Kognitivní učební procesy: Aplikace ve výuce

Propracované příklady, o kterých jsme se stručně zmínili dříve v našem kurzu, prezentují krok za krokem řešení problémů a často zahrnují doprovodné diagramy. Zobrazují model řešení problémů odborníka, který mají studenti studovat, než se jej začnou napodobovat.

Propracované příklady odrážejí Andersonovu teorii ACT-R (Lee & Anderson, 2001) a jsou zvláště vhodné pro komplexní formy učení, jako je algebra, fyzika a geometrie (Atkinson et al., 2000, 2003). Aplikací modelu začátečník–expert výzkumníci zjistili, že odborníci se typicky zaměřují na hlubší (strukturální) aspekty problémů a že začátečníci se častěji zabývají povrchovými rysy. Samotná praxe je méně efektivní při podpoře dovedností než praxe spojená s propracovanými příklady (Atkinson et al., 2000).

Zdá se, že propracované příklady jsou nejprospěšnější pro studenty v raných fázích získávání dovedností, na rozdíl od zkušených studentů, kteří dovednosti zdokonalují. Jejich použitelnost je jasně vidět ve čtyřfázovém modelu získávání dovedností v rámci ACT-R (Anderson, Fincham, & Douglass, 1997). V 1. fázi studenti používají analogie k propojení příkladů s problémy, které mají být vyřešeny. Ve 2. fázi vyvíjejí abstraktní deklarativní pravidla prostřednictvím praxe. Během 3. fáze se výkon stává rychlejším a plynulejším, protože se aspekty řešení problémů automatizují. Ve 4. fázi mají studenti v paměti mnoho typů problémů a mohou rychle vyvolat vhodnou strategii řešení, když se setkají s problémem. Použití propracovaných příkladů je nejvhodnější pro studenty v 1. a rané 2. fázi. V pozdějších fázích lidé těží z praxe k zdokonalení svých strategií, i když i v pokročilých fázích může být studium řešení odborníků užitečné.

Klíčovou instruktážní otázkou je, jak integrovat komponenty příkladu, jako je diagram, text a sluchové informace. Je nezbytné, aby propracovaný příklad nepřetěžoval pracovní paměť (WM) studenta, což může způsobit současné prezentování více zdrojů informací. Stull a Mayer (2007) zjistili, že poskytování grafických organizérů (podobných propracovaným příkladům) vedlo k lepšímu přenosu řešení problémů než umožnění studentům, aby si je sami konstruovali. Druhý úkol mohl způsobit nadměrnou kognitivní zátěž. Jiné důkazy ukazují, že propracované příklady mohou snížit kognitivní zátěž (Renkl, Hilbert, & Schworm, 2009).

Výzkum podporuje předpověď, že duální prezentace usnadňuje učení lépe než prezentace v jednom režimu (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). Tento výsledek je v souladu s teorií duálního kódování (Paivio, 1986), s tím, že přílišná složitost není žádoucí. Podobně příklady smíchané s dílčími cíli pomáhají vytvářet hluboké struktury a usnadňují učení.

Klíčové je, že příklady, které zahrnují více režimů prezentace, by měly být sjednoceny, aby se pozornost studentů nerozptylovala mezi neintegrovanými zdroji. Sluchová a verbální vysvětlení by měla uvádět, ke kterému aspektu příkladu se vztahují, aby studenti nemuseli sami hledat. Dílčí cíle by měly být jasně označeny a vizuálně izolovány v celkovém zobrazení.

Druhou instruktážní otázkou je, jak by měly být příklady seřazeny. Výzkum podporuje závěry, že dva příklady jsou lepší než jeden, že různé příklady jsou lepší než dva stejného typu a že prokládání příkladů a praxe je účinnější než lekce, která prezentuje příklady následované praktickými problémy (Atkinson et al., 2000). Postupné vytrácení propracovaných příkladů v instruktážní sekvenci je spojeno s lepším přenosem učení studentů (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann a Glaser (1989) zjistili, že studenti, kteří poskytovali vlastní vysvětlení při studiu příkladů, následně dosahovali vyšších úrovní ve srovnání se studenty, kteří si sami nevysvětlovali. Předpokládá se, že vlastní vysvětlení pomohla studentům pochopit hlubokou strukturu problémů a tím ji smysluplněji zakódovat. Vlastní vysvětlení je také typ zkoušení a přínos zkoušení pro učení je dobře zaveden. Studenti by tedy měli být povzbuzováni k tomu, aby si sami vysvětlovali při studiu propracovaných příkladů, například verbalizací dílčích cílů.

Dalším problémem je, že propracované příklady mohou vést k pasivnímu učení, protože je studenti mohou zpracovávat povrchně. Zahrnutí interaktivních prvků, například poskytnutím výzev nebo ponecháním mezer, které musí studenti vyplnit, vede k aktivnějšímu kognitivnímu zpracování a učení (Atkinson & Renkl, 2007). Animace jsou také užitečné (Wouters, Paas, & van Merriënboer, 2008).

Stručně řečeno, existuje několik rysů, které, když jsou začleněny do propracovaných příkladů, pomáhají studentům vytvářet kognitivní schémata, která usnadňují následné úspěchy. Tyto instruktážní strategie se nejlépe používají v raných fázích učení dovedností. Prostřednictvím praxe by se počáteční kognitivní reprezentace měly vyvinout do zdokonalených schémat, která odborníci používají.

Návrhy pro použití propracovaných příkladů ve výuce

• Prezentujte příklady v těsné blízkosti problémů, které budou studenti řešit.
• Prezentujte více příkladů ukazujících různé typy problémů.
• Prezentujte informace v různých modalitách (sluchové, vizuální).
• Uveďte dílčí cíle v příkladech.
• Zajistěte, aby příklady prezentovaly všechny informace potřebné k řešení problémů.
• Naučte studenty vysvětlovat si příklady a povzbuzujte vlastní vysvětlení.
• Umožněte dostatečnou praxi na typech problémů, aby si studenti zdokonalili dovednosti.

Psaní odráží mnohé z kognitivních procesů, které byly diskutovány v této části kurzu. Dobří autoři se nerodí, ale vyvíjejí; efektivní výuka je zásadní pro rozvoj dovedností psaní (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Současné modely zkoumají mentální procesy pisatelů, když se zabývají různými aspekty psaní (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Výzkumným cílem je definovat odbornost. Porovnáním zkušených pisatelů s nováčky výzkumníci identifikují, jak se jejich mentální procesy liší (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower a Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) formulovali model, který odráží obecný rámec řešení problémů vyvinutý Newellem a Simonem (1972). Autoři definují prostor problému a provádějí operace na své mentální reprezentaci problému, aby dosáhli svých cílů. Klíčovými složkami tohoto modelu jsou rétorický problém, plánování, organizace, stanovení cílů, překlad a revize.

Rétorický problém zahrnuje autorovo téma, zamýšlené publikum a cíle. Rétorický problém pro studenty je často dobře definován. Učitelé zadávají téma seminární práce, publikem je učitel a cíl (např. informovat, přesvědčit) je stanoven; nicméně rétorický problém není nikdy zcela definován nikým jiným než samotným autorem. Autoři interpretují problémy po svém.

Autorova dlouhodobá paměť (LTM) hraje klíčovou roli. Autoři se liší ve svých znalostech tématu, publika a mechaniky (např. gramatika, pravopis, interpunkce). Autoři, kteří mají znalosti o svých tématech, uvádějí méně irelevantních tvrzení, ale více pomocných tvrzení (určených k rozpracování hlavních bodů) ve srovnání s méně znalými autory (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Rozdíly v deklarativních znalostech ovlivňují kvalitu psaní.

Plánování zahrnuje vytváření interní reprezentace znalostí, které mají být použity při psaní. Interní reprezentace je obecně abstraktnější než samotné psaní. Plánování zahrnuje několik procesů, jako je generování nápadů získáváním relevantních informací z paměti nebo jiných zdrojů. Tyto nápady mohou být dobře formované nebo fragmentární.

Existují velké individuální rozdíly v plánování. Dětské psaní se obvykle podobá „sdělování znalostí“ (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Často se řídí strategií „vyhledat a psát“ tím, že přistupují k LTM s nápovědou a píší, co vědí. Děti málo plánují a revidují a hodně překládají. Zatímco starší autoři také získávají obsah z LTM, dělají to jako součást plánování, po kterém vyhodnotí jeho vhodnost před překladem. Dětské vyhledávání a překlad jsou integrovány plynulým způsobem (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Mladší děti produkují méně nápadů než starší (Scardamalia & Bereiter, 1986). Mají prospěch z podněcování (např. „Můžeš napsat ještě něco?“). Englert, Raphael, Anderson, Anthony a Stevens (1991) ukázali, že psaní žáků čtvrtých a pátých tříd se zlepšilo, když byli vystaveni učitelům, kteří modelovali metakognitivní složky (např. které strategie byly užitečné, kdy a proč byly užitečné) a když byli učeni generovat otázky během plánování. Starší a lepší autoři více využívají interní nápovědy. Vyhledávají relevantní témata v LTM a posuzují znalosti před zahájením psaní. Učitelé mohou podporovat generování nápadů tím, že studentům dávají podněty k přemýšlení o nápadech (Bruning et al., 2004).

Organizace je zprostředkována soudržností mezi částmi věty a koherencí mezi větami. Kohezní prostředky spojují myšlenky dohromady pomocí zájmen, určitých členů, spojek a významů slov. Mladší děti mají větší potíže se soudržností, ale nekvalifikovaní autoři jakéhokoli věku používají soudržnost méně dobře. Vývojové rozdíly se také nacházejí v koherenci. Mladí a špatní autoři mají potíže s propojováním vět mezi sebou a s úvodní větou (McCutchen & Perfetti, 1982).

Hlavním podprocesem je stanovení cílů. Cíle jsou věcné (co chce autor sdělit) a procedurální (jak komunikovat nebo jak by měly být body vyjádřeny). Dobří autoři často mění své cíle na základě toho, co produkují. Autoři mají cíle na mysli před psaním, ale jak postupují, mohou si uvědomit, že určitý cíl není pro kompozici relevantní. Nové cíle jsou navrženy samotným psaním.

Primárním cílem zkušených autorů je sdělit význam, zatímco špatní autoři často praktikují asociativní psaní (Bereiter, 1980). Mohou se domnívat, že cílem psaní je zopakovat vše, co o daném tématu vědí; pořadí je méně důležité než inkluzivnost. Dalším cílem méně kvalifikovaných autorů je vyhnout se chybám. Když jsou dobří autoři požádáni, aby kritizovali své vlastní psaní, zaměřují se na to, jak dobře sdělili své záměry, zatímco špatní autoři častěji uvádějí povrchní aspekty (např. pravopis, interpunkce).

Překlad se týká uvedení vlastních myšlenek do tisku. Pro děti a nezkušené autory překlad často přetěžuje pracovní paměť (WM). Musí mít na paměti svůj cíl, myšlenky, které chtějí vyjádřit, a nezbytnou organizaci a mechaniku. Dobří autoři se během překladu méně zabývají povrchními rysy; více se zaměřují na význam a opravují povrchní problémy později. Špatní autoři se více soustředí na povrchní rysy a píší pomaleji než dobří autoři. Lepší autoři berou stylistické a povrchní aspekty v úvahu, když se během psaní zastaví. Slabší autoři mají prospěch, když si přečtou, co napsali, když se připravují na psaní.

Revize se skládá z hodnocení a úprav. Revize nastává, když si autoři přečtou, co napsali, jako předchůdce dalšího překladu nebo systematického hodnocení a revize (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Během revize autoři hodnotí a upravují plány a mění následné psaní.

Tyto procesy jsou důležité, protože autoři mohou strávit až 70 % svého času psaní pauzováním (Flower & Hayes, 1981), z nichž velká část je strávena plánováním na úrovni věty. Autoři si znovu přečtou, co napsali, a rozhodnou se, co říci dál. Tyto procesy zdola nahoru vytvářejí kompozici po částech. Když je takové budování dokončeno s ohledem na celkový plán, kompozice nadále odráží cíle autorů.

Špatní autoři obvykle závisí na psaní zdola nahoru. Během pauzování se dobří autoři zabývají rétorickým plánováním, které není přímo spojeno s tím, co vytvořili. Tento typ plánování odráží pohled na psaní shora dolů jako na proces řešení problémů; autoři mají na paměti celkový cíl a plánují, jak ho dosáhnout, nebo se rozhodnou, že ho musí změnit. Plánování zahrnuje obsah (rozhodování, o jakém tématu diskutovat) a styl (rozhodování o změně stylu vložením anekdoty). Toto plánování zahrnuje plánování na úrovni věty a je charakteristické pro zralé autory (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Děti mohou provádět jen málo revizí bez podpory učitele nebo vrstevníků (Fitzgerald, 1987). Studenti mají prospěch z výuky zaměřené na zlepšení kvality jejich psaní. Fitzgerald a Markham (1987) poskytli průměrným pisatelům šesté třídy výuku o typech revizí: doplnění, vymazání, nahrazení a přeskupení. Učitel vysvětlil a modeloval každou strategii revize, po které studenti pracovali ve dvojicích (peer konference). Výuka zlepšila znalosti studentů o revizních procesech a jejich skutečné revize. Beal, Garrod a Bonitatibus (1990) zjistili, že výuka dětí třetí a šesté třídy strategii kladení si otázek (např. „Co se v příběhu děje?“) vedla k výrazně většímu revidování textu.

Hodnotící dovednosti se vyvíjejí dříve než revizní dovednosti. I když žáci čtvrté třídy rozpoznají problémy s psaním, nemusí je úspěšně opravit až v 70 % případů (Scardamalia & Bereiter, 1983). Když děti opravují problémy, špatní autoři revidují chyby v pravopisu a interpunkci, zatímco lepší autoři revidují z stylistických důvodů (Birnbaum, 1982).

Vzhledem ke složitosti psaní je průběh získávání dovedností lépe charakterizován jako rozvoj plynulosti než automatizace (McCutchen, 1995). Automatické procesy se stávají rutinními a vyžadují málo pozornostních zdrojů nebo zdrojů pracovní paměti (WM), zatímco plynulé procesy – i když jsou rychlé a efektivní z hlediska zdrojů – jsou promyšlené a lze je „online“ měnit. Dobří autoři se řídí plány, ale upravují je během psaní. Kdyby byl tento proces automatický, autoři by se svých plánů – jakmile by byly přijaty – řídili bez přerušení. Ačkoli se dílčí dovednosti psaní (tj. pravopis, slovní zásoba) často stávají automatickými, celkový proces ne.

Matematika je plodnou oblastí kognitivního a konstruktivistického výzkumu (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe et al., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss et al., 1995). Výzkumníci zkoumali, jak se studenti učí konstruovat znalosti, jak se liší experti a začátečníci a které metody výuky jsou nejefektivnější (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Zlepšení výuky je důležité vzhledem k tomu, že tolik studentů má potíže s učením matematiky.

Typicky se rozlišuje mezi matematickými výpočty (použití pravidel, postupů a algoritmů) a koncepty (řešení problémů a použití strategií). Výpočetní a konceptuální problémy vyžadují, aby studenti implementovali produkce zahrnující pravidla a algoritmy. Rozdíl mezi těmito dvěma kategoriemi spočívá v tom, jak explicitně problém říká studentům, jaké operace mají provést. Následují výpočetní problémy.

• Vyřešte x a y.
• Jaká je délka přepony pravoúhlého trojúhelníku se stranami o délce 3 a 4 palce?

Ačkoli studentům není explicitně řečeno, co mají dělat v problémech 2 a 3, rozpoznání formátu problému a znalost postupů je vedou k provedení správných operací.

Nyní porovnejte tyto problémy s následujícími:

• Alex má 20 mincí složených z desetníků a čtvrťáků. Kdyby čtvrťáky byly desetníky a desetníky byly čtvrťáky, měl by o 90 centů více, než má nyní. Kolik peněz má Alex?
• Pokud osobnímu vlaku trvá dvakrát déle, než mine nákladní vlak poté, co ho poprvé předjede, než trvá oběma vlakům, aby se minuly při jízdě v opačných směrech, kolikrát rychlejší než nákladní vlak je osobní vlak?
• Když Shana chodí na túry, může v průměru dosáhnout rychlosti 2 mph do kopce a 6 mph z kopce. Pokud jde do kopce a z kopce a netráví žádný čas na vrcholu, jaká bude její průměrná rychlost za celou cestu?

Tyto slovní úlohy explicitně neříkají studentům, co mají dělat, ale vyžadují výpočty, které nejsou o nic obtížnější než ty, které jsou potřeba v první sadě. Řešení slovních úloh zahrnuje rozpoznání jejich formátů problému, generování vhodných produkcí a provádění výpočtů.

Nemá to naznačovat, že konceptuální odbornost je lepší než výpočetní zdatnost, ačkoli Rittle-Johnson a Alibali (1999) zjistili, že konceptuální porozumění mělo větší vliv na procedurální znalosti než naopak. Nedostatky v kterékoli oblasti způsobují problémy. Porozumění tomu, jak řešit problém, ale neschopnost provádět výpočty vede k nesprávným odpovědím, stejně jako výpočetní zdatnost, ale neschopnost konceptualizovat problémy.

Výpočet

Nejranější výpočetní dovedností, kterou děti používají, je počítání (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Děti počítají předměty na prstech a v hlavě pomocí strategie (Groen & Parkman, 1972). Součtový model zahrnuje nastavení hypotetického čítače na nulu, počítání prvního sčítance po jedné a poté počítání druhého sčítance, abychom dospěli k odpovědi. Pro problém „2 + 4 = ?“ by děti mohly počítat od 0 do 2 a poté spočítat další 4. Efektivnější strategií je nastavit čítač na první sčítanec (2) a poté počítat druhý sčítanec (4) po jedné. Ještě efektivnější je model min: Nastavte čítač na větší ze dvou sčítanců (4) a poté počítejte menší sčítanec (2) po jedné (Romberg & Carpenter, 1986).

Tyto typy vynalezených postupů jsou úspěšné. Děti a dospělí často konstruují postupy pro řešení matematických problémů. Chyby obecně nejsou náhodné, ale spíše odrážejí chybné algoritmy, nebo systematické chyby v myšlení a uvažování (Brown & Burton, 1978). Chybné algoritmy odrážejí konstruktivistický předpoklad, že studenti si vytvářejí postupy na základě své interpretace zkušeností. Běžnou chybou při odčítání je odečíst menší číslo od většího čísla v každém sloupci bez ohledu na směr, jak je uvedeno níže:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Matematické chyby se pravděpodobně vyvíjejí, když se studenti setkávají s novými problémy a nesprávně zobecňují produkce. Například při odčítání bez přeskupování studenti odečítají menší číslo od většího jednoho sloupec po sloupci. Je snadné pochopit, jak by mohli zobecnit tento postup na problémy vyžadující přeskupování. Chybné algoritmy jsou trvanlivé a mohou v studentech vzbudit falešný pocit sebeúčinnosti, možná proto, že jejich výpočty produkují odpovědi.

Dalším zdrojem výpočetních obtíží je nedostatečná deklarativní znalost číselných faktů. Mnoho dětí nezná základní fakta a vykazuje nedostatky v numerickém zpracování (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, & Numtee, 2007). Dokud se fakta nestanou v LTM ustálenými prostřednictvím cvičení, děti počítají nebo vypočítávají odpovědi. Rychlost vybavování faktů z paměti přímo souvisí s celkovým matematickým úspěchem studentů od základní školy po vysokou školu (Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant, 1999). Výpočetní dovednosti se zlepšují s vývojem, spolu s WM a LTM schopnostmi (Mabbott & Bisanz, 2003).

Mnoho obtíží ve výpočtech vyplývá z používání příliš složitých, ale technicky správných produkcí k řešení problémů. Takové postupy produkují správné odpovědi, ale protože jsou složité, riziko výpočetních chyb je vysoké. Problém 256 děleno 5 lze vyřešit dělicím algoritmem nebo postupným odečítáním 5 od 256 a spočítáním počtu odečtení. Poslední postup je technicky správný, ale neefektivní a má vysokou pravděpodobnost chyby.

Studenti zpočátku reprezentují výpočetní dovednosti jako deklarativní znalosti v propozicionální síti. Fakta týkající se různých kroků (např. v algoritmu) jsou ukládána do paměti prostřednictvím mentálního opakování a otevřeného cvičení. Produkce, která řídí výkon v této fázi, je obecná; například: „Pokud je cílem vyřešit tento problém dělení, pak použijte metodu, kterou nás učitel naučil.“ S dalším cvičením se deklarativní reprezentace mění na doménově specifickou procedurální reprezentaci a nakonec se automatizuje. Rané strategie počítání jsou nahrazeny efektivnějšími strategiemi založenými na pravidlech (Hopkins & Lawson, 2002). V automatické fázi studenti rychle rozpoznají vzor problému (např. problém dělení, problém druhé odmocniny) a implementují postup bez velkého vědomého uvažování.

Řešení problémů vyžaduje, aby studenti nejprve přesně reprezentovali problém, včetně daných informací a cíle, a poté vybrali a aplikovali strategii řešení problémů (Mayer, 1985, 1999). Překlad problému z jeho jazykové reprezentace do mentální reprezentace je často obtížný (Bruning et al., 2004). Čím abstraktnější je jazyk, tím obtížnější je porozumění textu a tím nižší je pravděpodobnost řešení (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Studenti, kteří mají potíže s porozuměním, vykazují horší vybavování informací a nižší výkon. To platí zejména pro mladší děti, které mají potíže s překladem abstraktních jazykových reprezentací.

Překlad také vyžaduje dobré deklarativní a procedurální znalosti. Řešení dřívějšího problému o Alexovi s 20 mincemi vyžaduje znalost, že desetníky a čtvrtky jsou mince, že desetník je jedna desetina (0,10 USD) z 1 USD a že čtvrtka je jedna čtvrtina (0,25 USD) z 1 USD. Tyto deklarativní znalosti je třeba spojit s procedurálním porozuměním, že desetníky a čtvrtky jsou proměnné, takže počet desetníků plus počet čtvrtek se rovná 20.

Jedním z důvodů, proč odborníci překládají problémy lépe, je to, že jejich znalosti jsou lépe uspořádány v dlouhodobé paměti (LTM); organizace odráží základní strukturu dané problematiky (Romberg & Carpenter, 1986). Odborníci přehlížejí povrchové rysy problému a analyzují jej z hlediska operací potřebných k řešení. Začátečníci jsou více ovlivněni povrchovými rysy. Silver (1981) zjistil, že dobří řešitelé problémů organizovali problémy podle procesu potřebného k řešení, zatímco špatní řešitelé problémů s větší pravděpodobností seskupovali problémy s podobným obsahem (např. peníze, vlaky).

Kromě překladu a klasifikace problémů se odborníci a začátečníci liší v produkcích (Greeno, 1980). Začátečníci často používají strategii práce pozpátku, začínají cílem a postupují zpět k daným informacím. To je dobrá heuristika užitečná v raných fázích učení, kdy si studenti osvojili určité znalosti domény, ale nejsou dostatečně kompetentní k rychlému rozpoznání formátů problémů.

Naopak, odborníci často pracují dopředu. Identifikují typ problému a vyberou vhodnou produkci k vyřešení problému. Hegarty, Mayer a Monk (1995) zjistili, že úspěšní řešitelé problémů používali přístup modelování problému, překládali problém do mentálního modelu, ve kterém byla čísla v zadání problému spojena s jejich názvy proměnných. Naopak, méně úspěšní řešitelé s větší pravděpodobností používali přístup přímého překladu, kombinovali čísla v problému s aritmetickými operacemi vyvolanými klíčovými slovy (např. sčítání je operace spojená s klíčovým slovem „více“). Tato druhá strategie je povrchní a založená na povrchových rysech, zatímco první strategie je lépe spojena s významy.

Odborníci si vyvíjejí sofistikované procedurální znalosti pro klasifikaci matematických problémů podle typu. Problémy s algebrou na střední škole spadají do zhruba 20 obecných kategorií, jako je pohyb, proud, mince a úrok/investice (Mayer, 1992). Tyto kategorie lze seskupit do šesti hlavních skupin. Například skupina množství za čas zahrnuje problémy s pohybem, proudem a prací. Tyto problémy jsou řešitelné pomocí obecného vzorce: množství = rychlost čas. Rozvoj odbornosti v řešení matematických problémů závisí na klasifikaci problému do správné skupiny a následné aplikaci strategie. Verbalizace kroků při řešení problémů napomáhá rozvoji odbornosti (Gersten et al., 2009).

Mnoho teoretiků tvrdí, že konstruktivismus představuje životaschopný model pro vysvětlení, jak se matematika učí (Ball et al., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Matematické znalosti nejsou pasivně absorbovány z prostředí, ale jsou konstruovány jednotlivci v důsledku jejich interakcí. Tento konstrukční proces zahrnuje také vymýšlení postupů dětmi, které zahrnují implicitní pravidla.

Následující neobvyklý příklad ilustruje procedurální vynález založený na pravidlech. Před časem jsem pracoval s učitelem na identifikaci dětí v jeho třídě, které by mohly mít prospěch z dalšího výcviku v dlouhém dělení. Jmenoval několik studentů a řekl, že by se mohl kvalifikovat i Tim, ale nebyl si jistý. Některé dny řešil své problémy správně, zatímco jiné dny byla jeho práce nesprávná a nedávala smysl. Dal jsem mu problémy k řešení a požádal jsem ho, aby při práci verbalizoval, protože mě zajímalo, co si děti myslí při řešení problémů. Tim řekl toto: “Problém je 17 děleno 436. Začínám na straně problému, která je nejblíže dveřím . . .” Pak jsem věděl, proč byla jeho práce v některé dny přesná a v jiné dny ne. Záleželo na tom, která strana jeho těla byla nejblíže dveřím!

Proces konstruování znalostí začíná v předškolním věku (Resnick, 1989). Geary (1995) rozlišoval biologicky primární (biologicky založené) od biologicky sekundárních (kulturně vyučovaných) schopností. Biologicky primární schopnosti jsou zakotveny v neurobiologických systémech, které se vyvinuly ve specifických ekologických a sociálních nikách a které slouží funkcím souvisejícím s přežitím nebo reprodukcí. Měly by být viděny napříč kulturami, zatímco biologicky sekundární schopnosti by měly vykazovat větší kulturní specifičnost (např. jako funkce školní docházky). Kromě toho by mnohé z prvních měly být vidět u velmi malých dětí. Skutečně, počítání je přirozená aktivita, kterou předškoláci dělají bez přímé výuky (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Dokonce i kojenci mohou být citliví na různé vlastnosti čísel (Geary, 1995). Předškoláci vykazují rostoucí numerické kompetence zahrnující koncepty aditivity části a celku a změny jako zvýšení/snížení množství. Konceptuální změna probíhá rychle během základních let (Resnick, 1989). Učení dětí používat schematické diagramy k reprezentaci slovních úloh usnadňuje řešení problémů (Fuson & Willis, 1989).

Matematická kompetence také závisí na sociokulturním vlivu (Cobb, 1994). Vygotskij (1978) zdůraznil roli kompetentních jiných osob v zóně proximálního vývoje (ZPD). Na rozdíl od konstruktivistického důrazu na kognitivní reorganizace mezi jednotlivými studenty obhajují sociokulturní teoretici kulturní praktiky—zejména sociální interakce (Cobb, 1994). Sociokulturní vliv je začleněn prostřednictvím takových aktivit, jako je vzájemné vyučování, instruktážní lešení a učňovská příprava.

Výzkum podporuje myšlenku, že sociální interakce jsou prospěšné. Rittle-Johnson a Star (2007) zjistili, že matematická zdatnost sedmáků se zvýšila, když jim bylo umožněno porovnávat metody řešení s partnery. Výsledky literární rešerše od Springer, Stanne a Donovan (1999) ukázaly, že učení v malých skupinách významně zvýšilo úspěšnost vysokoškolských studentů v matematice a přírodních vědách. Kramarski a Mevarech (2003) zjistili, že kombinace kooperativního učení s metakognitivní výukou (např. zamyslet se nad relevantními koncepty, rozhodnout se o vhodných strategiích k použití) zvýšila matematické uvažování osmáků více než kterýkoli z postupů samotný. Kromě těchto výhod kooperativního učení (Stein & Carmine, 1999) literatura o vzájemném a mezigeneračním doučování v matematice odhaluje, že je účinné při zvyšování úspěšnosti dětí (Robinson, Schofield, & Steers-Wentzell, 2005). Koordinace konstruktivistické a sociokulturní perspektivy je možná; studenti si mohou rozvíjet znalosti prostřednictvím sociálních interakcí, ale pak idiosynkraticky konstruovat využití těchto znalostí.

Kognitivní a konstruktivistické učební procesy se uplatňují u základních forem učení, ale větší význam nabývají u komplexního učení. Rozvíjení kompetencí v akademické oblasti vyžaduje znalost faktů, principů a konceptů dané oblasti, spojenou s obecnými strategiemi, které lze aplikovat napříč oblastmi, a specifickými strategiemi, které se vztahují ke každé oblasti. Výzkum identifikoval mnoho rozdílů mezi experty a nováčky v dané oblasti.

Podmíněná znalost je vědět, kdy a proč používat deklarativní a procedurální znalosti. Pouhé vědění, co dělat a jak to dělat, nepřináší úspěch. Studenti musí také pochopit, kdy jsou znalosti a postupy užitečné. Podmíněná znalost je s největší pravděpodobností uložena v LTM jako propozice spojené s dalšími deklarativními a procedurálními znalostmi. Metakognice označuje záměrnou, vědomou kontrolu mentálních aktivit. Metakognice zahrnuje znalosti a monitorovací aktivity, které mají zajistit úspěšné dokončení úkolů. Metakognice se začíná rozvíjet kolem 5 až 7 let a pokračuje po celou dobu školní docházky. Metakognitivní povědomí jedince závisí na proměnných úkolu, strategie a studenta. Studenti mají prospěch z výuky metakognitivních aktivit.

Učení pojmů zahrnuje procesy vyššího řádu, které spočívají ve vytváření mentálních reprezentací kritických atributů kategorií. Současné teorie zdůrazňují analýzu prvků a vytváření hypotéz o pojmech (analýza prvků), stejně jako vytváření zobecněných obrazů pojmů, které zahrnují pouze některé definující prvky (prototypy). Prototypy lze použít ke klasifikaci typických instancí pojmů a analýzu prvků lze použít pro méně typické instance. Byly navrženy modely osvojování pojmů a výuky a do konceptuální změny jsou zapojeny také motivační procesy.

Řešení problémů se skládá z počátečního stavu, cíle, dílčích cílů a operací prováděných k dosažení cíle a dílčích cílů. Výzkumníci zkoumali mentální procesy studentů zabývajících se řešením problémů a rozdíly mezi experty a nováčky. Řešení problémů bylo vnímáno jako odraz pokusů a omylů, vhledu a heuristiky. Tyto obecné přístupy lze aplikovat na akademický obsah. Jak lidé získávají zkušenosti v dané oblasti, získávají znalosti a produkční systémy, neboli sady pravidel, které strategicky aplikují k dosažení cílů. Řešení problémů vyžaduje vytvoření mentální reprezentace problému a aplikaci produkce k jeho vyřešení. U dobře definovaných problémů, kde lze potenciální řešení seřadit podle pravděpodobnosti, je užitečná strategie generování a testování. Pro obtížnější nebo méně dobře definované problémy se používá analýza prostředků a cílů, která vyžaduje práci zpětně nebo dopředu. Další strategie řešení problémů zahrnují analogické uvažování a brainstorming.

Transfer je komplexní fenomén. Historické pohledy zahrnují identické prvky, mentální disciplínu a generalizaci. Z kognitivní perspektivy transfer zahrnuje aktivaci paměťových struktur a nastává, když jsou informace propojeny. Rozlišuje se mezi blízkým a vzdáleným, doslovným a obrazným a low-road a high-road transferem. Některé formy transferu se mohou vyskytnout automaticky, ale většina je vědomá a zahrnuje abstrakci. Poskytování studentům zpětné vazby o užitečnosti dovedností a strategií zvyšuje pravděpodobnost transferu.

Technologie nadále nabývá na významu v učení a výuce. Dvě oblasti, které zaznamenaly rychlý růst, jsou počítačová výuková prostředí a distanční vzdělávání. Aplikace zahrnující počítačová prostředí zahrnují výuku pomocí počítače, hry a simulace, hypermédia/multimédia a e-learning. Distanční vzdělávání probíhá, když výuka pochází z jednoho místa a je přenášena studentům na jednom nebo více vzdálených místech. Interaktivní možnosti umožňují obousměrnou zpětnou vazbu a synchronní diskuse. Distanční vzdělávání často zahrnuje online (webové) asynchronní výuku a kurzy lze organizovat pomocí smíšeného modelu (některé prezenční a některé online výuky). Výzkum ukazuje výhody technologie pro metakognici, hluboké zpracování a řešení problémů. Budoucí inovace povedou k větší dostupnosti a interaktivním možnostem.

Zahrnutí principů shrnutých v této lekci zahrnuje vyřešené příklady, psaní a matematiku. Vyřešené příklady prezentují řešení problémů krok za krokem a často zahrnují doprovodné diagramy. Vyřešené příklady zahrnují mnoho prvků, které usnadňují řešení problémů studentům. Psaní vyžaduje skládání a revizi. Odborníci plánují text kolem cíle sdělovat význam a mají tento cíl na paměti během revize. Nováčci mají tendenci psát to, co si pamatují o tématu, spíše než aby se zaměřovali na svůj cíl. Děti projevují ranou matematickou kompetenci s počítáním. Výpočetní dovednosti vyžadují algoritmy a deklarativní znalosti. Studenti často nadměrně zobecňují postupy (chybné algoritmy). Studenti získávají znalosti o typech problémů prostřednictvím zkušeností. Odborníci rozpoznávají typy a aplikují správné produkce k jejich vyřešení (práce dopředu). Nováčci pracují zpětně aplikací vzorců, které zahrnují veličiny uvedené v problému.