Kognitiiviset oppimisprosessit: Opetukselliset sovellukset

Työesimerkit, joita käsiteltiin lyhyesti kurssillamme aiemmin, esittävät vaiheittaisia ongelmanratkaisuja ja sisältävät usein oheismateriaaleja. Ne kuvaavat asiantuntijan ongelmanratkaisumallin, jota oppijat voivat tutkia ennen kuin he alkavat jäljitellä sitä.

Työesimerkit heijastavat Andersonin ACT-R -teoriaa (Lee & Anderson, 2001), ja ne sopivat erityisen hyvin monimutkaisiin oppimisen muotoihin, kuten algebraan, fysiikkaan ja geometriaan (Atkinson et al., 2000, 2003). Uusien ja asiantuntijoiden mallia soveltaen tutkijat ovat havainneet, että asiantuntijat keskittyvät tyypillisesti ongelmien syvempiin (rakenteellisiin) näkökohtiin ja että aloittelijat käsittelevät useammin pintapuolisia piirteitä. Pelkkä harjoittelu on vähemmän tehokasta taitojen edistämisessä kuin harjoittelu yhdistettynä työesimerkkeihin (Atkinson et al., 2000).

Työesimerkit vaikuttavat hyödyllisimmiltä opiskelijoille taitojen hankinnan alkuvaiheissa, toisin kuin taitaville oppijoille, jotka hiovat taitojaan. Niiden soveltuvuus näkyy selvästi ACT-R -viitekehyksen nelivaiheisessa taitojen hankinnan mallissa (Anderson, Fincham & Douglass, 1997). Vaiheessa 1 oppijat käyttävät analogioita yhdistääkseen esimerkkejä ratkaistaviin ongelmiin. Vaiheessa 2 he kehittävät abstrakteja deklaratiivisia sääntöjä harjoittelun avulla. Vaiheen 3 aikana suorituskyky nopeutuu ja sujuvoituu, kun ongelmanratkaisun näkökohdat automatisoituvat. Vaiheessa 4 oppijoilla on muistissa monia ongelmatyyppejä, ja he voivat hakea sopivan ratkaisustrategian nopeasti kohdatessaan ongelman. Työesimerkkien käyttö sopii parhaiten vaiheen 1 ja alkuvaiheen 2 oppijoille. Myöhemmissä vaiheissa ihmiset hyötyvät harjoittelusta strategioiden hiomiseksi, vaikka jopa edistyneissä vaiheissa asiantuntijoiden ratkaisujen tutkiminen voi olla hyödyllistä.

Keskeinen opetuksellinen kysymys on, miten esimerkin osat, kuten kaavio, teksti ja auditiivinen tieto, integroidaan. On välttämätöntä, että työesimerkki ei ylikuormita oppijan työmuistia, minkä useat samanaikaisesti esitetyt tietolähteet voivat tehdä. Stull ja Mayer (2007) havaitsivat, että graafisten järjestäjien (samanlaisia kuin työesimerkit) tarjoaminen tuotti paremman ongelmanratkaisun siirron kuin oppijoiden omien rakentaminen. Jälkimmäinen tehtävä on saattanut aiheuttaa liiallista kognitiivista kuormitusta. Muut todisteet osoittavat, että työesimerkit voivat vähentää kognitiivista kuormitusta (Renkl, Hilbert & Schworm, 2009).

Tutkimus tukee ennustetta, että kaksoisesitys helpottaa oppimista paremmin kuin yksimuotoinen esitys (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). Tämä tulos on yhdenmukainen kaksoiskoodauksen teorian (Paivio, 1986) kanssa sillä varauksella, että liiallinen monimutkaisuus ei ole toivottavaa. Samoin alitavoitteiden kanssa sekoitetut esimerkit auttavat luomaan syviä rakenteita ja helpottavat oppimista.

Keskeinen asia on, että esimerkit, jotka sisältävät useita esitystapoja, tulisi yhdistää niin, että oppijoiden huomio ei jakaudu integroimattomien lähteiden kesken. Auditiivisten ja sanallisten selitysten tulisi osoittaa, mihin esimerkin näkökohtaan ne viittaavat, jotta oppijoiden ei tarvitse etsiä itse. Alitavoitteet tulisi merkitä selkeästi ja visuaalisesti eristää kokonaisesityksessä.

Toinen opetuksellinen kysymys koskee esimerkkien järjestämistä. Tutkimus tukee päätelmiä, että kaksi esimerkkiä on parempi kuin yksi, että vaihtelevat esimerkit ovat parempia kuin kaksi samantyyppistä ja että esimerkkien ja harjoitusten sekoittaminen on tehokkaampaa kuin oppitunti, jossa esitetään esimerkkejä, joita seuraavat harjoitustehtävät (Atkinson et al., 2000). Työesimerkkien asteittainen häivyttäminen opetuksellisessa järjestyksessä liittyy parempaan opiskelijoiden oppimisen siirtoon (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann ja Glaser (1989) havaitsivat, että opiskelijat, jotka antoivat itseselityksiä tutkiessaan esimerkkejä, saavuttivat myöhemmin korkeammalla tasolla verrattuna opiskelijoihin, jotka eivät selittäneet itse. Oletettavasti itseselitykset auttoivat opiskelijoita ymmärtämään ongelmien syvän rakenteen ja siten koodaamaan sen mielekkäämmin. Itseselitys on myös eräänlainen harjoittelu, ja harjoittelun hyöty oppimiselle on vakiintunut. Siksi opiskelijoita tulisi kannustaa selittämään itseään tutkiessaan työesimerkkejä, kuten verbalisoimalla alitavoitteita.

Toinen ongelma on, että työesimerkit voivat tuottaa passiivista oppimista, koska oppijat voivat käsitellä niitä pinnallisesti. Interaktiivisten elementtien, kuten kehotteiden tarjoaminen tai aukkojen jättäminen, jotka oppijoiden on täytettävä, johtaa aktiivisempaan kognitiiviseen käsittelyyn ja oppimiseen (Atkinson & Renkl, 2007). Animaatiot ovat myös hyödyllisiä (Wouters, Paas & van Merriënboer, 2008).

Yhteenvetona voidaan todeta, että on olemassa useita piirteitä, jotka yhdistettynä työesimerkkeihin auttavat oppijoita luomaan kognitiivisia skeemoja helpottamaan myöhempää suoritusta. Näitä opetuksellisia strategioita käytetään parhaiten taitojen oppimisen alkuvaiheissa. Harjoittelun avulla alkuperäisten kognitiivisten representaatioiden tulisi kehittyä asiantuntijoiden käyttämiksi hiotuiksi skeemoiksi.

Ehdotuksia työesimerkkien käyttämiseksi opetuksessa

• Esitä esimerkkejä lähellä ongelmia, jotka opiskelijat ratkaisevat.
• Esitä useita esimerkkejä, jotka osoittavat erityyppisiä ongelmia.
• Esitä tietoa eri modaliteeteissa (auditiivinen, visuaalinen).
• Ilmoita alitavoitteet esimerkeissä.
• Varmista, että esimerkit esittävät kaikki ongelmien ratkaisemiseen tarvittavat tiedot.
• Opettaa opiskelijoita selittämään itse esimerkkejä ja kannustaa itseselityksiä.
• Anna riittävästi harjoitusta ongelmatyypeille, jotta opiskelijat hiovat taitojaan.

Kirjoittaminen heijastaa monia kognitiivisia prosesseja, joita on käsitelty tällä kurssin osiolla. Hyviä kirjoittajia ei synny, vaan he kehittyvät; tehokas opetus on kriittistä kirjoitustaitojen kehittämiselle (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Nykyaikaiset mallit tarkastelevat kirjoittajien henkisiä prosesseja heidän osallistuessaan kirjoittamisen eri osa-alueisiin (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Tutkimuksen tavoitteena on määritellä asiantuntemus. Vertailemalla asiantuntijakirjoittajia aloittelijoihin tutkijat tunnistavat, miten heidän henkiset prosessinsa eroavat (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower ja Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) muotoilivat mallin, joka heijastaa Newellin ja Simonin (1972) kehittämää yleistä ongelmanratkaisun viitekehystä. Kirjoittajat määrittelevät ongelmatilan ja suorittavat operaatioita ongelman henkiselle esitykselleen saavuttaakseen tavoitteensa. Tämän mallin avainkomponentit ovat retorinen ongelma, suunnittelu, organisointi, tavoitteiden asettaminen, kääntäminen ja tarkistaminen.

Retorinen ongelma sisältää kirjoittajan aiheen, kohdeyleisön ja tavoitteet. Opiskelijoiden retorinen ongelma on usein hyvin määritelty. Opettajat antavat ainekirjoituksen aiheen, yleisö on opettaja, ja tavoite (esim. tiedottaa, vakuuttaa) on annettu; retorista ongelmaa ei kuitenkaan koskaan määrittele täysin joku muu kuin kirjoittaja. Kirjoittajat tulkitsevat ongelmia omalla tavallaan.

Kirjoittajan pitkäkestoisella muistilla (LTM) on ratkaiseva rooli. Kirjoittajat eroavat toisistaan tiedoissaan aiheesta, yleisöstä ja mekaniikasta (esim. kielioppi, oikeinkirjoitus, välimerkit). Kirjoittajat, jotka tuntevat aiheensa, sisältävät vähemmän asiaankuulumattomia lauseita, mutta enemmän aputoteamuksia (jotka on suunniteltu kehittämään pääkohtia) verrattuna vähemmän tietäviin kirjoittajiin (Voss, Vesonder & Spilich, 1980). Erot deklaratiivisessa tiedossa vaikuttavat kirjoittamisen laatuun.

Suunnitteluun kuuluu sisäisen tiedon esityksen muodostaminen, jota käytetään kirjoittamisessa. Sisäinen esitys on yleensä abstraktimpi kuin varsinainen kirjoitus. Suunnittelu sisältää useita prosesseja, kuten ideoiden luomisen hakemalla asiaankuuluvaa tietoa muistista tai muista lähteistä. Nämä ideat voivat olla hyvin muotoiltuja tai hajanaisia.

Suunnittelussa on suuria yksilöllisiä eroja. Lasten kirjoittaminen muistuttaa tyypillisesti "tiedon kertomista" (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). He noudattavat usein "hae ja kirjoita" -strategiaa käyttämällä LTM:ää vihjeenä ja kirjoittamalla mitä he tietävät. Lapset suunnittelevat ja tarkistavat vähän ja kääntävät paljon. Vaikka vanhemmat kirjoittajat myös hakevat sisältöä LTM:stä, he tekevät sen osana suunnittelua, minkä jälkeen he arvioivat sen sopivuutta ennen kääntämistä. Lasten hakeminen ja kääntäminen on integroitu saumattomasti (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Nuoret lapset tuottavat vähemmän ideoita kuin vanhemmat (Scardamalia & Bereiter, 1986). He hyötyvät kehotuksista (esim. "Voitko kirjoittaa vielä jotain?"). Englert, Raphael, Anderson, Anthony ja Stevens (1991) osoittivat, että neljäsluokkalaisten ja viidesluokkalaisten kirjoittaminen parani, kun he altistuivat opettajille, jotka mallinsivat metakognitiivisia komponentteja (esim. mitkä strategiat olivat hyödyllisiä, milloin ja miksi ne olivat hyödyllisiä) ja kun heitä opetettiin luomaan kysymyksiä suunnittelun aikana. Vanhemmat ja paremmat kirjoittajat käyttävät enemmän sisäisiä kehotteita. He etsivät asiaankuuluvia aiheita LTM:stä ja arvioivat tietoa ennen kuin alkavat kirjoittaa. Opettajat voivat edistää ideoiden luomista kehottamalla oppilaita ajattelemaan ideoita (Bruning et al., 2004).

Organisointi välittyy lauseen osien välisen koheesion ja lauseiden välisen johdonmukaisuuden kautta. Koheesiviset keinot sitovat ideoita yhteen pronomineilla, määräisillä artikkeleilla, konjunktioilla ja sanojen merkityksillä. Nuorilla lapsilla on enemmän vaikeuksia koheesion kanssa, mutta taitamattomat kirjoittajat missä tahansa iässä käyttävät koheesiota vähemmän hyvin. Kehityseroja löytyy myös johdonmukaisuudesta. Nuorilla ja huonoilla kirjoittajilla on vaikeuksia yhdistää lauseita toisiinsa ja aiheeseen liittyvään lauseeseen (McCutchen & Perfetti, 1982).

Tärkein aliprosessi on tavoitteiden asettaminen. Tavoitteet ovat sisällöllisiä (mitä kirjoittaja haluaa viestiä) ja menettelyllisiä (miten kommunikoida tai miten kohdat tulisi ilmaista). Hyvät kirjoittajat muuttavat usein tavoitteitaan sen perusteella, mitä he tuottavat. Kirjoittajilla on tavoitteita mielessä ennen kirjoittamista, mutta edetessään he saattavat huomata, että tietty tavoite ei ole oleellinen sävellyksen kannalta. Uusia tavoitteita ehdotetaan varsinaisessa kirjoituksessa.

Taitavien kirjoittajien ensisijainen tavoite on viestiä merkitystä, kun taas huonot kirjoittajat harjoittavat usein assosiatiivista kirjoittamista (Bereiter, 1980). He saattavat uskoa, että kirjoittamisen tavoitteena on oksentaa kaikki, mitä he tietävät aiheesta; järjestys on vähemmän tärkeä kuin kattavuus. Toinen vähemmän taitavien kirjoittajien tavoite on välttää virheitä. Kun hyviä kirjoittajia pyydetään arvostelemaan omaa kirjoitustaan, he keskittyvät siihen, miten hyvin he välittivät aikeensa, kun taas huonot kirjoittajat mainitsevat pintapuolisia näkökohtia (esim. oikeinkirjoitus, välimerkit) useammin.

Kääntäminen viittaa omien ideoiden painamiseen. Lapsille ja kokemattomille kirjoittajille kääntäminen kuormittaa usein WM:ää. Heidän on pidettävä mielessä tavoitteensa, ideat, jotka he haluavat ilmaista, sekä tarvittava organisaatio ja mekaniikka. Hyvät kirjoittajat ovat vähemmän huolissaan pintaominaisuuksista kääntämisen aikana; he keskittyvät enemmän merkitykseen ja korjaavat pintaongelmat myöhemmin. Huonot kirjoittajat keskittyvät enemmän pintaominaisuuksiin ja kirjoittavat hitaammin kuin hyvät kirjoittajat. Paremmat kirjoittajat ottavat huomioon tyylilliset ja pintaominaisuudet, kun he pitävät taukoja kirjoittamisen aikana. Huonommat kirjoittajat hyötyvät, kun he lukevat kirjoittamansa, kun he valmistautuvat kirjoittamaan.

Tarkistaminen koostuu arvioinnista ja muokkaamisesta. Tarkistaminen tapahtuu, kun kirjoittajat lukevat kirjoittamansa ennakkoedellytyksenä lisäkääntämiselle tai systemaattiselle arvioinnille ja muokkaamiselle (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Tarkistamisen aikana kirjoittajat arvioivat ja muokkaavat suunnitelmia ja muuttavat myöhempää kirjoittamista.

Nämä prosessit ovat tärkeitä, koska kirjoittajat saattavat viettää jopa 70 % kirjoitusajastaan taukoilla (Flower & Hayes, 1981), josta suuri osa vietetään lausetason suunnitteluun. Kirjoittajat lukevat kirjoittamansa uudelleen ja päättävät, mitä sanoa seuraavaksi. Nämä alhaalta ylöspäin -prosessit rakentavat sävellyksen osio kerrallaan. Kun tällainen rakentaminen on suoritettu yleissuunnitelma mielessä pitäen, sävellys heijastaa edelleen kirjoittajien tavoitteita.

Huonot kirjoittajat luottavat tyypillisesti alhaalta ylöspäin -kirjoittamiseen. Taukojen aikana hyvät kirjoittajat osallistuvat retoriseen suunnitteluun, joka ei liity suoraan siihen, mitä he ovat tuottaneet. Tällainen suunnittelu heijastaa ylhäältä alaspäin -näkymää kirjoittamisesta ongelmanratkaisuprosessina; kirjoittajat pitävät yleistavoitteen mielessä ja suunnittelevat, miten se saavutetaan, tai päättävät, että heidän on muutettava sitä. Suunnittelu sisältää sisällön (päätetään, mistä aiheesta keskustellaan) ja tyylin (päätetään muuttaa tyyliä lisäämällä anekdootti). Tämä suunnittelu kattaa lausetason suunnittelun ja on ominaista kypsille kirjoittajille (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Lapset saattavat tehdä vähän muokkauksia ilman opettajan tai vertaistuen tukea (Fitzgerald, 1987). Opiskelijat hyötyvät opetuksesta, joka on suunniteltu parantamaan heidän kirjoituksensa laatua. Fitzgerald ja Markham (1987) antoivat keskimääräisille kuudesluokkalaisille kirjoittajille opetusta muokkaustyypeistä: lisäykset, poistot, korvaukset ja uudelleenjärjestelyt. Opettaja selitti ja mallinsi jokaisen muokkausstrategian, minkä jälkeen oppilaat työskentelivät pareittain (vertaiskonferenssit). Opetus paransi oppilaiden tietoa muokkausprosesseista ja heidän varsinaisia muokkauksiaan. Beal, Garrod ja Bonitatibus (1990) havaitsivat, että kolmas- ja kuudesluokkalaisten opettaminen itsensä kyselevällä strategialla (esim. "Mitä tarinassa tapahtuu?") johti huomattavasti suurempaan tekstin muokkaamiseen.

Arviointitaidot kehittyvät aiemmin kuin muokkaustaidot. Vaikka neljäsluokkalaiset tunnistavat kirjoitusongelmia, he eivät välttämättä korjaa niitä onnistuneesti yhtä usein kuin 70 % ajasta (Scardamalia & Bereiter, 1983). Kun lapset korjaavat ongelmia, huonot kirjoittajat muokkaavat oikeinkirjoitus- ja välimerkkivirheitä, kun taas paremmat kirjoittajat muokkaavat tyylisyistä (Birnbaum, 1982).

Kirjoittamisen monimutkaisuuden vuoksi taitojen hankintaa on parempi luonnehtia sujuvuuden kehittämisenä kuin automaattisuutena (McCutchen, 1995). Automaattisista prosesseista tulee rutiininomaisia ja ne vaativat vähän huomio- tai WM-resursseja, kun taas sujuvat prosessit – vaikka ne ovat nopeita ja resurssitehokkaita – ovat harkittuja ja niitä voidaan muuttaa "verkossa". Hyvät kirjoittajat noudattavat suunnitelmia, mutta muokkaavat niitä kirjoittaessaan. Jos tämä prosessi olisi automaattinen, kirjoittajien suunnitelmia – kerran hyväksyttyjä – noudatettaisiin keskeytyksettä. Vaikka kirjoittamisen komponenttitaidot (ts. oikeinkirjoitus, sanasto) tulevat usein automaattisiksi, koko prosessi ei.

Matematiikka on ollut hedelmällinen kognitiivisen ja konstruktivistisen tutkimuksen alue (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe ym., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss ym., 1995). Tutkijat ovat tutkineet, kuinka oppijat konstruoivat tietoa, kuinka asiantuntijat ja aloittelijat eroavat toisistaan ja mitkä opetusmenetelmät ovat tehokkaimpia (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Opetuksen parantaminen on tärkeää, koska niin monilla opiskelijoilla on vaikeuksia oppia matematiikkaa.

Tyypillisesti tehdään ero matemaattisen laskennan (sääntöjen, menettelyjen ja algoritmien käyttö) ja käsitteiden (ongelmanratkaisu ja strategioiden käyttö) välillä. Laskennalliset ja käsitteelliset ongelmat edellyttävät opiskelijoilta sääntöihin ja algoritmeihin liittyvien tuotosten toteuttamista. Näiden kahden luokan välinen ero piilee siinä, kuinka eksplisiittisesti ongelma kertoo opiskelijoille, mitä operaatioita suorittaa. Seuraavat ovat laskennallisia ongelmia.

• Ratkaise x ja y.
• Mikä on sen suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus, jonka sivut ovat 3 ja 4 tuumaa?

Vaikka opiskelijoille ei eksplisiittisesti kerrota, mitä tehdä ongelmissa 2 ja 3, ongelman muodon tunnistaminen ja menettelyjen tunteminen johtavat heidät suorittamaan oikeat operaatiot.

Vertaa nyt näitä ongelmia seuraaviin:

• Alexilla on 20 kolikkoa, jotka koostuvat dimeistä ja quartereista. Jos quarterit olisivat dimejä ja dimet olisivat quartereita, hänellä olisi 90 senttiä enemmän kuin hänellä on nyt. Kuinka paljon rahaa Alexilla on?
• Jos matkustajajuna käyttää kaksi kertaa niin kauan aikaa tavarajunan ohittamiseen sen jälkeen, kun se on ensin ohittanut tavarajunan, kuin mitä kahdella junalla kuluu toistensa ohittamiseen vastakkaisiin suuntiin kuljettaessa, kuinka monta kertaa nopeampi matkustajajuna on kuin tavarajuna?
• Vaeltaessaan Shana pystyy etenemään keskimäärin 2 mph ylämäkeen ja 6 mph alamäkeen. Jos hän menee ylämäkeen ja alamäkeen eikä vietä aikaa huipulla, mikä on hänen keskinopeutensa koko matkan aikana?

Nämä sanalliset ongelmat eivät eksplisiittisesti kerro opiskelijoille, mitä tehdä, mutta ne vaativat laskutoimituksia, jotka eivät ole yhtään vaikeampia kuin ensimmäisessä joukossa tarvittavat.

Sanallisten ongelmien ratkaiseminen edellyttää niiden ongelmamuotojen tunnistamista, asianmukaisten tuotosten luomista ja laskutoimitusten suorittamista.

Tämä ei tarkoita, että käsitteellinen asiantuntemus olisi parempi kuin laskennallinen pätevyys, vaikka Rittle-Johnson ja Alibali (1999) havaitsivat, että käsitteellisellä ymmärryksellä oli suurempi vaikutus prosessuaaliseen tietoon kuin päinvastoin. Puutteet kummallakin alueella aiheuttavat ongelmia. Ongelman ratkaisemisen ymmärtäminen, mutta kykenemättömyys suorittaa laskutoimituksia johtaa vääriin vastauksiin, samoin kuin laskennallisesti pätevä oleminen, mutta kykenemättömyys hahmottaa ongelmia.

Laskenta

Varhaisin laskennallinen taito, jota lapset käyttävät, on laskeminen (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Lapset laskevat esineitä sormillaan ja päässään käyttäen strategiaa (Groen & Parkman, 1972). Summamalli sisältää hypoteettisen laskurin asettamisen nollaan, ensimmäisen yhteenlaskettavan laskemisen yhden yksikön lisäyksin ja sitten toisen yhteenlaskettavan laskemisen vastauksen saamiseksi. Ongelmassa “2 + 4 = ?” lapset saattavat laskea 0:sta 2:een ja sitten laskea 4 lisää. Tehokkaampi strategia on asettaa laskuri ensimmäiseen yhteenlaskettavaan (2) ja sitten laskea toinen yhteenlaskettava (4) yhden yksikön lisäyksin. Vielä tehokkaampi on minimimalli: Aseta laskuri kahden yhteenlaskettavan suurempaan (4) ja sitten laske pienempi yhteenlaskettava (2) yhden yksikön lisäyksin (Romberg & Carpenter, 1986).

Nämäntyyppiset kehitetyt menettelyt ovat onnistuneita. Lapset ja aikuiset kehittävät usein menettelyjä matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi. Virheet eivät yleensä ole satunnaisia, vaan heijastavat virheellisiä algoritmeja tai systemaattisia virheitä ajattelussa ja päättelyssä (Brown & Burton, 1978). Virheelliset algoritmit heijastavat konstruktivistista olettamusta, jonka mukaan opiskelijat muodostavat menettelyjä kokemustensa tulkinnan perusteella. Yleinen virhe vähennyslaskussa on vähentää pienempi luku suuremmasta luvusta jokaisessa sarakkeessa, suunnasta riippumatta, seuraavasti:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Matemaattiset virheet kehittyvät todennäköisesti, kun opiskelijat kohtaavat uusia ongelmia ja yleistävät tuotokset virheellisesti. Esimerkiksi vähennyslaskussa ilman uudelleenryhmittelyä opiskelijat vähentävät pienemmän luvun suuremmasta yhden sarakkeen kerrallaan. On helppo nähdä, kuinka he voisivat yleistää tämän menettelyn ongelmiin, jotka edellyttävät uudelleenryhmittelyä. Virheelliset algoritmit ovat kestäviä ja voivat juurruttaa opiskelijoihin vääränlaisen itsetehokkuuden tunteen, ehkä siksi, että heidän laskutoimituksensa tuottavat vastauksia.

Toinen laskennallisten vaikeuksien lähde on puutteellinen deklaratiivinen tieto numerofaktoista. Monet lapset eivät tunne perustietoja ja osoittavat puutteita numeerisessa prosessoinnissa (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent & Numtee, 2007). Kunnes faktat vakiintuvat pitkäkestoiseen muistiin harjoittelun avulla, lapset laskevat tai laskevat vastauksia. Faktatietojen hakunopeus muistista on suoraan yhteydessä yleiseen matemaattiseen suoritukseen opiskelijoilla peruskoulusta korkeakouluun (Royer, Tronsky, Chan, Jackson & Marchant, 1999). Laskennallinen taito paranee kehityksen myötä yhdessä työmuistin ja pitkäkestoisen muistin ominaisuuksien kanssa (Mabbott & Bisanz, 2003).

Monet laskutoimitusten vaikeudet johtuvat ylikompleksisten, mutta teknisesti oikeiden tuotosten käyttämisestä ongelmien ratkaisemiseen. Tällaiset menettelyt tuottavat oikeita vastauksia, mutta koska ne ovat monimutkaisia, laskennallisten virheiden riski on suuri. Ongelma 256 jaettuna 5:llä voidaan ratkaista jakolaskualgoritmilla tai vähentämällä peräkkäin 5 luvusta 256 ja laskemalla vähennysten lukumäärä. Jälkimmäinen menettely on teknisesti oikea, mutta tehoton ja sillä on suuri virheen todennäköisyys.

Oppijat esittävät aluksi laskennallisen taidon deklaratiivisena tietona propositionaalisessa verkossa. Eri vaiheisiin (esim. algoritmissa) liittyvät faktat tallennetaan muistiin mieliharjoitusten ja avoimen harjoittelun avulla. Tuotanto, joka ohjaa suoritusta tässä vaiheessa, on yleinen; esimerkiksi: “Jos tavoitteena on ratkaista tämä jakolaskuongelma, käytä sitten opettajan meille opettamaa menetelmää.” Lisäharjoittelun myötä deklaratiivinen esitys muuttuu toimialakohtaiseksi prosessuaaliseksi esitykseksi ja automatisoituu lopulta. Varhaiset laskentastrategiat korvataan tehokkaammilla sääntöpohjaisilla strategioilla (Hopkins & Lawson, 2002). Automaattisessa vaiheessa oppijat tunnistavat nopeasti ongelmakuvion (esim. jakolaskuongelma, neliöjuuriongelma) ja toteuttavat menettelyn ilman paljon tietoista harkintaa.

Ongelmanratkaisu edellyttää, että opiskelijat ensin esittävät ongelman tarkasti sisältäen annetut tiedot ja tavoitteen, ja sitten valitsevat ja soveltavat ongelmanratkaisustrategian (Mayer, 1985, 1999). Ongelman kääntäminen kielellisestä esityksestään mentaaliseen esitykseen on usein vaikeaa (Bruning ym., 2004). Mitä abstraktimpaa kieli on, sitä vaikeampaa tekstin ymmärtäminen on ja sitä pienempi on ratkaisun todennäköisyys (Cummins, Kintsch, Reusser & Weimer, 1988). Opiskelijat, joilla on vaikeuksia ymmärtämisessä, muistavat tietoja huonommin ja suoriutuvat heikommin. Tämä pätee erityisesti nuorempiin lapsiin, joilla on vaikeuksia abstraktien kielellisten esitysten kääntämisessä.

Kääntäminen edellyttää myös hyvää deklaratiivista ja proseduraalista tietoa. Aiemman Alexia ja 20 kolikkoa koskevan ongelman ratkaiseminen edellyttää tietoa siitä, että sentit ja quarterit ovat kolikoita, että sentti on yksi kymmenesosa ($0.10) yhdestä dollarista ja että quarter on yksi neljäsosa ($0.25) yhdestä dollarista. Tämä deklaratiivinen tieto on yhdistettävä proseduraaliseen ymmärrykseen siitä, että sentit ja quarterit ovat muuttujia siten, että senttien määrä plus quarterien määrä on 20.

Yksi syy siihen, miksi asiantuntijat kääntävät ongelmia paremmin, on se, että heidän tietonsa on paremmin järjestetty pitkäkestoiseen muistiin (LTM); organisaatio heijastaa aiheen taustalla olevaa rakennetta (Romberg & Carpenter, 1986). Asiantuntijat jättävät huomiotta ongelman pintapuoliset piirteet ja analysoivat sen ratkaisun edellyttämien operaatioiden kannalta. Aloittelijat ovat enemmän pintapuolisten piirteiden vaikutuksen alaisia. Silver (1981) havaitsi, että hyvät ongelmanratkaisijat järjestivät ongelmat ratkaisun edellyttämän prosessin mukaan, kun taas huonot ongelmanratkaisijat ryhmittelivät todennäköisemmin ongelmia samankaltaisen sisällön mukaan (esim. raha, junat).

Ongelman kääntämisen ja luokittelun lisäksi asiantuntijat ja aloittelijat eroavat tuotannoissa (Greeno, 1980). Aloittelijat omaksuvat usein taaksepäin työskentelystrategian, aloittaen tavoitteesta ja työskennellen takaisin annettuihin tietoihin. Tämä on hyvä heuristiikka, joka on hyödyllinen oppimisen alkuvaiheessa, kun oppijat ovat hankkineet jonkin verran aluetietämystä, mutta eivät ole riittävän päteviä tunnistamaan ongelmamuotoja nopeasti.

Sitä vastoin asiantuntijat työskentelevät usein eteenpäin. He tunnistavat ongelmatyypin ja valitsevat sopivan tuotannon ongelman ratkaisemiseksi. Hegarty, Mayer ja Monk (1995) havaitsivat, että onnistuneet ongelmanratkaisijat käyttivät ongelmamallilähestymistapaa, kääntäen ongelman mentaaliseksi malliksi, jossa ongelmanlausuman numerot oli sidottu niiden muuttujanimiin. Sitä vastoin vähemmän onnistuneet ratkaisijat käyttivät todennäköisemmin suoraa käännöslähestymistapaa, yhdistäen ongelman numerot aritmeettisiin operaatioihin, jotka avainsanat laukaisivat (esim. yhteenlasku on operaatio, joka on yhdistetty avainsanaan “lisää”). Jälkimmäinen strategia on pinnallinen ja perustuu pintapuolisiin piirteisiin, kun taas entinen strategia on paremmin sidoksissa merkityksiin.

Asiantuntijat kehittävät kehittyneitä proseduraalisia tietoja matemaattisten ongelmien luokittelemiseksi tyypin mukaan. Lukion algebraongelmat jaetaan karkeasti 20 yleiseen luokkaan, kuten liike, virta, kolikot ja korko/sijoitus (Mayer, 1992). Nämä luokat voidaan yhdistää kuuteen pääryhmään. Esimerkiksi määrä per aika -ryhmä sisältää liike-, virta- ja työongelmat. Nämä ongelmat ovat ratkaistavissa yleisellä kaavalla: määrä = nopeus aika. Matemaattisen ongelmanratkaisun asiantuntemuksen kehittäminen riippuu ongelman luokittelusta oikeaan ryhmään ja sitten strategian soveltamisesta. Ongelmanratkaisun vaiheiden verbalisointi auttaa kehittämään pätevyyttä (Gersten ym., 2009).

Monet teoreetikot väittävät, että konstruktivismi on käyttökelpoinen malli selittämään, miten matematiikkaa opitaan (Ball ym., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Matemaattista tietoa ei omaksuta passiivisesti ympäristöstä, vaan yksilöt rakentavat sen vuorovaikutustensa seurauksena. Tähän rakennusprosessiin sisältyy myös lasten kehittämät menettelytavat, jotka sisältävät implisiittisiä sääntöjä.

Seuraava epätavallinen esimerkki havainnollistaa sääntöperustaista menettelytapojen keksimistä. Jonkin aikaa sitten työskentelin opettajan kanssa tunnistaakseni hänen luokastaan lapsia, jotka saattaisivat hyötyä lisäopetuksesta jakolaskussa. Hän nimesi useita oppilaita ja sanoi, että Timkin saattaisi olla pätevä, mutta hän ei ollut varma. Joinain päivinä hän laski tehtävänsä oikein, kun taas toisina päivinä hänen työnsä oli virheellistä eikä siinä ollut mitään järkeä. Annoin hänelle tehtäviä ratkaistavaksi ja pyysin häntä verbalisoimaan työskentelyn aikana, koska olin kiinnostunut siitä, mitä lapset ajattelivat tehtäviä ratkaistessaan. Tim sanoi näin: “Tehtävä on 17 jaettuna 436:lla. Aloitan tehtävän siltä puolelta, joka on lähinnä ovea . . .” Silloin ymmärsin, miksi joinain päivinä hänen työnsä oli tarkkaa ja toisina päivinä ei. Se riippui siitä, kumpi hänen vartalonsa puoli oli lähempänä ovea!

Tiedon rakentamisprosessi alkaa esikouluvuosina (Resnick, 1989). Geary (1995) erotti biologisesti primaariset (biologisesti pohjautuvat) kyvyt biologisesti sekundaarisista (kulttuurillisesti opetetuista) kyvyistä. Biologisesti primaariset kyvyt perustuvat neurobiologisiin järjestelmiin, jotka ovat kehittyneet tietyissä ekologisissa ja sosiaalisissa nicheissä ja jotka palvelevat selviytymiseen tai lisääntymiseen liittyviä toimintoja. Niiden pitäisi näkyä kulttuurien välillä, kun taas biologisesti sekundaaristen kykyjen pitäisi osoittaa suurempaa kulttuurista erityisyyttä (esim. koulunkäynnin funktiona). Lisäksi monien edellisistä pitäisi näkyä hyvin nuorilla lapsilla. Todellakin, laskeminen on luonnollinen aktiviteetti, jota esikoululaiset tekevät ilman suoraa opetusta (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Jopa vauvat voivat olla herkkiä numerojen eri ominaisuuksille (Geary, 1995). Esikoululaiset osoittavat kasvavaa numeerista pätevyyttä, joka sisältää osa–kokonaisuus-additiivisuuden käsitteet ja muutokset määrien lisääntymisinä/vähennyksinä. Käsitteellinen muutos etenee nopeasti alkuvuosien aikana (Resnick, 1989). Lasten opettaminen käyttämään kaaviokuvioita sanallisten ongelmien esittämiseen helpottaa ongelmanratkaisua (Fuson & Willis, 1989).

Matemaattinen pätevyys riippuu myös sosiokulttuurisesta vaikutuksesta (Cobb, 1994). Vygotsky (1978) korosti pätevien muiden henkilöiden roolia lähikehityksen vyöhykkeellä (ZPD). Vastakohtana konstruktivistiselle painotukselle yksittäisten opiskelijoiden kognitiivisiin uudelleenorganisaatioihin, sosiokulttuuriset teoreetikot kannattavat kulttuurisia käytäntöjä—erityisesti sosiaalisia vuorovaikutuksia (Cobb, 1994). Sosiokulttuurinen vaikutus sisällytetään esimerkiksi vertaisopetuksen, ohjaustelineiden ja oppisopimuskoulutuksen kaltaisten toimintojen kautta.

Tutkimus tukee ajatusta siitä, että sosiaaliset vuorovaikutukset ovat hyödyllisiä. Rittle-Johnson ja Star (2007) havaitsivat, että seitsemäsluokkalaisten matemaattinen taito parani, kun heidän annettiin verrata ratkaisumenetelmiä kumppaneiden kanssa. Springerin, Stannen ja Donovanin (1999) kirjallisuuskatsauksen tulokset osoittivat, että pienryhmäoppiminen nosti merkittävästi korkeakouluopiskelijoiden saavutuksia matematiikassa ja luonnontieteissä. Kramarski ja Mevarech (2003) havaitsivat, että yhteistoiminnallisen oppimisen yhdistäminen metakognitiiviseen opetukseen (esim. pohditaan asiaankuuluvia käsitteitä, päätetään sopivista käytettävistä strategioista) nosti kahdeksasluokkalaisten matemaattista päättelyä enemmän kuin kumpikaan menettely yksinään. Näiden yhteistoiminnallisen oppimisen etujen lisäksi (Stein & Carmine, 1999), matematiikan vertais- ja ikärajat ylittävän tutoroinnin kirjallisuus osoittaa, että se on tehokasta lasten saavutusten nostamisessa (Robinson, Schofield & Steers-Wentzell, 2005). Konstruktivistisen ja sosiokulttuurisen näkökulman koordinointi on mahdollista; opiskelijat voivat kehittää tietoa sosiaalisten vuorovaikutusten kautta, mutta sitten idioottisesti rakentaa kyseisen tiedon käyttötapoja.

Kognitiiviset ja konstruktivistiset oppimisprosessit pätevät oppimisen perusmuotoihin, mutta ne saavat suuremman merkityksen monimutkaisessa oppimisessa. Kompetenssin kehittäminen akateemisella alalla edellyttää alan tosiasioiden, periaatteiden ja käsitteiden tuntemusta sekä yleisiä strategioita, joita voidaan soveltaa eri aloilla, ja erityisstrategioita, jotka liittyvät kuhunkin alaan. Tutkimukset ovat tunnistaneet monia eroja asiantuntijoiden ja aloittelijoiden välillä tietyllä alalla.

Ehdollinen tieto on tietämistä, milloin ja miksi käyttää deklaratiivista ja proseduraalista tietoa. Pelkkä tietäminen, mitä tehdä ja miten se tehdään, ei tuota menestystä. Opiskelijoiden on myös ymmärrettävä, milloin tieto ja menettelyt ovat hyödyllisiä. Ehdollinen tieto todennäköisimmin tallentuu pitkäkestoiseen muistiin (LTM) propositioina, jotka liittyvät muuhun deklaratiiviseen ja proseduraaliseen tietoon. Metakognitio viittaa henkisten toimintojen tietoiseen ja tarkoitukselliseen hallintaan. Metakognitio sisältää tietoa ja seurantatoimia, jotka on suunniteltu varmistamaan tehtävien onnistunut suorittaminen. Metakognitio alkaa kehittyä noin 5–7 vuoden iässä ja jatkuu koko koulunkäynnin ajan. Oman metakognitiivisen tietoisuuden riippuu tehtävästä, strategiasta ja oppijan muuttujista. Oppijat hyötyvät metakognitiivisesta toiminnasta annettavasta opetuksesta.

Käsitteiden oppiminen sisältää korkeamman asteen prosesseja, joissa muodostetaan henkisiä esityksiä luokkien kriittisistä ominaisuuksista. Nykyiset teoriat korostavat piirteiden analysointia ja hypoteesien muodostamista käsitteistä (piirreanalyysi) sekä yleistettyjen mielikuvien muodostamista käsitteistä, jotka sisältävät vain joitain määrittäviä piirteitä (prototyypit). Prototyyppejä voidaan käyttää luokittelemaan tyypillisiä esimerkkejä käsitteistä, ja piirreanalyysiä voidaan käyttää vähemmän tyypillisiin esimerkkeihin. Käsitteiden hankinnan ja opettamisen malleja on ehdotettu, ja myös motivationaaliset prosessit ovat mukana käsitteellisen muutoksen yhteydessä.

Ongelmanratkaisu koostuu alkutilasta, tavoitteesta, alatavoitteista ja toiminnoista, jotka suoritetaan tavoitteen ja alatavoitteiden saavuttamiseksi. Tutkijat ovat tutkineet ongelmanratkaisuun osallistuvien oppijoiden henkisiä prosesseja ja asiantuntijoiden ja aloittelijoiden välisiä eroja. Ongelmanratkaisun on nähty heijastavan yritystä ja erehdystä, oivallusta ja heuristiikkaa. Näitä yleisiä lähestymistapoja voidaan soveltaa akateemiseen sisältöön. Kun ihmiset saavat kokemusta joltakin alalta, he hankkivat tietoa ja tuotantojärjestelmiä eli sääntöjä, joita sovelletaan strategisesti tavoitteiden saavuttamiseksi. Ongelmanratkaisu edellyttää ongelman henkisen esityksen muodostamista ja tuotannon soveltamista sen ratkaisemiseksi. Hyvin määritellyissä ongelmissa, joissa potentiaaliset ratkaisut voidaan järjestää todennäköisyyden mukaan, generoi-ja-testaa-strategia on hyödyllinen. Vaikeammissa tai vähemmän määritellyissä ongelmissa käytetään keinojen ja päämäärien analyysiä, joka edellyttää taaksepäin tai eteenpäin työskentelyä. Muita ongelmanratkaisustrategioita ovat analoginen päättely ja aivoriihitykset.

Transferenssi on monimutkainen ilmiö. Historiallisia näkemyksiä ovat identtiset elementit, henkinen kurinalaisuus ja yleistäminen. Kognitiivisesta näkökulmasta transferenssi sisältää muistirakenteiden aktivoinnin ja tapahtuu, kun tieto on linkitetty. Erot tehdään lähellä ja kaukana, kirjaimellinen ja kuvaannollinen sekä matalan ja korkean tien transferenssin välillä. Jotkin transferenssin muodot voivat tapahtua automaattisesti, mutta suuri osa on tietoista ja sisältää abstrahointia. Opiskelijoille annettava palaute taitojen ja strategioiden hyödyllisyydestä tekee transferenssista todennäköisemmän.

Teknologian merkitys oppimisessa ja opetuksessa kasvaa jatkuvasti. Kaksi aluetta, joilla on tapahtunut nopeaa kasvua, ovat tietokonepohjaiset oppimisympäristöt ja etäopiskelu. Tietokonepohjaisia ympäristöjä hyödyntäviä sovelluksia ovat tietokonepohjainen opetus, pelit ja simulaatiot, hypermedia/multimedia ja verkko-oppiminen. Etäopiskelua tapahtuu, kun opetus on peräisin yhdestä paikasta ja se välitetään opiskelijoille yhteen tai useampaan etäpaikkaan. Interaktiiviset ominaisuudet mahdollistavat kaksisuuntaisen palautteen ja synkroniset keskustelut. Etäopiskelu sisältää usein verkossa (Web-pohjaisen) asynkronisen opetuksen, ja kurssit voidaan järjestää käyttämällä yhdistettyä mallia (osa lähiopetusta ja osa verkko-opetusta). Tutkimukset osoittavat teknologian hyödyt metakognitiolle, syvälliselle käsittelylle ja ongelmanratkaisulle. Tulevat innovaatiot johtavat suurempaan saavutettavuuteen ja interaktiivisiin ominaisuuksiin.

Tähän oppituntiin sisältyvät periaatteet sisältävät työstettyjä esimerkkejä, kirjoittamista ja matematiikkaa. Työstetyt esimerkit esittävät ongelmaratkaisut vaihe vaiheelta ja sisältävät usein oheisia kaavioita. Työstetyt esimerkit sisältävät monia ominaisuuksia, jotka helpottavat oppijoiden ongelmanratkaisua. Kirjoittaminen edellyttää säveltämistä ja tarkistamista. Asiantuntijat suunnittelevat tekstin merkityksen välittämisen tavoitteen ympärille ja pitävät tavoitteen mielessä tarkistamisen aikana. Aloittelijat kirjoittavat yleensä sen, mitä he muistavat aiheesta, sen sijaan että keskittyisivät tavoitteeseensa. Lapset osoittavat varhaista matemaattista osaamista laskemisen avulla. Laskentataidot edellyttävät algoritmeja ja deklaratiivista tietoa. Opiskelijat yleistävät usein menettelyjä liikaa (virheelliset algoritmit). Opiskelijat hankkivat tietoa ongelmatyypeistä kokemuksen kautta. Asiantuntijat tunnistavat tyypit ja soveltavat oikeita tuotantoja niiden ratkaisemiseksi (eteenpäin työskentely). Aloittelijat työskentelevät taaksepäin soveltamalla kaavoja, jotka sisältävät ongelmassa annettuja määriä.