт був тим, що математики називають 3+1-вимірним псевдорімановим многовидом із тензорними полями, але це не змогло пояснити спостережувану поведінку атомів. Згідно з квантовою теорією поля, сучасним синтезом спеціальної теорії відносності та квантової теорії, всесвіт (у цьому випадку рівень III мультивсесвіту) є математичною структурою, відомою як алгебра операторнозначних полів. Тут питання про те, що становить СУП, є більш тонким (Теґмарк 2000). Однак це не описує випаровування чорної діри, перший випадок Великого вибуху та інші явища квантової гравітації, тому справжня математична структура, ізоморфна нашому всесвіту, якщо вона існує, ще не знайдена.

Тепер припустімо, що наш фізичний світ дійсно є математичною структурою, і що ви є СУП у ній. Це означає, що в дереві математики на рисунку 8 одна з коробок — це наш всесвіт. (Повне дерево, ймовірно, є нескінченним за розміром, тому наша конкретна коробка не є однією з небагатьох коробок з нижньої частини дерева, які показані.)

Іншими словами, ця конкретна математична структура має не лише математичне існування, але й фізичне існування. А як щодо всіх інших коробок у дереві? Чи мають вони також фізичне існування? Якщо ні, то в саме серце реальності буде вбудована фундаментальна, необґрунтована онтологічна асиметрія, яка розділить математичні структури на два класи: ті, що мають і не мають фізичного існування. Як вихід із цієї філософської головоломки, я запропонував (Теґмарк 1998), що повна математична демократія має місце: що математичне існування та фізичне існування є еквівалентними, так що всі математичні структури існують фізично. Це рівень IV мультивсесвіту. Його можна розглядати як форму радикального платонізму, стверджуючи, що математичні структури в царстві ідей Платона, Mindscape Ракера (1982), існують «там» у фізичному сенсі (Девіс 1993), представляючи так звану теорію модального реалізму Девіда Льюїса (1986) в математичних термінах, подібних до того, що Барроу (1991; 1992) називає «π у небі». Якщо ця теорія правильна, то, оскільки вона не має вільних параметрів, усі властивості всіх паралельних всесвітів (включно з суб’єктивними відчуттями СУП у них) в принципі можуть бути виведені нескінченно розумним математиком.

Ми описали чотири рівні паралельних всесвітів у порядку зростання спекулятивності, то чому ми повинні вірити в рівень IV? Логічно це ґрунтується на двох окремих припущеннях:

• Припущення 1: Що фізичний світ (зокрема, наш рівень III мультивсесвіту) є математичною структурою
• Припущення 2: Математична демократія: що всі математичні структури існують «там» в тому ж сенсі

У відомому есе Вігнер (1967) стверджував, що «надзвичайна корисність математики в природничих науках є чимось, що межує з таємничим», і що «для цього немає раціонального пояснення». Цей аргумент можна розглядати як підтримку припущення 1: тут корисність математики для опису фізичного світу є природним наслідком того факту, що останній є математичною структурою, і ми просто розкриваємо це потроху. Різні наближення, які становлять наші сучасні фізичні теорії, є успішними, оскільки прості математичні структури можуть забезпечити хороші наближення того, як СУП сприйматиме більш складні математичні структури. Іншими словами, наші успішні теорії — це не математика, що наближає фізику, а математика, що наближає математику. Малоймовірно, що спостереження Вігнера ґрунтується на випадкових збігах, оскільки за десятиліття після того, як він зробив його, було виявлено набагато більше математичної закономірності в природі, включаючи стандартну модель фізики елементарних частинок.

Другий аргумент на підтримку припущення 1 полягає в тому, що абстрактна математика настільки загальна, що будь-яка TOE, яка визначається в чисто формальних термінах (незалежно від нечіткої людської термінології), також є математичною структурою. Наприклад, TOE, що включає набір різних типів сутностей (позначених словами, скажімо) і відношень між ними (позначених додатковими словами), є нічим іншим, як тим, що математики називають теоретико-множинною моделлю, і зазвичай можна знайти формальну систему, моделлю якої вона є.

Цей аргумент також робить припущення 2 більш привабливим, оскільки він передбачає, що будь-яку мислиму теорію паралельного всесвіту можна описати на рівні IV. Мультивсесвіт рівня IV, названий «найвищою ансамблевою теорією» в Теґмарк (1997), оскільки він включає всі інші ансамблі, таким чином завершує ієрархію мультивсесвітів, і не може бути, скажімо, рівня V. Розгляд ансамблю математичних структур нічого нового не додає, оскільки це все ще лише інша математична структура. А як щодо часто обговорюваного уявлення про те, що всесвіт є комп’ютерною симуляцією? Ця ідея часто зустрічається в науковій фантастиці і була суттєво розроблена (наприклад, Шмідтхубер 1997; Вольфрам 2002). Інформаційний вміст (стан пам’яті) цифрового комп’ютера — це рядок бітів, скажімо, «1001011100111001...» великої, але кінцевої довжини, еквівалентний деякому великому, але кінцевому цілому числу n, записаному в двійковій системі. Обробка інформації комп’ютером — це детерміноване правило для зміни кожного стану пам’яті на інший (застосовується знову і знову), тому математично це просто функція f, яка відображає цілі числа на себе, яка ітерується: n 7→ f (n) 7→ f (f (n)) 7→ .... Іншими словами, навіть найскладніша комп’ютерна симуляція — це лише ще один окремий випадок математичної структури, і вона вже включена до мультивсесвіту рівня IV. (Між іншим, ітерація неперервних функцій, а не цілочисельних, може призвести до фракталів.)

Ще однією привабливою особливістю припущення 2 є те, що воно дає єдину поки що відповідь на запитання Вілера: чому саме ці рівняння, а не інші? Наявність всесвітів, які танцюють під мелодію всіх можливих рівнянь, також вирішує проблему тонкого налаштування з розділу II C раз і назавжди, навіть на рівні фундаментальних рівнянь: хоча багато, якщо не більшість, математичних структур, ймовірно, мертві та позбавлені СУП, не забезпечуючи складності, стабільності та передбачуваності, які потрібні СУП, ми, звичайно, очікуємо з 100% ймовірністю виявити, що ми населяємо математичну структуру, здатну підтримувати життя. Через цей ефект вибірки відповіддю на запитання «що вдихає вогонь у рівняння і створює всесвіт для їх опису?» (Гокінг 1993) буде «ти, СУП».

Спосіб, яким ми використовуємо, перевіряємо та потенційно відкидаємо будь-яку теорію, — це обчислення розподілів ймовірностей для наших майбутніх відчуттів, враховуючи наші минулі відчуття, і порівняння цих прогнозів з нашим спостережуваним результатом. У теорії мультивсесвіту, як правило, існує більше однієї СУП, яка пережила минуле життя, ідентичне вашому, тому неможливо визначити, яка з них є вами. Щоб зробити прогнози, ви повинні обчислити, які частки з них будуть сприймати що в майбутньому, що призводить до таких прогнозів:

• Прогноз 1: Математична структура, що описує наш світ, є найбільш загальною, яка узгоджується з нашими спостереженнями.
• Прогноз 2: Наші майбутні спостереження є найбільш загальними, які узгоджуються з нашими минулими спостереженнями.
• Прогноз 3: Наші минулі спостереження є найбільш загальними, які узгоджуються з нашим існуванням.

Ми повернемося до проблеми того, що означає «загальний» у розділі MeasureSec (проблема міри). Однак однією з вражаючих особливостей математичних структур, детально розглянутих у Теґмарк (1997), є те, що ті властивості симетрії та інваріантності, які відповідають за простоту та впорядкованість нашого всесвіту, як правило, є загальними, скоріше правилом, ніж винятком — математичні структури, як правило, мають їх за замовчуванням, і потрібно додати складні додаткові аксіоми тощо, щоб вони зникли. Іншими словами, через це і через ефекти вибірки ми не обов’язково повинні очікувати, що життя в мультивсесвіті рівня IV буде безладним.