Kognitive Lernprozesse: Anwendungen für den Unterricht

Ausgearbeitete Beispiele, die wir bereits kurz in unserem Kurs besprochen haben, präsentieren schrittweise Problemlösungen und enthalten oft begleitende Diagramme. Sie stellen ein Problemlösungsmodell von Experten dar, das Lernende studieren können, bevor sie beginnen, es nachzuahmen.

Ausgearbeitete Beispiele spiegeln die ACT-R-Theorie von Anderson wider (Lee & Anderson, 2001) und eignen sich besonders für komplexe Lernformen wie Algebra, Physik und Geometrie (Atkinson et al., 2000, 2003). Unter Anwendung des Novizen-Experten-Modells haben Forscher festgestellt, dass Experten sich typischerweise auf tieferliegende (strukturelle) Aspekte von Problemen konzentrieren und Novizen sich häufiger mit Oberflächenmerkmalen beschäftigen. Alleiniges Üben ist weniger effektiv bei der Förderung von Fähigkeiten als Üben in Verbindung mit ausgearbeiteten Beispielen (Atkinson et al., 2000).

Ausgearbeitete Beispiele scheinen für Schüler in den frühen Phasen des Kompetenzerwerbs am vorteilhaftesten zu sein, im Gegensatz zu fortgeschrittenen Lernenden, die ihre Fähigkeiten verfeinern. Ihre Anwendbarkeit zeigt sich deutlich im Vier-Stufen-Modell des Kompetenzerwerbs innerhalb des ACT-R-Frameworks (Anderson, Fincham & Douglass, 1997). In Stufe 1 verwenden Lernende Analogien, um Beispiele auf zu lösende Probleme zu beziehen. In Stufe 2 entwickeln sie durch Übung abstrakte deklarative Regeln. Während Stufe 3 wird die Leistung schneller und reibungsloser, da Aspekte der Problemlösung automatisiert werden. Bis Stufe 4 haben Lernende viele Arten von Problemen im Gedächtnis und können die geeignete Lösungsstrategie schnell abrufen, wenn sie mit einem Problem konfrontiert werden. Die Verwendung von ausgearbeiteten Beispielen eignet sich am besten für Lernende der Stufe 1 und der frühen Stufe 2. In späteren Phasen profitieren die Lernenden von Übungen, um ihre Strategien zu verfeinern, obwohl selbst in fortgeschrittenen Phasen das Studium der Lösungen von Experten hilfreich sein kann.

Ein wichtiges didaktisches Problem ist, wie die Komponenten eines Beispiels, wie Diagramm, Text und auditive Informationen, integriert werden können. Es ist unerlässlich, dass ein ausgearbeitetes Beispiel die WM des Lernenden nicht überlastet, was durch die gleichzeitige Präsentation mehrerer Informationsquellen geschehen kann. Stull und Mayer (2007) fanden heraus, dass die Bereitstellung von grafischen Organisatoren (ähnlich wie ausgearbeitete Beispiele) einen besseren Problemlösungstransfer erzeugte, als wenn Lernende ihre eigenen konstruieren durften. Letztere Aufgabe hat möglicherweise eine übermäßige kognitive Belastung verursacht. Andere Belege zeigen, dass ausgearbeitete Beispiele die kognitive Belastung reduzieren können (Renkl, Hilbert & Schworm, 2009).

Die Forschung unterstützt die Vorhersage, dass die duale Präsentation das Lernen besser erleichtert als die Einzelmoduspräsentation (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Dual-Coding-Theorie (Paivio, 1986), mit der Einschränkung, dass zu viel Komplexität nicht wünschenswert ist. In ähnlicher Weise helfen Beispiele, die mit Teilzielen vermischt sind, tiefe Strukturen zu schaffen und das Lernen zu erleichtern.

Ein wichtiger Punkt ist, dass Beispiele, die mehrere Präsentationsmodi beinhalten, vereinheitlicht werden sollten, damit die Aufmerksamkeit der Lernenden nicht auf nicht integrierte Quellen verteilt wird. Auditive und verbale Erklärungen sollten angeben, auf welchen Aspekt des Beispiels sie sich beziehen, damit die Lernenden nicht selbst suchen müssen. Teilziele sollten klar beschriftet und visuell im Gesamtdisplay isoliert sein.

Ein zweites didaktisches Problem betrifft die Reihenfolge der Beispiele. Die Forschung unterstützt die Schlussfolgerungen, dass zwei Beispiele einem einzigen überlegen sind, dass unterschiedliche Beispiele besser sind als zwei vom gleichen Typ und dass das Vermischen von Beispielen und Übungen effektiver ist als eine Lektion, die Beispiele gefolgt von Übungsaufgaben präsentiert (Atkinson et al., 2000). Das allmähliche Ausblenden von ausgearbeiteten Beispielen in einer Unterrichtssequenz ist mit einem besseren Lerntransfer der Schüler verbunden (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann und Glaser (1989) fanden heraus, dass Schüler, die beim Studium von Beispielen Selbsterklärungen abgaben, anschließend höhere Leistungen erzielten als Schüler, die keine Selbsterklärungen abgaben. Vermutlich halfen die Selbsterklärungen den Schülern, die tiefe Struktur der Probleme zu verstehen und sie dadurch sinnvoller zu verschlüsseln. Selbsterklärung ist auch eine Art von Wiederholung, und der Nutzen der Wiederholung für das Lernen ist gut belegt. Daher sollten die Schüler ermutigt werden, sich beim Studium von ausgearbeiteten Beispielen selbst zu erklären, z. B. durch Verbalisierung von Teilzielen.

Ein weiteres Problem ist, dass ausgearbeitete Beispiele passives Lernen erzeugen können, da die Lernenden sie möglicherweise nur oberflächlich verarbeiten. Das Hinzufügen interaktiver Elemente, z. B. durch Bereitstellung von Eingabeaufforderungen oder das Auslassen von Lücken, die die Lernenden ausfüllen müssen, führt zu einer aktiveren kognitiven Verarbeitung und zum Lernen (Atkinson & Renkl, 2007). Animationen sind ebenfalls hilfreich (Wouters, Paas & van Merriënboer, 2008).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es mehrere Merkmale gibt, die, wenn sie in ausgearbeitete Beispiele integriert werden, den Lernenden helfen, kognitive Schemata zu erstellen, um nachfolgende Leistungen zu erleichtern. Diese Unterrichtsstrategien werden am besten in den frühen Phasen des Kompetenzerwerbs eingesetzt. Durch Übung sollten sich die anfänglichen kognitiven Repräsentationen zu den verfeinerten Schemata entwickeln, die Experten verwenden.

Vorschläge für die Verwendung von ausgearbeiteten Beispielen im Unterricht

• Präsentieren Sie Beispiele in unmittelbarer Nähe zu den Problemen, die die Schüler lösen werden.
• Präsentieren Sie mehrere Beispiele, die verschiedene Arten von Problemen zeigen.
• Präsentieren Sie Informationen in verschiedenen Modalitäten (auditiv, visuell).
• Geben Sie Teilziele in Beispielen an.
• Stellen Sie sicher, dass Beispiele alle Informationen enthalten, die zur Lösung von Problemen benötigt werden.
• Bringen Sie den Schülern bei, Beispiele selbst zu erklären, und fördern Sie Selbsterklärungen.
• Ermöglichen Sie ausreichend Übung zu Problemtypen, damit die Schüler ihre Fähigkeiten verfeinern können.

Schreiben spiegelt viele der kognitiven Prozesse wider, die in diesem Abschnitt des Kurses besprochen werden. Gute Autoren werden nicht geboren, sondern entwickelt; effektiver Unterricht ist entscheidend für die Entwicklung von Schreibfähigkeiten (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Zeitgenössische Modelle untersuchen die mentalen Prozesse von Autoren, während sie sich mit verschiedenen Aspekten des Schreibens beschäftigen (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Ein Forschungsziel ist die Definition von Expertise. Durch den Vergleich von erfahrenen Autoren mit Anfängern identifizieren Forscher, wie sich ihre mentalen Prozesse unterscheiden (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower und Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) formulierten ein Modell, das den allgemeinen Problemlösungsrahmen von Newell und Simon (1972) widerspiegelt. Autoren definieren einen Problemraum und führen Operationen an ihrer mentalen Repräsentation des Problems durch, um ihre Ziele zu erreichen. Schlüsselkomponenten dieses Modells sind das rhetorische Problem, Planung, Organisation, Zielsetzung, Übersetzung und Überprüfung.

Das rhetorische Problem umfasst das Thema des Autors, das beabsichtigte Publikum und die Ziele. Das rhetorische Problem für Studenten ist oft gut definiert. Lehrer weisen ein Thema für eine Seminararbeit zu, das Publikum ist der Lehrer, und das Ziel (z. B. informieren, überzeugen) wird vorgegeben; das rhetorische Problem wird jedoch nie vollständig von jemand anderem als dem Autor definiert. Autoren interpretieren Probleme auf ihre eigene Weise.

Das LTM des Autors spielt eine entscheidende Rolle. Autoren unterscheiden sich in ihrem Wissen über das Thema, das Publikum und die Mechanik (z. B. Grammatik, Rechtschreibung, Zeichensetzung). Autoren, die sich mit ihren Themen gut auskennen, verwenden weniger irrelevante Aussagen, aber mehr Hilfsaussagen (die dazu dienen, Hauptpunkte zu erläutern) als weniger sachkundige Autoren (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Unterschiede im deklarativen Wissen beeinflussen die Qualität des Schreibens.

Planung beinhaltet die Bildung einer internen Repräsentation von Wissen, das beim Verfassen verwendet werden soll. Die interne Repräsentation ist im Allgemeinen abstrakter als das eigentliche Schreiben. Die Planung umfasst verschiedene Prozesse wie das Generieren von Ideen durch Abrufen relevanter Informationen aus dem Gedächtnis oder anderen Quellen. Diese Ideen können gut geformt oder fragmentarisch sein.

Es gibt große individuelle Unterschiede in der Planung. Das Schreiben von Kindern ähnelt typischerweise dem “Wissens-Erzählen” (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Sie folgen oft einer “Abrufen und Schreiben”-Strategie, indem sie mit einem Stichwort auf das LTM zugreifen und aufschreiben, was sie wissen. Kinder planen und überprüfen wenig und übersetzen viel. Während ältere Autoren auch Inhalte aus dem LTM abrufen, tun sie dies im Rahmen der Planung, nach der sie ihre Angemessenheit vor der Übersetzung bewerten. Das Abrufen und Übersetzen von Kindern ist nahtlos integriert (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Junge Kinder produzieren weniger Ideen als ältere (Scardamalia & Bereiter, 1986). Sie profitieren von Aufforderungen (z. B. “Kannst du noch etwas schreiben?”). Englert, Raphael, Anderson, Anthony und Stevens (1991) zeigten, dass sich das Schreiben von Viert- und Fünftklässlern verbesserte, wenn sie Lehrern ausgesetzt waren, die metakognitive Komponenten modellierten (z. B. welche Strategien nützlich waren, wann und warum sie nützlich waren) und wenn sie lernten, während der Planung Fragen zu generieren. Ältere und bessere Autoren nutzen interne Aufforderungen stärker. Sie suchen relevante Themen im LTM und bewerten das Wissen, bevor sie mit dem Verfassen beginnen. Lehrer können die Ideengenerierung fördern, indem sie die Schüler auffordern, über Ideen nachzudenken (Bruning et al., 2004).

Die Organisation wird durch den Zusammenhalt zwischen Satzteilen und die Kohärenz zwischen Sätzen vermittelt. Kohäsive Mittel verbinden Ideen mit Pronomen, bestimmten Artikeln, Konjunktionen und Wortbedeutungen. Jüngere Kinder haben mehr Schwierigkeiten mit der Kohäsion, aber ungeschickte Autoren jeden Alters nutzen die Kohäsion weniger gut. Entwicklungsbedingte Unterschiede finden sich auch in der Kohärenz. Junge und schlechte Autoren haben Schwierigkeiten, Sätze miteinander und mit dem Leitsatz zu verbinden (McCutchen & Perfetti, 1982).

Ein wichtiger Teilprozess ist die Zielsetzung. Ziele sind substanziell (was der Autor kommunizieren möchte) und prozedural (wie man kommuniziert oder wie Punkte ausgedrückt werden sollen). Gute Autoren ändern oft ihre Ziele basierend auf dem, was sie produzieren. Autoren haben vor dem Schreiben Ziele im Sinn, aber im Laufe des Prozesses erkennen sie möglicherweise, dass ein bestimmtes Ziel für die Komposition nicht relevant ist. Neue Ziele werden durch das tatsächliche Schreiben vorgeschlagen.

Das Hauptziel erfahrener Autoren ist es, Bedeutung zu vermitteln, während schlechte Autoren oft assoziatives Schreiben praktizieren (Bereiter, 1980). Sie glauben möglicherweise, dass das Ziel des Schreibens darin besteht, alles wiederzugeben, was sie über das Thema wissen; Ordnung ist weniger wichtig als Inklusivität. Ein weiteres Ziel weniger erfahrener Autoren ist es, Fehler zu vermeiden. Wenn sie gebeten werden, ihr eigenes Schreiben zu kritisieren, konzentrieren sich gute Autoren darauf, wie gut sie ihre Absichten kommuniziert haben, während schlechte Autoren häufiger Oberflächenaspekte (z. B. Rechtschreibung, Zeichensetzung) anführen.

Übersetzung bezieht sich auf das Drucken der eigenen Ideen. Für Kinder und unerfahrene Autoren überlastet das Übersetzen oft das WM. Sie müssen ihr Ziel, die Ideen, die sie ausdrücken möchten, und die notwendige Organisation und Mechanik im Auge behalten. Gute Autoren kümmern sich während der Übersetzung weniger um Oberflächenmerkmale; sie konzentrieren sich mehr auf die Bedeutung und beheben Oberflächenprobleme später. Schlechte Autoren konzentrieren sich mehr auf Oberflächenmerkmale und schreiben langsamer als gute Autoren. Bessere Autoren berücksichtigen stilistische und oberflächliche Überlegungen, wenn sie während des Schreibens pausieren. Schlechtere Autoren profitieren, wenn sie das lesen, was sie geschrieben haben, während sie sich auf das Verfassen vorbereiten.

Die Überprüfung besteht aus Bewertung und Überarbeitung. Die Überprüfung erfolgt, wenn Autoren das lesen, was sie geschrieben haben, als Vorläufer für weitere Übersetzungen oder systematische Bewertung und Überarbeitung (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Während der Überprüfung bewerten und modifizieren Autoren Pläne und ändern das nachfolgende Schreiben.

Diese Prozesse sind wichtig, weil Autoren bis zu 70 % ihrer Schreibzeit mit Pausieren verbringen können (Flower & Hayes, 1981), von denen ein Großteil für die Planung auf Satzebene aufgewendet wird. Autoren lesen das, was sie geschrieben haben, noch einmal und entscheiden, was sie als Nächstes sagen sollen. Diese Bottom-up-Prozesse erstellen eine Komposition Abschnitt für Abschnitt. Wenn ein solcher Aufbau mit dem Gesamtplan im Hinterkopf erfolgt, spiegelt die Komposition weiterhin die Ziele des Autors wider.

Schlechte Autoren sind typischerweise auf Bottom-up-Schreiben angewiesen. Während des Pausierens betreiben gute Autoren rhetorische Planung, die nicht direkt mit dem verbunden ist, was sie produziert haben. Diese Art der Planung spiegelt eine Top-down-Sicht des Schreibens als Problemlösungsprozess wider; Autoren haben ein Gesamtziel im Auge und planen, wie sie es erreichen können, oder entscheiden, dass sie es ändern müssen. Die Planung umfasst Inhalt (Entscheidung, welches Thema diskutiert werden soll) und Stil (Entscheidung, den Stil durch Einfügen einer Anekdote zu ändern). Diese Planung subsumiert die Planung auf Satzebene und ist charakteristisch für reife Autoren (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Kinder überarbeiten möglicherweise wenig ohne Unterstützung durch Lehrer oder Gleichaltrige (Fitzgerald, 1987). Studenten profitieren von Unterricht, der darauf abzielt, die Qualität ihres Schreibens zu verbessern. Fitzgerald und Markham (1987) gaben durchschnittlichen Sechstklässlern Unterricht in Arten von Überarbeitungen: Ergänzungen, Streichungen, Ersetzungen und Umordnungen. Der Lehrer erklärte und modellierte jede Überarbeitungsstrategie, woraufhin die Studenten paarweise arbeiteten (Peer-Konferenzen). Der Unterricht verbesserte das Wissen der Studenten über Überarbeitungsprozesse und ihre tatsächlichen Überarbeitungen. Beal, Garrod und Bonitatibus (1990) fanden heraus, dass das Unterrichten von Dritt- und Sechstklässlern in einer Selbstbefragungsstrategie (z. B. “Was passiert in der Geschichte?”) zu einer signifikant stärkeren Textüberarbeitung führte.

Bewertungsfähigkeiten entwickeln sich früher als Überarbeitungsfähigkeiten. Selbst wenn Viertklässler Schreibprobleme erkennen, können sie diese möglicherweise nicht so oft wie in 70 % der Fälle erfolgreich beheben (Scardamalia & Bereiter, 1983). Wenn Kinder Probleme beheben, überarbeiten schlechte Autoren Fehler in Rechtschreibung und Zeichensetzung, während bessere Autoren aus stilistischen Gründen überarbeiten (Birnbaum, 1982).

Angesichts der Komplexität des Schreibens wird der Verlauf des Kompetenzerwerbs besser als die Entwicklung von Flüssigkeit und nicht als Automatisierung charakterisiert (McCutchen, 1995). Automatische Prozesse werden routinemäßig und erfordern nur wenige Aufmerksamkeits- oder WM-Ressourcen, während fluente Prozesse—obwohl schnell und ressourceneffizient—überlegt sind und “online” geändert werden können. Gute Autoren folgen Plänen, überarbeiten diese aber während des Schreibens. Wäre dieser Prozess automatisch, würden die Pläne der Autoren—einmal angenommen—ohne Unterbrechung befolgt. Obwohl Teilkompetenzen des Schreibens (d. h. Rechtschreibung, Wortschatz) oft automatisch werden, wird der Gesamtprozess es nicht.

Mathematik ist ein fruchtbares Gebiet für kognitive und konstruktivistische Forschung (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe et al., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss et al., 1995). Forschende haben untersucht, wie Lernende Wissen konstruieren, wie sich Experten und Novizen unterscheiden und welche Lehrmethoden am effektivsten sind (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Die Verbesserung des Unterrichts ist wichtig, da so viele Studierende Schwierigkeiten haben, Mathematik zu lernen.

Typischerweise wird zwischen mathematischer Berechnung (Verwendung von Regeln, Prozeduren und Algorithmen) und Konzepten (Problemlösung und Verwendung von Strategien) unterschieden. Rechnerische und konzeptionelle Probleme erfordern von den Studierenden die Implementierung von Produktionen, die Regeln und Algorithmen beinhalten. Der Unterschied zwischen diesen beiden Kategorien liegt darin, wie explizit das Problem den Studierenden sagt, welche Operationen sie durchführen sollen. Das Folgende sind Rechenaufgaben.

• Lösen Sie nach x und y.
• Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seiten von 3 und 4 Zoll?

Obwohl den Studierenden in den Aufgaben 2 und 3 nicht explizit gesagt wird, was zu tun ist, führen die Erkennung des Problemformats und die Kenntnis der Verfahren dazu, dass sie die richtigen Operationen durchführen.

Stellen Sie diese Probleme nun den folgenden gegenüber:

• Alex hat 20 Münzen, die sich aus Zehnern und Vierteln zusammensetzen. Wenn die Viertel Zehner und die Zehner Viertel wären, hätte er 90 Cent mehr als jetzt. Wie viel Geld hat Alex?
• Wenn ein Personenzug doppelt so lange braucht, um einen Güterzug zu passieren, nachdem er den Güterzug zuerst überholt hat, wie die beiden Züge brauchen, um sich in entgegengesetzten Richtungen zu passieren, wie viele Male schneller als der Güterzug ist der Personenzug?
• Wenn Shana wandert, kann sie bergauf durchschnittlich 2 mph und bergab 6 mph erreichen. Wenn sie bergauf und bergab geht und keine Zeit auf dem Gipfel verbringt, wie hoch ist dann ihre Durchschnittsgeschwindigkeit für eine ganze Reise?

Diese Textaufgaben sagen den Studierenden nicht explizit, was zu tun ist, aber sie erfordern Berechnungen, die nicht schwieriger sind als die im ersten Satz. Das Lösen von Textaufgaben beinhaltet das Erkennen ihrer Problemformate, das Generieren geeigneter Produktionen und das Durchführen der Berechnungen.

Dies soll nicht andeuten, dass konzeptionelles Fachwissen besser ist als rechnerische Kompetenz, obwohl Rittle-Johnson und Alibali (1999) herausfanden, dass das konzeptionelle Verständnis einen größeren Einfluss auf das prozedurale Wissen hatte als umgekehrt. Defizite in beiden Bereichen verursachen Probleme. Das Verständnis, wie man ein Problem löst, aber nicht in der Lage zu sein, die Berechnungen durchzuführen, führt zu falschen Antworten, ebenso wie die rechnerische Kompetenz, aber nicht in der Lage zu sein, Probleme zu konzeptualisieren.

Berechnung

Die früheste Rechenfertigkeit, die Kinder verwenden, ist das Zählen (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Kinder zählen Objekte an ihren Fingern und in ihren Köpfen mit einer Strategie (Groen & Parkman, 1972). Das Summenmodell beinhaltet das Setzen eines hypothetischen Zählers auf Null, das Hinzuzählen des ersten Summanden in Schritten von eins und dann das Hinzuzählen des zweiten Summanden, um zum Ergebnis zu gelangen. Für das Problem „2 + 4 = ?“ könnten Kinder von 0 bis 2 zählen und dann 4 weitere hinzuzählen. Eine effektivere Strategie ist es, den Zähler auf den ersten Summanden (2) zu setzen und dann den zweiten Summanden (4) in Schritten von eins hinzuzuzählen. Noch effektiver ist das Min-Modell: Setzen Sie den Zähler auf den größeren der beiden Summanden (4) und zählen Sie dann den kleineren Summanden (2) in Schritten von eins hinzu (Romberg & Carpenter, 1986).

Diese Arten von erfundenen Verfahren sind erfolgreich. Kinder und Erwachsene konstruieren oft Verfahren, um mathematische Probleme zu lösen. Fehler sind im Allgemeinen nicht zufällig, sondern spiegeln fehlerhafte Algorithmen oder systematische Denk- und Denkfehler wider (Brown & Burton, 1978). Fehlerhafte Algorithmen spiegeln die konstruktivistische Annahme wider, dass Studierende Verfahren auf der Grundlage ihrer Interpretation von Erfahrungen bilden. Ein häufiger Fehler bei der Subtraktion besteht darin, die kleinere Zahl von der größeren Zahl in jeder Spalte zu subtrahieren, unabhängig von der Richtung, wie folgt:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Mathematische Fehler entstehen wahrscheinlich, wenn Studierende auf neue Probleme stoßen und Produktionen fälschlicherweise verallgemeinern. Bei der Subtraktion ohne Übertrag subtrahieren Studierende beispielsweise die kleinere Zahl von der größeren, Spalte für Spalte. Es ist leicht zu erkennen, wie sie dieses Verfahren auf Probleme verallgemeinern könnten, die eine Neugruppierung erfordern. Fehlerhafte Algorithmen sind dauerhaft und können den Studierenden ein falsches Gefühl der Selbstwirksamkeit vermitteln, vielleicht weil ihre Berechnungen Antworten liefern.

Eine weitere Ursache für Rechenschwierigkeiten ist ein schlechtes deklaratives Wissen über Zahlenfakten. Viele Kinder kennen keine grundlegenden Fakten und weisen Defizite in der numerischen Verarbeitung auf (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent & Numtee, 2007). Bis sich Fakten durch Übung im LTM etabliert haben, zählen oder berechnen Kinder Antworten. Die Geschwindigkeit des Faktenabrufs aus dem Gedächtnis steht in direktem Zusammenhang mit der gesamten mathematischen Leistung von Studierenden von der Grundschule bis zum College (Royer, Tronsky, Chan, Jackson & Marchant, 1999). Die Rechenfähigkeit verbessert sich mit der Entwicklung, zusammen mit den WM- und LTM-Fähigkeiten (Mabbott & Bisanz, 2003).

Viele Schwierigkeiten beim Rechnen resultieren aus der Verwendung übermäßig komplexer, aber technisch korrekter Produktionen zur Lösung von Problemen. Solche Verfahren liefern zwar korrekte Antworten, aber da sie komplex sind, ist das Risiko von Rechenfehlern hoch. Das Problem 256 geteilt durch 5 kann durch den Divisionsalgorithmus oder durch sukzessives Subtrahieren von 5 von 256 und Zählen der Anzahl der Subtraktionen gelöst werden. Das letztere Verfahren ist technisch korrekt, aber ineffizient und hat eine hohe Fehlerwahrscheinlichkeit.

Lernende stellen die Rechenfähigkeit zunächst als deklaratives Wissen in einem propositionalen Netzwerk dar. Fakten über die verschiedenen Schritte (z. B. im Algorithmus) werden durch mentale Wiederholung und offene Übung im Gedächtnis gespeichert. Die Produktion, die die Leistung in diesem Stadium leitet, ist allgemein; zum Beispiel: „Wenn das Ziel darin besteht, dieses Divisionsproblem zu lösen, dann wende die Methode an, die uns der Lehrer beigebracht hat.“ Mit zusätzlicher Übung ändert sich die deklarative Darstellung in eine domänenspezifische prozedurale Darstellung und wird schließlich automatisiert. Frühe Zählstrategien werden durch effektivere regelbasierte Strategien ersetzt (Hopkins & Lawson, 2002). In der automatischen Phase erkennen Lernende schnell das Problemuster (z. B. Divisionsproblem, Quadratwurzelproblem) und implementieren das Verfahren ohne viel bewusste Überlegung.

Problemlösung erfordert, dass Studierende das Problem zunächst akkurat darstellen, einschließlich der gegebenen Informationen und des Ziels, und dann eine Problemlösungsstrategie auswählen und anwenden (Mayer, 1985, 1999). Die Übersetzung eines Problems von seiner linguistischen Darstellung in eine mentale Repräsentation ist oft schwierig (Bruning et al., 2004). Je abstrakter die Sprache, desto schwieriger das Textverständnis und desto geringer die Wahrscheinlichkeit einer Lösung (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Studierende mit Verständnisproblemen zeigen eine schlechtere Erinnerung an Informationen und eine geringere Leistung. Dies gilt insbesondere für jüngere Kinder, die Schwierigkeiten haben, abstrakte linguistische Repräsentationen zu übersetzen.

Übersetzung erfordert auch gutes deklaratives und prozedurales Wissen. Um das frühere Problem über Alex mit 20 Münzen zu lösen, ist das Wissen erforderlich, dass Groschen und Vierteldollars Münzen sind, dass ein Groschen ein Zehntel ($0.10) von $1 ist und dass ein Vierteldollar ein Viertel ($0.25) von $1 ist. Dieses deklarative Wissen muss mit dem prozeduralen Verständnis verbunden werden, dass Groschen und Vierteldollars Variablen sind, sodass die Anzahl der Groschen plus die Anzahl der Vierteldollars gleich 20 ist.

Ein Grund, warum Experten Probleme besser übersetzen, ist, dass ihr Wissen im LTM besser organisiert ist; die Organisation spiegelt die zugrunde liegende Struktur des Fachgebiets wider (Romberg & Carpenter, 1986). Experten übersehen Oberflächenmerkmale eines Problems und analysieren es im Hinblick auf die für die Lösung erforderlichen Operationen. Anfänger werden stärker von Oberflächenmerkmalen beeinflusst. Silver (1981) fand heraus, dass gute Problemlöser Probleme nach dem für die Lösung erforderlichen Prozess organisierten, während schlechte Problemlöser eher Probleme mit ähnlichem Inhalt gruppierten (z. B. Geld, Züge).

Zusätzlich zur Problemübersetzung und -klassifizierung unterscheiden sich Experten und Anfänger in ihren Produktionen (Greeno, 1980). Anfänger wenden oft eine Rückwärtsstrategie an, beginnend mit dem Ziel und arbeiten sich zurück zu den gegebenen Informationen. Dies ist eine gute Heuristik, die in den frühen Lernphasen nützlich ist, wenn Lernende etwas Domänenwissen erworben haben, aber nicht kompetent genug sind, um Problemformate schnell zu erkennen.

Im Gegensatz dazu arbeiten Experten oft vorwärts. Sie identifizieren den Problemtyp und wählen die passende Produktion zur Lösung des Problems aus. Hegarty, Mayer und Monk (1995) fanden heraus, dass erfolgreiche Problemlöser einen Problemmodell-Ansatz verwendeten, bei dem sie das Problem in ein mentales Modell übersetzten, in dem die Zahlen in der Problemstellung mit ihren Variablennamen verbunden waren. Weniger erfolgreiche Problemlöser verwendeten eher einen direkten Übersetzungsansatz, bei dem sie die Zahlen im Problem mit den arithmetischen Operationen kombinierten, die durch die Schlüsselwörter angeregt wurden (z. B. Addition ist die Operation, die mit dem Schlüsselwort „mehr“ verbunden ist). Die letztere Strategie ist oberflächlich und basiert auf Oberflächenmerkmalen, während die erstere Strategie besser mit Bedeutungen verknüpft ist.

Experten entwickeln ausgefeiltes prozedurales Wissen zur Klassifizierung mathematischer Probleme nach Typ. Algebra-Aufgaben für die High School fallen in etwa 20 allgemeine Kategorien, wie z. B. Bewegung, Strom, Münzen und Zinsen/Investitionen (Mayer, 1992). Diese Kategorien können in sechs Hauptgruppen zusammengefasst werden. Zum Beispiel umfasst die Gruppe „Menge pro Zeit“ Bewegungs-, Strom- und Arbeitsaufgaben. Diese Probleme sind mit der allgemeinen Formel lösbar: Menge = Rate Zeit. Die Entwicklung mathematischer Problemlösungskompetenz hängt davon ab, ein Problem in die richtige Gruppe einzuteilen und dann die Strategie anzuwenden. Das Verbalisieren von Schritten bei der Problemlösung unterstützt die Entwicklung von Kompetenz (Gersten et al., 2009).

Viele Theoretiker argumentieren, dass der Konstruktivismus ein brauchbares Modell zur Erklärung darstellt, wie Mathematik gelernt wird (Ball et al., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Mathematisches Wissen wird nicht passiv aus der Umwelt aufgenommen, sondern von Individuen als Folge ihrer Interaktionen konstruiert. Dieser Konstruktionsprozess beinhaltet auch die Erfindung von Prozeduren durch Kinder, die implizite Regeln beinhalten.

Das folgende ungewöhnliche Beispiel veranschaulicht regelbasierte prozedurale Erfindung. Vor einiger Zeit arbeitete ich mit einer Lehrerin zusammen, um Kinder in ihrer Klasse zu identifizieren, die von zusätzlichem Unterricht in der langen Division profitieren könnten. Sie nannte mehrere Schüler und sagte, dass Tim sich auch qualifizieren könnte, aber sie war sich nicht sicher. An manchen Tagen löste er seine Aufgaben richtig, während seine Arbeit an anderen Tagen falsch war und keinen Sinn ergab. Ich gab ihm Aufgaben zu lösen und bat ihn, während der Arbeit zu verbalisieren, weil ich daran interessiert war, was Kinder denken, während sie Probleme lösen. Das sagte Tim: “Das Problem ist 17 geteilt in 436. Ich beginne auf der Seite des Problems, die der Tür am nächsten ist . . .” Ich wusste dann, warum seine Arbeit an manchen Tagen richtig und an anderen Tagen falsch war. Es hing davon ab, welche Seite seines Körpers der Tür am nächsten war!

Der Prozess der Wissenskonstruktion beginnt in den Vorschuljahren (Resnick, 1989). Geary (1995) unterschied biologisch primäre (biologisch basierte) von biologisch sekundären (kulturell vermittelten) Fähigkeiten. Biologisch primäre Fähigkeiten sind in neurobiologischen Systemen verankert, die sich in bestimmten ökologischen und sozialen Nischen entwickelt haben und Funktionen im Zusammenhang mit Überleben oder Fortpflanzung erfüllen. Sie sollten kulturübergreifend zu sehen sein, während biologisch sekundäre Fähigkeiten eine größere kulturelle Spezifität aufweisen sollten (z. B. als Funktion der Beschulung). Darüber hinaus sollten viele der ersteren bei sehr jungen Kindern zu sehen sein. Tatsächlich ist das Zählen eine natürliche Aktivität, die Vorschulkinder ohne direkten Unterricht ausüben (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Sogar Säuglinge können empfindlich auf verschiedene Eigenschaften von Zahlen reagieren (Geary, 1995). Vorschulkinder zeigen eine zunehmende numerische Kompetenz, die die Konzepte der Teil-Ganzes-Additivität und Veränderungen als Zu-/Abnahmen von Mengen beinhaltet. Der konzeptionelle Wandel schreitet während der Grundschuljahre schnell voran (Resnick, 1989). Kindern das Verwenden von schematischen Diagrammen zur Darstellung von Textaufgaben beizubringen, erleichtert die Problemlösung (Fuson & Willis, 1989).

Mathematische Kompetenz hängt auch von soziokulturellen Einflüssen ab (Cobb, 1994). Vygotsky (1978) betonte die Rolle kompetenter anderer Personen in der Zone der proximalen Entwicklung (ZPD). Im Gegensatz zur konstruktivistischen Betonung kognitiver Reorganisationen bei einzelnen Schülern befürworten soziokulturelle Theoretiker kulturelle Praktiken—insbesondere soziale Interaktionen (Cobb, 1994). Der soziokulturelle Einfluss wird durch Aktivitäten wie Peer-Teaching, Instructional Scaffolding und Ausbildungen integriert.

Die Forschung unterstützt die Idee, dass soziale Interaktionen von Vorteil sind. Rittle-Johnson und Star (2007) fanden heraus, dass die mathematischen Fähigkeiten von Siebtklässlern verbessert wurden, wenn sie Lösungsmethoden mit Partnern vergleichen durften. Die Ergebnisse einer Literaturübersicht von Springer, Stanne und Donovan (1999) zeigten, dass das Lernen in kleinen Gruppen die Leistungen von College-Studenten in Mathematik und Naturwissenschaften deutlich steigerte. Kramarski und Mevarech (2003) fanden heraus, dass die Kombination von kooperativem Lernen mit metakognitiver Instruktion (z. B. Reflexion über relevante Konzepte, Entscheidung über geeignete Anwendungsstrategien) das mathematische Denken von Achtklässlern stärker förderte als jedes der beiden Verfahren allein. Zusätzlich zu diesen Vorteilen des kooperativen Lernens (Stein & Carmine, 1999) zeigt die Literatur über Peer- und Cross-Age-Tutoring in Mathematik, dass es effektiv ist, die Leistungen von Kindern zu steigern (Robinson, Schofield, & Steers-Wentzell, 2005). Eine Koordination der konstruktivistischen und soziokulturellen Perspektiven ist möglich; Schüler können Wissen durch soziale Interaktionen entwickeln, aber dann idiosynkratisch Anwendungen dieses Wissens konstruieren.

Kognitive und konstruktivistische Lernprozesse gelten für grundlegende Lernformen, gewinnen aber bei komplexem Lernen an Bedeutung. Die Entwicklung von Kompetenz in einem akademischen Bereich erfordert Kenntnisse der Fakten, Prinzipien und Konzepte dieses Bereichs, verbunden mit allgemeinen Strategien, die bereichsübergreifend angewendet werden können, und spezifischen Strategien, die sich auf jeden Bereich beziehen. Die Forschung hat viele Unterschiede zwischen Experten und Novizen in einem bestimmten Bereich festgestellt.

Konditionales Wissen ist das Wissen, wann und warum deklaratives und prozedurales Wissen eingesetzt werden soll. Einfach zu wissen, was zu tun ist und wie es zu tun ist, führt nicht zum Erfolg. Die Studierenden müssen auch verstehen, wann Wissen und Verfahren nützlich sind. Konditionales Wissen wird höchstwahrscheinlich im LZG als Propositionen gespeichert, die mit anderem deklarativen und prozeduralen Wissen verbunden sind. Metakognition bezieht sich auf die bewusste, absichtliche Kontrolle mentaler Aktivitäten. Metakognition umfasst Kenntnisse und Überwachungsaktivitäten, die sicherstellen sollen, dass Aufgaben erfolgreich abgeschlossen werden. Die Metakognition beginnt sich im Alter von 5 bis 7 Jahren zu entwickeln und setzt sich während der gesamten Schulzeit fort. Das metakognitive Bewusstsein hängt von Aufgaben-, Strategie- und Lernervariablen ab. Lernende profitieren von der Unterweisung in metakognitive Aktivitäten.

Konzeptlernen beinhaltet höhere Prozesse der Bildung mentaler Repräsentationen kritischer Attribute von Kategorien. Aktuelle Theorien betonen die Analyse von Merkmalen und die Bildung von Hypothesen über Konzepte (Merkmalsanalyse) sowie die Bildung verallgemeinerter Bilder von Konzepten, die nur einige definierende Merkmale enthalten (Prototypen). Prototypen können verwendet werden, um typische Instanzen von Konzepten zu klassifizieren, und die Merkmalsanalyse kann für weniger typische Instanzen verwendet werden. Es wurden Modelle des Konzepterwerbs und des Lehrens vorgeschlagen, und auch motivationale Prozesse sind an konzeptionellen Veränderungen beteiligt.

Problemlösen besteht aus einem Ausgangszustand, einem Ziel, Teilzielen und Operationen, die durchgeführt werden, um das Ziel und die Teilziele zu erreichen. Forscher haben die mentalen Prozesse von Lernenden untersucht, die sich mit Problemlösen beschäftigen, sowie die Unterschiede zwischen Experten und Novizen. Problemlösen wurde als Spiegelbild von Versuch und Irrtum, Einsicht und Heuristik betrachtet. Diese allgemeinen Ansätze können auf akademische Inhalte angewendet werden. Wenn Menschen Erfahrungen in einem Bereich sammeln, erwerben sie Wissen und Produktionssysteme oder Regelsätze, die strategisch angewendet werden, um Ziele zu erreichen. Problemlösen erfordert die Bildung einer mentalen Repräsentation des Problems und die Anwendung einer Produktion, um es zu lösen. Bei klar definierten Problemen, bei denen potenzielle Lösungen nach Wahrscheinlichkeit geordnet werden können, ist eine Generate-and-Test-Strategie nützlich. Für schwierigere oder weniger klar definierte Probleme wird die Mittel-Ziel-Analyse verwendet, die ein Rückwärts- oder Vorwärtsarbeiten erfordert. Andere Problemlösungsstrategien beinhalten analoges Denken und Brainstorming.

Transfer ist ein komplexes Phänomen. Historische Ansichten umfassen identische Elemente, mentale Disziplin und Verallgemeinerung. Aus kognitiver Sicht beinhaltet Transfer die Aktivierung von Gedächtnisstrukturen und tritt auf, wenn Informationen verknüpft sind. Es wird zwischen nahem und fernem, wörtlichem und figürlichem sowie Low-Road- und High-Road-Transfer unterschieden. Einige Formen des Transfers können automatisch ablaufen, aber vieles ist bewusst und beinhaltet Abstraktion. Wenn man den Schülern Feedback zur Nützlichkeit von Fähigkeiten und Strategien gibt, wird der Transfer wahrscheinlicher.

Die Technologie gewinnt im Bereich des Lernens und der Lehre immer mehr an Bedeutung. Zwei Bereiche, in denen ein rasantes Wachstum zu verzeichnen ist, sind computergestützte Lernumgebungen und Fernunterricht. Anwendungen mit computergestützten Umgebungen umfassen computergestützten Unterricht, Spiele und Simulationen, Hypermedia/Multimedia und E-Learning. Fernunterricht findet statt, wenn der Unterricht an einem Ort beginnt und an Schüler an einem oder mehreren entfernten Standorten übertragen wird. Interaktive Funktionen ermöglichen bidirektionales Feedback und synchrone Diskussionen. Fernunterricht beinhaltet oft Online- (webbasierten) asynchronen Unterricht, und Kurse können mit einem Blended Model organisiert werden (einige Präsenzunterricht und einige Online-Unterricht). Die Forschung zeigt Vorteile der Technologie für Metakognition, tiefe Verarbeitung und Problemlösung. Zukünftige Innovationen werden zu einer besseren Zugänglichkeit und interaktiven Fähigkeiten führen.

Inklusionen, die die in dieser Lektion zusammengefassten Prinzipien beinhalten, umfassen durchgearbeitete Beispiele, Schreiben und Mathematik. Durchgearbeitete Beispiele präsentieren Problemlösungen Schritt für Schritt und enthalten oft begleitende Diagramme. Durchgearbeitete Beispiele enthalten viele Funktionen, die das Problemlösen der Lernenden erleichtern. Schreiben erfordert das Verfassen und Überarbeiten. Experten planen Texte um ein Ziel der Bedeutungsvermittlung herum und behalten das Ziel während der Überarbeitung im Auge. Novizen neigen dazu, das aufzuschreiben, was sie sich über ein Thema merken können, anstatt sich auf ihr Ziel zu konzentrieren. Kinder zeigen frühe mathematische Kompetenz beim Zählen. Rechenfertigkeiten erfordern Algorithmen und deklaratives Wissen. Schüler verallgemeinern oft Verfahren (fehlerhafte Algorithmen). Schüler erwerben durch Erfahrung Kenntnisse über Problemtypen. Experten erkennen Typen und wenden die richtigen Produktionen an, um sie zu lösen (Vorwärtsarbeiten). Novizen arbeiten rückwärts, indem sie Formeln anwenden, die im Problem gegebene Größen enthalten.