Когнітивні процеси навчання: Застосування в навчанні

Практичні приклади, які коротко обговорювалися на нашому курсі раніше, представляють поетапні рішення проблем і часто включають супровідні діаграми. Вони відображають модель розв'язання проблем експертом для вивчення учнями, перш ніж вони почнуть її наслідувати.

Практичні приклади відображають теорію ACT-R Андерсона (Lee & Anderson, 2001) і особливо підходять для складних форм навчання, таких як алгебра, фізика та геометрія (Atkinson et al., 2000, 2003). Застосовуючи модель новачок-експерт, дослідники виявили, що експерти зазвичай зосереджуються на глибших (структурних) аспектах проблем, а новачки частіше мають справу з поверхневими ознаками. Сама лише практика є менш ефективною для розвитку навичок, ніж практика в поєднанні з практичними прикладами (Atkinson et al., 2000).

Практичні приклади здаються найбільш корисними для студентів на ранніх етапах набуття навичок, на відміну від досвідчених учнів, які вдосконалюють навички. Їх застосовність чітко простежується в чотириетапній моделі набуття навичок у рамках ACT-R (Anderson, Fincham, & Douglass, 1997). На етапі 1 учні використовують аналогії, щоб пов'язати приклади з проблемами, які потрібно вирішити. На етапі 2 вони розробляють абстрактні декларативні правила через практику. Під час етапу 3 продуктивність стає швидшою та плавнішою, оскільки аспекти розв'язання проблем автоматизуються. До етапу 4 учні мають у пам'яті багато типів задач і можуть швидко відновити відповідну стратегію розв'язання, коли стикаються з проблемою. Використання практичних прикладів найкраще підходить для учнів етапу 1 та раннього етапу 2. На пізніших етапах люди отримують користь від практики для вдосконалення своїх стратегій, хоча навіть на просунутих етапах вивчення рішень експертів може бути корисним.

Ключовим питанням навчання є те, як інтегрувати компоненти прикладу, такі як діаграма, текст і слухова інформація. Вкрай важливо, щоб практичний приклад не перевантажував робочу пам'ять учня, що може статися при одночасній подачі кількох джерел інформації. Stull і Mayer (2007) виявили, що надання графічних організаторів (схожих на практичні приклади) дає кращий результат у перенесенні розв'язання задач, ніж дозволяти учням конструювати їх самостійно. Останнє завдання могло створити надмірне когнітивне навантаження. Інші дані показують, що практичні приклади можуть зменшити когнітивне навантаження (Renkl, Hilbert, & Schworm, 2009).

Дослідження підтверджують передбачення, що подвійна презентація сприяє навчанню краще, ніж одномодова презентація (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). Цей результат узгоджується з теорією подвійного кодування (Paivio, 1986), з застереженням, що надмірна складність небажана. Подібним чином, приклади, перемішані з підцілями, допомагають створити глибокі структури та полегшити навчання.

Ключовим моментом є те, що приклади, які включають кілька режимів представлення, повинні бути об'єднані, щоб увага учнів не розсіювалася між неінтегрованими джерелами. Аудіальні та вербальні пояснення повинні вказувати, до якого аспекту прикладу вони відносяться, щоб учням не доводилося шукати самостійно. Підцілі повинні бути чітко позначені та візуально ізольовані в загальному відображенні.

Друге питання навчання стосується того, як слід упорядковувати приклади. Дослідження підтверджують висновки, що два приклади кращі за один, що різноманітні приклади кращі за два однакових типи, і що чергування прикладів і практики є ефективнішим, ніж урок, який представляє приклади, за якими слідують практичні задачі (Atkinson et al., 2000). Поступове вилучення практичних прикладів з навчальної послідовності пов'язане з кращим перенесенням навчання студентами (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann і Glaser (1989) виявили, що студенти, які надавали самопояснення під час вивчення прикладів, згодом досягали вищих рівнів порівняно зі студентами, які не давали самопояснень. Ймовірно, самопояснення допомогли студентам зрозуміти глибоку структуру задач і тим самим закодувати її більш осмислено. Самопояснення також є типом репетиції, і користь репетиції для навчання добре встановлена. Таким чином, студентів слід заохочувати до самопояснень під час вивчення практичних прикладів, наприклад, шляхом вербалізації підцілей.

Інша проблема полягає в тому, що практичні приклади можуть призвести до пасивного навчання, оскільки учні можуть обробляти їх поверхово. Включення інтерактивних елементів, наприклад, шляхом надання підказок або залишення прогалин, які учні повинні заповнити, призводить до більш активної когнітивної обробки та навчання (Atkinson & Renkl, 2007). Анімації також корисні (Wouters, Paas, & van Merriënboer, 2008).

Підсумовуючи, існує кілька особливостей, які, будучи включеними в практичні приклади, допомагають учням створювати когнітивні схеми для полегшення подальших досягнень. Ці навчальні стратегії найкраще використовувати на ранніх етапах навчання навичкам. За допомогою практики початкові когнітивні уявлення повинні перетворитися на вдосконалені схеми, які використовують експерти.

Пропозиції щодо використання практичних прикладів у навчанні

• Подавайте приклади в безпосередній близькості до задач, які будуть розв'язувати студенти.
• Подавайте кілька прикладів, що показують різні типи задач.
• Подавайте інформацію в різних модальностях (аудіальній, візуальній).
• Вказуйте підцілі в прикладах.
• Переконайтеся, що приклади містять всю інформацію, необхідну для розв'язання задач.
• Навчіть студентів самостійно пояснювати приклади та заохочуйте самопояснення.
• Надайте достатньо практики на типах задач, щоб студенти вдосконалили навички.

Письмо відображає багато когнітивних процесів, які обговорювалися в цьому розділі курсу. Хороші письменники не народжуються, а розвиваються; ефективне навчання має вирішальне значення для розвитку навичок письма (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Сучасні моделі розглядають розумові процеси письменників під час їхньої участі в різних аспектах письма (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Дослідницька мета полягає у визначенні експертності. Порівнюючи досвідчених письменників з новачками, дослідники визначають, як їхні розумові процеси розходяться (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower і Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) сформулювали модель, яка відображає загальну структуру вирішення проблем, розроблену Newell і Simon (1972). Письменники визначають проблемний простір і виконують операції над своїм ментальним представленням проблеми для досягнення своїх цілей. Ключовими компонентами цієї моделі є риторична проблема, планування, організація, постановка цілей, переклад і перегляд.

Риторична проблема включає тему письменника, цільову аудиторію та цілі. Риторична проблема для студентів часто добре визначена. Викладачі задають тему курсової роботи, аудиторія - це викладач, а мета (наприклад, інформувати, переконувати) надається; однак риторична проблема ніколи не визначається повністю кимось іншим, ніж письменник. Письменники інтерпретують проблеми по-своєму.

ДОВГОТРИВАЛА ПАМ'ЯТЬ (LTM) письменника відіграє вирішальну роль. Письменники відрізняються своїми знаннями теми, аудиторії та механіки (наприклад, граматики, орфографії, пунктуації). Письменники, які добре знають свої теми, включають менше нерелевантних тверджень, але більше допоміжних тверджень (призначених для розробки основних пунктів) порівняно з менш обізнаними письменниками (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Відмінності в декларативних знаннях впливають на якість письма.

Планування передбачає формування внутрішнього представлення знань, які будуть використані в композиції. Внутрішнє представлення зазвичай є більш абстрактним, ніж фактичне письмо. Планування включає кілька процесів, таких як генерування ідей шляхом отримання відповідної інформації з пам'яті або інших джерел. Ці ідеї можуть бути добре сформованими або фрагментарними.

Існують широкі індивідуальні відмінності в плануванні. Письмо дітей зазвичай нагадує “розповідання знань” (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Вони часто використовують стратегію “отримати та написати”, отримуючи доступ до LTM за допомогою підказки та записуючи те, що вони знають. Діти мало планують і переглядають і багато перекладають. У той час як старші письменники також отримують контент з LTM, вони роблять це як частину планування, після чого оцінюють його доречність перед перекладом. Отримання та переклад дітьми інтегровані безперервно (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Маленькі діти генерують менше ідей, ніж старші (Scardamalia & Bereiter, 1986). Їм корисні підказки (наприклад, “Чи можете ви написати ще щось?”). Englert, Raphael, Anderson, Anthony і Stevens (1991) показали, що письмо учнів четвертих і п'ятих класів покращилося, коли вони були представлені вчителям, які моделювали метакогнітивні компоненти (наприклад, які стратегії були корисними, коли і чому вони були корисними), і коли їх навчали генерувати запитання під час планування. Старші та кращі письменники більше використовують внутрішні підказки. Вони шукають відповідні теми в LTM і оцінюють знання, перш ніж почати писати. Вчителі можуть сприяти генеруванню ідей, підказуючи учням думати про ідеї (Bruning et al., 2004).

Організація передається через зв'язність між частинами речення та узгодженість між реченнями. Зв'язні пристрої пов'язують ідеї разом із займенниками, означеними артиклями, сполучниками та значеннями слів. Маленькі діти мають більше труднощів зі зв'язністю, але некваліфіковані письменники будь-якого віку гірше використовують зв'язність. Розвиваючі відмінності також виявляються в узгодженості. Молодим і поганим письменникам важко пов'язувати речення одне з одним і з тематичним реченням (McCutchen & Perfetti, 1982).

Важливим підпроцесом є постановка цілей. Цілі є змістовними (що письменник хоче повідомити) і процедурними (як спілкуватися або як слід висловлювати думки). Хороші письменники часто змінюють свої цілі на основі того, що вони виробляють. Письменники мають цілі на увазі до написання, але в міру того, як вони продовжують, вони можуть усвідомити, що певна мета не є релевантною для композиції. Нові цілі пропонуються фактичним письмом.

Основною метою кваліфікованих письменників є передача сенсу, тоді як погані письменники часто практикують асоціативне письмо (Bereiter, 1980). Вони можуть вважати, що мета письма полягає в тому, щоб відтворити все, що вони знають про тему; порядок менш важливий, ніж інклюзивність. Інша мета менш кваліфікованих письменників - уникнути помилок. Коли хороших письменників просять критикувати власне письмо, вони зосереджуються на тому, наскільки добре вони передали свої наміри, тоді як погані письменники частіше згадують поверхневі міркування (наприклад, орфографію, пунктуацію).

Переклад відноситься до перенесення своїх ідей у друк. Для дітей і недосвідчених письменників переклад часто перевантажує робочу пам'ять. Вони повинні пам'ятати про свою мету, ідеї, які вони хочуть висловити, і необхідну організацію та механіку. Хороші письменники менше турбуються про поверхневі особливості під час перекладу; вони більше зосереджуються на значенні та виправляють поверхневі проблеми пізніше. Погані письменники більше зосереджуються на поверхневих особливостях і пишуть повільніше, ніж хороші письменники. Кращі письменники враховують стилістичні та поверхневі міркування, коли роблять паузу під час письма. Гіршим письменникам корисно, коли вони читають те, що написали, готуючись до складання.

Перегляд складається з оцінювання та перегляду. Перегляд відбувається, коли письменники читають те, що вони написали, як попередник подальшого перекладу або систематичної оцінки та перегляду (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Під час перегляду письменники оцінюють і змінюють плани та змінюють подальше письмо.

Ці процеси важливі, тому що письменники можуть витрачати до 70% свого часу на написання, роблячи паузи (Flower & Hayes, 1981), значна частина якого витрачається на планування на рівні речень. Письменники перечитують те, що вони написали, і вирішують, що сказати далі. Ці висхідні процеси створюють композицію розділ за розділом. Коли таке нарощування здійснюється з урахуванням загального плану, композиція продовжує відображати цілі письменників.

Погані письменники зазвичай покладаються на висхідне письмо. Роблячи паузи, хороші письменники займаються риторичним плануванням, яке безпосередньо не пов'язане з тим, що вони створили. Цей тип планування відображає низхідний погляд на письмо як на процес вирішення проблем; письменники пам'ятають про загальну мету і планують, як її досягти, або вирішують, що їм потрібно її змінити. Планування включає зміст (вирішення того, яку тему обговорювати) і стиль (вирішення змінити стиль, вставивши анекдот). Це планування включає планування на рівні речень і є характерним для зрілих письменників (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Діти можуть мало переглядати без підтримки вчителя або однолітків (Fitzgerald, 1987). Студенти отримують користь від інструкцій, розроблених для покращення якості їхнього письма. Fitzgerald і Markham (1987) дали середнім учням шостого класу інструкції щодо типів переглядів: додавання, видалення, заміни та перестановки. Вчитель пояснив і змоделював кожну стратегію перегляду, після чого учні працювали в парах (конференції з однолітками). Інструкції покращили знання учнів про процеси перегляду та їхні фактичні перегляди. Beal, Garrod і Bonitatibus (1990) виявили, що навчання дітей третього та шостого класів стратегії самостійного опитування (наприклад, “Що відбувається в історії?”) призвело до значно більшого перегляду тексту.

Навички оцінювання розвиваються раніше, ніж навички перегляду. Навіть коли учні четвертого класу розпізнають проблеми з письмом, вони можуть не успішно їх виправити в 70% випадків (Scardamalia & Bereiter, 1983). Коли діти виправляють проблеми, погані письменники виправляють помилки в орфографії та пунктуації, тоді як кращі письменники переглядають зі стилістичних міркувань (Birnbaum, 1982).

Враховуючи складність письма, процес набуття навичок краще характеризувати як розвиток вільного володіння, а не автоматизму (McCutchen, 1995). Автоматичні процеси стають рутинними і вимагають мало уваги або ресурсів робочої пам'яті, тоді як вільні процеси - хоча швидкі та ресурсоефективні - є продуманими і можуть бути змінені “онлайн”. Хороші письменники дотримуються планів, але переглядають їх під час написання. Якби цей процес був автоматичним, плани письменників - після прийняття - дотримувалися б без перерви. Хоча складові навички письма (тобто орфографія, словниковий запас) часто стають автоматичними, загальний процес не стає таким.

Математика була плідною сферою когнітивних і конструктивістських досліджень (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe et al., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss et al., 1995). Дослідники вивчали, як учні конструюють знання, чим відрізняються експерти та новачки, і які методи навчання є найефективнішими (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Удосконалення навчання є важливим, враховуючи, що так багато студентів відчувають труднощі у вивченні математики.

Зазвичай розрізняють математичні обчислення (використання правил, процедур і алгоритмів) і концепції (розв'язання задач і використання стратегій). Обчислювальні та концептуальні задачі вимагають від студентів реалізації дій, що включають правила та алгоритми. Різниця між цими двома категоріями полягає в тому, наскільки чітко задача вказує студентам, які операції виконувати. Нижче наведено обчислювальні задачі.

• Розв'яжіть для x та y.
• Яка довжина гіпотенузи прямокутного трикутника зі сторонами, що дорівнюють 3 і 4 дюймам?

Хоча студентам явно не вказують, що робити в задачах 2 і 3, розпізнавання формату задачі та знання процедур спонукають їх виконувати правильні операції.

Тепер порівняйте ці задачі з наступними:

• У Алекса є 20 монет, що складаються з даймів і чвертей. Якби чверті були даймами, а дайми були чвертями, у нього було б на 90 центів більше, ніж зараз. Скільки грошей має Алекс?
• Якщо пасажирському поїзду потрібно вдвічі більше часу, щоб обігнати товарний поїзд, після того, як він вперше обігнав товарний поїзд, ніж потрібно двом поїздам, щоб розминутися, рухаючись у протилежних напрямках, у скільки разів пасажирський поїзд швидший за товарний?
• Коли вона здійснює піші прогулянки, Шейна може в середньому проходити 2 милі на годину вгору і 6 миль на годину вниз. Якщо вона йде вгору і вниз і не проводить часу на вершині, яка буде її середня швидкість за всю подорож?

Ці текстові задачі явно не вказують студентам, що робити, але вони вимагають обчислень не складніших, ніж ті, що потрібні в першому наборі. Розв'язання текстових задач передбачає розпізнавання їх форматів, генерування відповідних дій і виконання обчислень.

Це не означає, що концептуальна експертиза краща за обчислювальну майстерність, хоча Rittle-Johnson і Alibali (1999) виявили, що концептуальне розуміння має більший вплив на процедурні знання, ніж навпаки. Недоліки в будь-якій з цих областей викликають проблеми. Розуміння, як розв'язати задачу, але нездатність виконати обчислення, призводить до неправильних відповідей, так само як і обчислювальна майстерність, але нездатність концептуалізувати задачі.

Обчислення

Найперша обчислювальна навичка, яку використовують діти, - це лічба (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Діти рахують об'єкти на своїх пальцях і в голові, використовуючи стратегію (Groen & Parkman, 1972). Сумарна модель передбачає встановлення гіпотетичного лічильника на нуль, підрахунок першого доданка з кроком в одиницю, а потім підрахунок другого доданка для отримання відповіді. Для задачі «2 + 4 = ?» діти можуть рахувати від 0 до 2, а потім відрахувати ще 4. Більш ефективною стратегією є встановлення лічильника на перший доданок (2), а потім підрахунок другого доданка (4) з кроком в одиницю. Ще більш ефективною є мінімальна модель: встановлення лічильника на більший з двох доданків (4), а потім підрахунок меншого доданка (2) з кроком в одиницю (Romberg & Carpenter, 1986).

Ці типи винайдених процедур є успішними. Діти та дорослі часто конструюють процедури для розв'язання математичних задач. Помилки зазвичай не є випадковими, а скоріше відображають помилкові алгоритми, або систематичні помилки в мисленні та міркуванні (Brown & Burton, 1978). Помилкові алгоритми відображають конструктивістське припущення, що студенти формують процедури на основі їх інтерпретації досвіду. Поширеною помилкою при відніманні є віднімання меншого числа від більшого числа в кожному стовпці, незалежно від напрямку, наступним чином:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Математичні помилки, ймовірно, розвиваються, коли студенти стикаються з новими задачами та неправильно узагальнюють дії. У відніманні без перегрупування, наприклад, студенти віднімають менше число від більшого стовпчик за стовпчиком. Легко зрозуміти, як вони могли б узагальнити цю процедуру до задач, що вимагають перегрупування. Помилкові алгоритми є стійкими і можуть вселити в студентів хибне почуття само-ефективності, можливо, тому, що їх обчислення дають відповіді.

Іншим джерелом обчислювальних труднощів є погані декларативні знання числових фактів. Багато дітей не знають основних фактів і демонструють недоліки в числовій обробці (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, & Numtee, 2007). Поки факти не будуть встановлені в довготривалій пам'яті шляхом практики, діти рахують або обчислюють відповіді. Швидкість вилучення фактів з пам'яті безпосередньо пов'язана із загальною математичною успішністю студентів від початкової школи до коледжу (Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant, 1999). Обчислювальні навички поліпшуються з розвитком, разом з можливостями робочої пам'яті та довготривалої пам'яті (Mabbott & Bisanz, 2003).

Багато труднощів в обчисленнях виникають внаслідок використання надмірно складних, але технічно правильних дій для розв'язання задач. Такі процедури дають правильні відповіді, але оскільки вони складні, ризик обчислювальних помилок високий. Задачу 256 поділити на 5 можна розв'язати за допомогою алгоритму ділення або послідовно віднімаючи 5 від 256 і підраховуючи кількість віднімань. Остання процедура є технічно правильною, але неефективною і має високу ймовірність помилки.

Учні спочатку представляють обчислювальні навички як декларативні знання в пропозиційній мережі. Факти, що стосуються різних кроків (наприклад, в алгоритмі), запам'ятовуються за допомогою ментальної репетиції та відкритої практики. Дія, яка керує виконанням на цьому етапі, є загальною; наприклад: «Якщо мета - розв'язати цю задачу ділення, то застосуйте метод, якому нас навчив вчитель». З додатковою практикою декларативне представлення змінюється на предметно-специфічне процедурне представлення і з часом стає автоматизованим. Ранні стратегії лічби замінюються більш ефективними стратегіями, заснованими на правилах (Hopkins & Lawson, 2002). На автоматичному етапі учні швидко розпізнають шаблон задачі (наприклад, задача ділення, задача на квадратний корінь) і виконують процедуру без особливих свідомих роздумів.

Розв'язання задач вимагає від студентів спочатку точно представити задачу, включно з наданою інформацією та метою, а потім вибрати та застосувати стратегію розв'язання задач (Mayer, 1985, 1999). Переклад задачі з її лінгвістичного представлення в ментальне часто є складним (Bruning et al., 2004). Чим абстрактніша мова, тим складніше розуміння тексту та нижча ймовірність розв'язання (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Студенти, які мають труднощі з розумінням, демонструють гірше відтворення інформації та нижчу результативність. Це особливо актуально для молодших дітей, яким важко перекладати абстрактні лінгвістичні представлення.

Переклад також вимагає добрих декларативних і процедурних знань. Розв'язання попередньої задачі про Алекса з 20 монетами вимагає знання, що дими та чверті є монетами, що дим становить одну десяту ($0,10) від $1, а чверть – одну четверту ($0,25) від $1. Ці декларативні знання необхідно поєднати з процедурним розумінням того, що дими та чверті є змінними, такими, що кількість димів плюс кількість чвертей дорівнює 20.

Однією з причин, чому експерти краще перекладають задачі, є те, що їхні знання краще організовані в ДТП; організація відображає глибинну структуру предмету (Romberg & Carpenter, 1986). Експерти ігнорують поверхневі ознаки задачі та аналізують її з точки зору операцій, необхідних для розв'язання. Новачки більше схильні до впливу поверхневих ознак. Silver (1981) виявив, що хороші розв'язувачі задач організовували задачі відповідно до процесу, необхідного для розв'язання, тоді як погані розв'язувачі задач частіше групували задачі зі схожим змістом (наприклад, гроші, поїзди).

Окрім перекладу та класифікації задач, експерти та новачки відрізняються у продукціях (Greeno, 1980). Новачки часто використовують стратегію роботи назад, починаючи з мети та рухаючись назад до заданих умов. Це хороша евристика, корисна на ранніх етапах навчання, коли учні набули певних знань у предметній області, але ще недостатньо компетентні, щоб швидко розпізнавати формати задач.

На відміну від цього, експерти часто працюють вперед. Вони визначають тип задачі та вибирають відповідну продукцію для її розв'язання. Hegarty, Mayer і Monk (1995) виявили, що успішні розв'язувачі задач використовували підхід моделювання задачі, перекладаючи задачу в ментальну модель, в якій числа в умові задачі були пов'язані з їхніми іменами змінних. На відміну від цього, менш успішні розв'язувачі задач частіше використовували підхід прямого перекладу, поєднуючи числа в задачі з арифметичними операціями, активованими ключовими словами (наприклад, додавання – це операція, пов'язана з ключовим словом “більше”). Остання стратегія є поверховою та базується на поверхневих ознаках, тоді як попередня стратегія краще пов'язана зі значеннями.

Експерти розвивають складні процедурні знання для класифікації математичних задач за типом. Задачі з алгебри старшої школи поділяються приблизно на 20 загальних категорій, таких як рух, струм, монети та відсотки/інвестиції (Mayer, 1992). Ці категорії можна об'єднати в шість основних груп. Наприклад, група кількості за час включає задачі на рух, струм і роботу. Ці задачі розв'язуються за загальною формулою: кількість = ставка час. Розвиток експертності у розв'язанні математичних задач залежить від класифікації задачі у правильну групу та подальшого застосування стратегії. Промовляння кроків у розв'язанні задач сприяє розвитку майстерності (Gersten et al., 2009).

Багато теоретиків стверджують, що конструктивізм є життєздатною моделлю для пояснення того, як вивчається математика (Ball et al., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Математичні знання не пасивно поглинаються з навколишнього середовища, а скоріше конструюються індивідами як наслідок їхньої взаємодії. Цей процес конструювання також включає винахід дітьми процедур, які містять неявні правила.

Наступний незвичайний приклад ілюструє засноване на правилах процедурне винахідництво. Якось я працював з вчителем, щоб виявити дітей у її класі, яким може бути корисним додаткове навчання з ділення в стовпчик. Вона назвала кількох учнів і сказала, що Тім також може підійти, але вона не впевнена. В одні дні він розв'язував задачі правильно, а в інші - його робота була неправильною і не мала сенсу. Я дав йому задачі для розв'язання і попросив його говорити вголос під час роботи, тому що мені було цікаво, що діти думають, коли розв'язують задачі. Ось що сказав Тім: “Задача - 17 поділити на 436. Я починаю з боку задачі, найближчого до дверей . . .” Тоді я зрозумів, чому в одні дні його робота була точною, а в інші - ні. Це залежало від того, який бік його тіла був найближчим до дверей!

Процес конструювання знань починається в дошкільному віці (Resnick, 1989). Geary (1995) розрізняв біологічно первинні (біологічно обґрунтовані) та біологічно вторинні (культурологічно навчені) здібності. Біологічно первинні здібності ґрунтуються на нейробіологічних системах, які еволюціонували в певних екологічних і соціальних нішах і які виконують функції, пов'язані з виживанням або розмноженням. Їх слід бачити міжкультурно, тоді як біологічно вторинні здібності повинні демонструвати більшу культурну специфічність (наприклад, як функція шкільної освіти). Крім того, багато з перших слід бачити у дуже маленьких дітей. Справді, лічба - це природна діяльність, яку дошкільнята роблять без безпосереднього навчання (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Навіть немовлята можуть бути чутливими до різних властивостей чисел (Geary, 1995). Дошкільнята демонструють зростаючу числову компетентність, що включає поняття адитивності частини-цілого та зміни як збільшення/зменшення кількостей. Концептуальні зміни швидко відбуваються протягом молодших класів (Resnick, 1989). Навчання дітей використанню схематичних діаграм для представлення текстових задач полегшує розв'язання задач (Fuson & Willis, 1989).

Математична компетентність також залежить від соціокультурного впливу (Cobb, 1994). Виготський (1978) підкреслював роль компетентних інших осіб у зоні найближчого розвитку (ЗНР). На відміну від конструктивістського акценту на когнітивних реорганізаціях серед окремих учнів, соціокультурні теоретики відстоюють культурні практики, особливо соціальні взаємодії (Cobb, 1994). Соціокультурний вплив втілюється через такі види діяльності, як взаємне навчання, навчальне забезпечення та учнівство.

Дослідження підтверджують ідею про те, що соціальні взаємодії є корисними. Rittle-Johnson and Star (2007) виявили, що математична компетентність учнів сьомого класу підвищувалася, коли їм дозволяли порівнювати методи розв'язання задач з партнерами. Результати огляду літератури, проведеного Springer, Stanne і Donovan (1999), показали, що навчання в малих групах значно підвищує успішність студентів коледжів з математики та природничих наук. Kramarski and Mevarech (2003) виявили, що поєднання кооперативного навчання з метакогнітивним навчанням (наприклад, розмірковування про відповідні концепції, прийняття рішень про відповідні стратегії, які слід використовувати) підвищує математичне мислення учнів восьмого класу більше, ніж будь-яка з цих процедур окремо. На додаток до цих переваг кооперативного навчання (Stein & Carmine, 1999), література про взаємне та міжвікове репетиторство з математики показує, що воно є ефективним для підвищення успішності дітей (Robinson, Schofield, & Steers-Wentzell, 2005). Координація конструктивістської та соціокультурної перспектив є можливою; студенти можуть розвивати знання через соціальні взаємодії, але потім ідіосинкратично конструювати використання цих знань.

Когнітивні та конструктивістські процеси навчання застосовуються до базових форм навчання, але вони набувають більшої значущості в складному навчанні. Розвиток компетентності в академічній галузі вимагає знання фактів, принципів і концепцій цієї галузі, у поєднанні із загальними стратегіями, які можуть застосовуватися в різних галузях, і специфічними стратегіями, що належать до кожної галузі. Дослідження виявили багато відмінностей між експертами та новачками в певній галузі.

Умовне знання - це знання, коли і чому використовувати декларативні та процедурні знання. Просто знати, що робити і як це робити, не приносить успіху. Студенти також повинні розуміти, коли знання та процедури є корисними. Найімовірніше, умовне знання зберігається в ДТП як пропозиції, пов'язані з іншими декларативними та процедурними знаннями. Метакогніція відноситься до навмисного, свідомого контролю розумової діяльності. Метакогніція включає знання та моніторингові заходи, призначені для забезпечення успішного виконання завдань. Метакогніція починає розвиватися приблизно у віці 5-7 років і триває протягом усього навчання. Метакогнітивна обізнаність залежить від завдання, стратегії та змінних учня. Учні отримують користь від навчання метакогнітивним видам діяльності.

Концептуальне навчання передбачає процеси вищого порядку формування ментальних уявлень про критичні атрибути категорій. Сучасні теорії наголошують на аналізі ознак і формуванні гіпотез про концепції (аналіз ознак), а також на формуванні узагальнених образів концепцій, які включають лише деякі визначальні ознаки (прототипи). Прототипи можуть використовуватися для класифікації типових прикладів концепцій, а аналіз ознак може використовуватися для менш типових. Були запропоновані моделі засвоєння та викладання концепцій, а також мотиваційні процеси, що беруть участь у концептуальних змінах.

Вирішення проблем складається з початкового стану, мети, підцілей і операцій, що виконуються для досягнення мети та підцілей. Дослідники вивчали розумові процеси учнів, залучених до вирішення проблем, і відмінності між експертами та новачками. Розв'язання задач розглядалося як відображення методу проб і помилок, інсайту та евристики. Ці загальні підходи можна застосувати до академічного змісту. З набуттям досвіду в певній галузі люди здобувають знання та системи виробництва, або набори правил, які стратегічно застосовуються для досягнення цілей. Розв'язання задач вимагає формування ментального уявлення про задачу та застосування виробництва для її розв'язання. Для добре визначених задач, де потенційні розв'язки можуть бути впорядковані за ймовірністю, корисна стратегія генерування та тестування. Для складніших або менш чітко визначених задач використовується аналіз засобів і цілей, який вимагає роботи назад або вперед. Інші стратегії розв'язання задач включають аналогічні міркування та мозковий штурм.

Перенесення - складне явище. Історичні погляди включають ідентичні елементи, розумову дисципліну та узагальнення. З когнітивної точки зору, перенесення передбачає активацію структур пам'яті та відбувається, коли інформація пов'язана. Проводяться розмежування між ближнім і дальнім, буквальним і фігуральним, а також перенесенням нижньою та верхньою дорогами. Деякі форми перенесення можуть відбуватися автоматично, але більшість є свідомою і передбачає абстракцію. Надання студентам відгуків про корисність навичок і стратегій робить перенесення більш імовірним.

Технології продовжують зростати у важливості в навчанні та викладанні. Дві області, які зазнали швидкого зростання, - це комп'ютерні навчальні середовища та дистанційне навчання. Додаттки, що включають комп'ютерні середовища, включають комп'ютерне навчання, ігри та симуляції, гіпермедіа/мультимедіа та електронне навчання. Дистанційне навчання відбувається, коли навчання починається в одному місці та передається студентам в одному або декількох віддалених місцях. Інтерактивні можливості дозволяють здійснювати двосторонній зворотний зв'язок і синхронні обговорення. Дистанційне навчання часто включає онлайн (веб-основне) асинхронне навчання, і курси можуть бути організовані за допомогою змішаної моделі (деякі очні та деякі онлайн-інструкції). Дослідження показують переваги технологій для метакогніції, глибокої обробки та вирішення проблем. Майбутні інновації призведуть до більшої доступності та інтерактивних можливостей.

Включення, що включають принципи, підсумовані в цьому уроці, включають розв'язані приклади, письмо та математику. Розв'язані приклади представляють розв'язки задач у покроковій формі та часто включають супровідні діаграми. Розв'язані приклади включають багато функцій, які полегшують розв'язання задач учнями. Написання вимагає складання та перегляду. Експерти планують текст навколо мети передачі значення та пам'ятають про мету під час перегляду. Новачки схильні писати те, що вони можуть згадати про тему, а не зосереджуватися на своїй меті. Діти демонструють ранню математичну компетентність у лічбі. Обчислювальні навички вимагають алгоритмів і декларативних знань. Студенти часто надмірно узагальнюють процедури (помилкові алгоритми). Студенти набувають знань про типи задач завдяки досвіду. Експерти розпізнають типи та застосовують правильні способи розв'язання (робота вперед). Новачки працюють у зворотному напрямку, застосовуючи формули, які включають величини, наведені в задачі.