Grundlegende Fragen in Mathematik und Geometrie

Dieser Artikel erscheint aus mehreren Gründen, der wichtigste sind methodische Fragen. Weit verbreitete Unklarheiten in den Erklärungsansätzen – in vielen Tutorials und Lehrmaterialien reproduziert – schaffen erhebliche Lücken im Wissensstand der Schüler, was wiederum eine Kette von Konsequenzen im Zusammenhang mit dem dargestellten Problem nach sich zieht.

Bestehende methodische Ansätze

Wie üblich. Um unsere Diskussion zu beginnen, können wir eine Reihe von Fakten betrachten, von denen aus der Weg zum Anfang seinen Platz findet.

Gemeinsame Ansätze

Nehmen wir als Beispiele offizielle Lehrpläne und Empfehlungen von drei englischsprachigen Ländern: Vereinigte Staaten, Vereinigtes Königreich und Australien.

Die Vereinigten Staaten werden durch Study.com vertreten, mit Lektionen, die den Bildungsstandards der USA entsprechen und klare Erklärungen für verschiedene Klassenstufen bieten: Kreisdefinition für Kinder: Erklärt, dass ein Kreis eine Form aus einer gekrümmten Linie ist, bei der alle Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Kreisgeometrie: Beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Kreisen, einschließlich Definitionen und Beispielen für Bögen, Sektoren und andere verwandte Konzepte.

Australien – Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI). AMSI bietet detaillierte Lehrermodule, die mit dem australischen Lehrplan übereinstimmen, und bietet umfassende Erklärungen zur Kreisgeometrie: Kreisgeometrie-Modul: Definiert einen Kreis als die Menge aller Punkte in einer Ebene, die einen festen Abstand (den Radius) von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) haben. Es behandelt auch verwandte Konzepte wie Radius, Durchmesser, Sehne, Sekante und Symmetrie.

Und zum Dessert wird unser geliebtes Albion durch den UK National Curriculum for Mathematics vertreten, der einen strukturierten Ansatz zum Lehren von Geometrie bietet, einschließlich der Eigenschaften von Kreisen: Key Stage 1 & 2: Schüler sollen gängige 2D-Formen erkennen und benennen, einschließlich Kreise, und deren Eigenschaften verstehen. Key Stage 3: Schüler sollten in der Lage sein, Kreisdefinitionen und -eigenschaften zu identifizieren und anzuwenden, einschließlich Mittelpunkt, Radius, Sehne, Durchmesser, Umfang, Tangente, Bogen, Sektor und Segment.

In allen aufgeführten Ansätzen lässt sich eine Reihenfolge beobachten, in der die Materialien präsentiert werden: Der Kreis, als geometrisches Objekt, wird nach grundlegenden Geometriekonzepten wie Linien, Winkeln und Polygonen eingeführt, insbesondere auf der Sekundarstufe. In diesen Lehrplänen wird der Kreis nicht nur als Figur behandelt, sondern als fundamentales ideales geometrisches Objekt, das einen grundlegenden Bezugspunkt für mathematische Abstraktion und Argumentation bildet. Lassen Sie uns von der neuesten Aussage einen Schritt zurücktreten und uns in die Rolle des Schülers versetzen. Das Thema ist ein Winkel, und der Lehrer versucht, die Hauptmerkmale des Winkels zu erklären, einschließlich Grad, Seiten und aller weiteren Unterteilungen. Wo erscheint der Schnittpunkt der Linien im Raum? Was ist Raum? All diese und viele weitere Fragen entstehen in einem unvorbereiteten Geist und schaffen ein Durcheinander von Unklarheiten. Schließlich werden aus Erfahrung nur wenige Klassenkameraden mit diesem Chaos fertig und überwinden die Unordnung der ungeordneten Bilder. Und wo liegt der Punkt, an dem alles seinen richtigen Platz auf respektvollen Regalen finden kann?

Lassen Sie mich Sie nun zurück zu den allgemein empfohlenen Fähigkeiten führen, mit denen ein Schüler vor dem Unterricht über grundlegende geometrische Figuren ausgestattet sein sollte.

Basierend auf den genannten Lehrplanansätzen habe ich die Fähigkeiten zusammengefasst, mit denen ein Schüler vertraut sein sollte:

Zahlen- und Rechenfähigkeiten

Zählen und Zahlenerkennung: Zahlen erkennen, ordnen und Objekte korrekt zählen. Grundrechenarten: Addition, Subtraktion und einfache Konzepte von Multiplikation/Division. Brüche (Grundstufe): Verständnis von Hälften, Vierteln, einfacher Aufteilung von Formen und Mengen. Toleranz/Näherung: Erkennen, dass Messungen leichte Abweichungen haben können; einfaches Runden. Elementare Statistik: Einfache Diagramme lesen, Mengen vergleichen, ‚mehr/weniger‘ verstehen.

Messfähigkeiten

Länge, Gewicht und Volumen: Objekte mit nicht standardisierten und standardisierten Einheiten messen. Vergleiche: Länger/kürzer, schwerer/leichter, größer/kleiner. Zeit und Uhren (Grundstufe): Stunden, Minuten und Ereignisabfolgen verstehen.

Räumliches und geometrisches Bewusstsein

Formenerkennung (Vor-2D-Figuren): Kreise, Rechtecke, Quadrate in der Umgebung identifizieren. Räumliche Beziehungen: Konzepte wie oben/unten, innen/außen, neben, in der Nähe/fern. Orientierung und Bewegung: Drehungen, Rotationen, Symmetrie in einfacher Form verstehen. Elementare geometrische Toleranz: Annähernde Gleichheit von Längen/Winkeln in praktischen Aufgaben erkennen.

Muster-, Sortier- und logische Fähigkeiten

Mustererkennung: Sequenzen, Wiederholungen, wachsende Muster. Sortieren und Klassifizieren: Objekte nach Farbe, Größe oder Form gruppieren. Vergleiche und logisches Denken: ‚gleich/verschieden‘, ‚mehr/weniger‘ und grundlegende logische Zusammenhänge anwenden.

Vorbereitung auf Geometrie

Linien und Kurven: Nachzeichnen, zeichnen und gerade vs. gekrümmte Linien identifizieren. Punktverständnis: Punkte im Raum erkennen (Punkte, Schnittpunkte in einfachen Gittern). Grundlegende Winkel (informell): ‚Ecke‘, ‚Biegung‘, ‚Drehung‘ erkennen, bevor die formale Winkelmessung erfolgt. Einfaches Koordinatendenken: Raster, Reihen, Spalten und einfache Positionsbegriffe.

All diese Fähigkeiten sind erforderlich, um das geometrische Konzept weiterzuführen, und die zusammenfassende Übersicht betont Folgendes:

Bevor Schüler formell geometrische Figuren lernen:

Sie werden in Brüche, Toleranzen, elementare Statistik, Messungen, Musterbildung, räumliches Denken und logisches Denken eingeführt.

Diese Fähigkeiten bereiten sie darauf vor, Quadrate, Dreiecke und Winkel zu bearbeiten, ohne von Abstraktion überwältigt zu werden.

Scheint klar und vernünftig zu sein. Aber... Oh, immer und überall diese ‚OH...s‘!

Vom Dogma abweichen kann das Universum verändern!

Hier schlage ich vor, dass Sie sich einen umgekehrten Ansatz zur Präsentation des Materials vorstellen, und auf spielerische Weise werden wir versuchen, Schritt für Schritt durch den Lehrplan mit einer geänderten Reihenfolge der Fähigkeiten zu gehen, die der Schüler erlernen sollte.

Bestehendes Schema

Winkel:

Wie bisher kommt der Schüler mit unklaren Vorkenntnissen in die Grundlagen der Geometrie. Nehmen wir die Winkelmessung. Kinder wissen, dass es Ecken gibt, drei Hauptarten von Ecken, und ungefähr so: spitz (0°–90°), rechte (90°), stumpfe (90°–180°), gerade (180°), überstumpfe (180°–360°) und volle Drehung (360°). Aber… Was sind diese Zahlen und woher kommen die Grad?

Dreieck:

In der aktuellen Reihenfolge werden die Grundlagen des Dreiecks vorgestellt, bevor der Kreis den Horizont des Schülers erreicht, mit den wichtigsten dreiecksbezogenen Eigenschaften:

  1. Summe der Innenwinkel eines Dreiecks: Summe der Innenwinkel eines Dreiecks = 180°
  2. Satz des Außenwinkels: Außenwinkel = Summe der gegenüberliegenden Innenwinkel

Analyse des Wissens, das ein Schüler zum Thema Kreis mitbringt, und Überlegungen zur Darstellung abstrakter Objekte gegenüber dem physikalischen Sinn mathematischer Abstraktionen im Bewusstsein des Schülers.

Empirisches Verständnis der Denkweise des Schülers.

Stellen wir uns ein Experiment vor:

  1. Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck auf ein Blatt A1-Papier, wobei der rechte Winkel als Basisreferenz dient. Seite A sei 30 mm und Seite B 60 mm.
  2. Zeichnen Sie nun eine Linie parallel zur Diagonale des Dreiecks im Abstand von 500 mm.
  3. Konstruiere anschließend ein neues rechtwinkliges Dreieck unter Verwendung dieser neuen parallelen Linie zur Definition seiner Diagonale.
  4. Berechnen Sie basierend auf den Seitenmaßen alle Winkel des größeren Dreiecks neu.

Basierend auf den Ergebnissen dieser Berechnungen stellen wir in der Regel fest, dass die Zahlen die Toleranzen unserer Messwerkzeuge leicht überschreiten. Dieses Ergebnis kann im Vergleich zu den angegebenen Postulaten zu Verwirrung führen. Hier liegt der Punkt des Zweifels – und die Gelegenheit zur Reflexion. Nutzen wir diesen Moment auf die richtige Weise! Folgen Sie mir!

Ist das Spiel, das wir spielen, fair genug, um Zeit zu investieren?

Mit den Händen arbeiten, denken und Belohnungen erhalten

Lassen Sie uns eine andere Reihenfolge für die Präsentation des Materials an unsere Kinder ausprobieren. Winkel und Dreiecke zusammen mit Polygonen lassen wir vorerst beiseite.

Fürchten Sie sich nicht vor den Nadeln des Zirkels und zeichnen Sie den Kreis, das ist die einzige Aufgabe, mit der wir beginnen müssen, ach, vergessen! Zuerst markieren Sie den Punkt mit Stift oder Bleistift, setzen die Zirkelspitze auf den Punkt und zeichnen jetzt den Kreis!

Jetzt haben wir einen Kreis. Lassen Sie mich anmerken, dass der Schüler an diesem Punkt unbewusst beginnt, das Zentrum des Kreises zu verstehen, und wir sollten diesen Hinweis später nutzen, um den Nullpunkt der Koordinaten einzuführen. Vorläufig müssen wir dieses Verständnis stärken, indem wir den Schüler in der Rolle eines aktiven Entdeckers halten.

Also haben wir einen Kreis. Zeit, das Werkzeug zu wechseln: Nehmen Sie eine Linie (Lineal, was auch immer) und zeichnen Sie eine Linie genau durch den zentralen Punkt. Markieren Sie die Punkte, an denen die Linie den Kreis schneidet. Fertig? Hier tritt der Begriff Durchmesser ein! Vielleicht genug für heute? Und diesmal sind Sie absolut am richtigen Punkt!

Neue Lektion, neue Abenteuer, los geht’s! Diesmal sollte der Schüler die Operationen der vorherigen Lektion mit dem Zirkel selbst wiederholen und zeigen, dass das Material fest aus der Vorlektion erinnert wird. Jetzt machen wir praktische Messungen. Wir kennen den Durchmesser und das Zentrum des Kreises, und es ist Zeit, den Halb-Durchmesser zu verstehen. Hier stellt sich die Frage, liebe Kollegen: Wie können wir den Halb-Durchmesser des Durchmessers finden? Die Kinder sollten zu diesem Zeitpunkt in eine kollektive wissenschaftliche Diskussion eintreten; Ihre Rolle besteht nur darin, alle Klassenkameraden zur aktiven Teilnahme zu ermutigen. Schließlich könnte jemand bemerken, dass der Zirkel das Werkzeug ist, das bereits die richtige Antwort liefert! Großartig! Die nächste Aufgabe besteht darin, das Zentrum des Durchmessers mit diesem Werkzeug korrekt zu markieren. Sobald dieser Schritt abgeschlossen ist, besteht keine Notwendigkeit, die Kinder mit zusätzlichen Aufgaben zu überlasten. Es ist Zeit zu zeichnen und das gesamte Material, das mit Ihnen entdeckt wurde, zu festigen.

Mögen Sie zeichnen? Dann herzlich willkommen! Jetzt kennen wir den Durchmesser, und der Begriff Radius tritt hier ein. Basierend auf der fixierten Zirkelposition, die als Radius erkannt wurde, spielen wir mit diesem Zeichenwerkzeug (Hinweis: Wir werden spielerisch verstehen, was ein ideales Dreieck ist). Beginnen Sie mit dem Zeichnen von Kreisen: Setzen Sie die Zirkelspitze auf den Kreis und zeichnen Sie den ersten Kreis mit derselben Position und Zirkeldistanz wie der Basis-Kreis. Dann bewegen Sie die Zirkelspitze zur nächsten Schnittmarke auf dem Basis-Kreis und fahren so fort, bis wir zur Ausgangsposition zurückkehren. Wir haben sechs schöne Kreise um den Basis-Kreis. Wir zeichnen die Blume! Hurra! Jetzt ist es Zeit, Linien zu zeichnen. Nehmen Sie ein beliebiges Kreuz als Ausgangspunkt, überspringen Sie das nächste Kreuz und zeichnen Sie eine Linie vom gewählten Kreuz zum nächsten. Setzen Sie dies fort, wobei der Ausgangspunkt immer die Linie ist, die den Basis-Kreis schneidet. Ups, wir haben jetzt drei Linien, und diese bilden ein Dreieck. Jetzt ist Erklärungszeit. Hier können wir mehrere Konzepte einführen: Gleichheit und Ähnlichkeit. Um Ähnlichkeit zu demonstrieren, wiederholen Sie denselben Vorgang, erweitern jedoch die Zirkeleinstellungen, um den Winkel zu maximieren. Jetzt ist es Zeit, die Schere zu nehmen! Schneiden wir die Dreiecke aus und vergleichen alle resultierenden Ecken der Dreiecksformen. Alle Ecken sind gleich, aber die Figuren sind nicht identisch! Wir können darauf hinweisen, dass der Kreis einige Standardmaße namens Grad hat und die von uns erreichten Dreiecke ideale Dreiecke genannt werden, jede Ecke misst ungefähr 60 Grad.

Ups, wir kommen zu komplexen Aufgaben, aber der Weg wird nur von denen überwunden, die weitermachen, also… Zeit, das Konzept der Grad einzuführen. Während wir die Grade erklären, können wir auf die Geschichte der Standardisierung von Messungen eingehen und diskutieren, wo Meter, Fuß, Zoll, Zentimeter und Millimeter herkommen. Die Geschichte der Grade ist eher legendär als faktisch; wir können das Märchen erzählen und den häufig zitierten Bezug zu den babylonischen Ursprüngen der Maßeinheiten erklären, aber meiner Meinung nach müssen wir die Mehrdeutigkeit der Legende betonen.

Gut, Schritt für Schritt nähern wir uns den Flaschenexperimenten. Hey Piraten, wir kommen für eure Flaschen – zittert und fürchtet uns! Alle Schüler haben eine Flasche, und was ist mit den Schnüren? Tatsächlich brauchen wir Faden, Schere und eine Flasche (oder Glas), alle zylindrisch geformt. Jeder Schüler sollte eine einzelne Umdrehung des Fadens um die Flasche machen. Der Lehrer kommt dann zu jedem Schüler mit einem Cutter oder Rasiermesser und schneidet den Faden genau so, dass der Rest dem äußeren Kreis des Zylinders entspricht. Dann legen wir die Flasche auf das Papier und verwenden die Außenseite der Flasche als Vorlage, um den Kreis zu zeichnen. Jetzt haben wir einen Faden und einen Kreis. Zeit, den Durchmesser des Kreises zu definieren. Wir sollten einen Zirkel nehmen und ihn genau auf den Durchmesser des Kreises einstellen. Es werden zwei maximale gegenüberliegende Punkte vorhanden sein, und von diesen Punkten erstellen wir ein Dreieck und bauen das gegenüberliegende Spiegelbild des Dreiecks. Auf diese Weise finden wir das Zentrum des Kreises. Dies zeigt den Schülern, dass es viele Möglichkeiten gibt, die Position des Kreismittelpunkts zu bestimmen, was für den Kreis als geometrisches Objekt wesentlich ist. Weiter geht’s: Intuitiv ist klar, dass der von uns manipulierte Faden nahe an der Länge des äußeren Kreisumfangs liegt. Mit dem durch den Zirkel festgelegten Durchmesser berechnen wir, wie oft der Durchmesser in die Länge des Kreises passt. Hier ist ein standardmäßiges lineares Messwerkzeug erforderlich. Schließlich stellen wir fest, dass alle Schüler trotz Toleranzen zu sehr ähnlichen Ergebnissen gelangen! Daraus können wir schließen, dass das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang immer über die Länge des Kreises Auskunft gibt und umgekehrt. Darüber hinaus ist dieses Verhältnis eine Konstante – und das ist wunderbar! Ohne sich komplexen Aufgaben zu nähern, verstehen die Schüler bereits klar den Ursprung von π, seinen Hauptwert und seine physikalische Bedeutung.

Hier möchte ich Ihnen nur zeigen, liebe Kollegen, dass selbst eine dogmatische Reihenfolge des Materials überarbeitet werden kann, und diese Überarbeitung kann die Schüler zu einem komfortableren und effektiveren Lernprozess führen. Dieser Ansatz kann das Verständnis nachfolgender Inhalte erheblich beschleunigen. Natürlich präsentiere ich diesen Ansatz zur Diskussion, und solche Diskussionen sind immer willkommen.