Kognitiivsed õppeprotsessid: õpetuslikud rakendused

Lahendatud näited, mida me oma kursusel varem lühidalt käsitlesime, esitavad probleemide lahendusi samm-sammult ja sageli sisaldavad ka kaasnevaid diagramme. Nad kujutavad eksperdi probleemilahendusmudelit, mida õppijad saavad uurida, enne kui nad seda jäljendama hakkavad.

Lahendatud näited peegeldavad Andersoni ACT-R teooriat (Lee & Anderson, 2001) ja sobivad eriti hästi komplekssete õppimisvormide jaoks, nagu algebra, füüsika ja geomeetria (Atkinson et al., 2000, 2003). Rakendades algaja-eksperdi mudelit, on teadlased leidnud, et eksperdid keskenduvad tavaliselt probleemide sügavamatele (struktuursetele) aspektidele ja et algajad tegelevad sagedamini pinnapealsete tunnustega. Üksinda harjutamine on oskuste edendamisel vähem tõhus kui lahendatud näidetega seotud harjutamine (Atkinson et al., 2000).

Lahendatud näited tunduvad kõige kasulikumad õpilastele oskuste omandamise varases etapis, vastupidiselt vilunud õppijatele, kes oskusi täiustavad. Selle rakendatavus on selgelt nähtav ACT-R raamistiku (Anderson, Fincham & Douglass, 1997) neljaetapilises oskuste omandamise mudelis. 1. etapis kasutavad õppijad analoogiaid, et seostada näiteid lahendatavate probleemidega. 2. etapis arendavad nad harjutamise kaudu abstraktseid deklaratiivseid reegleid. 3. etapis muutub sooritus kiiremaks ja sujuvamaks, kuna probleemilahenduse aspektid automatiseeruvad. 4. etapiks on õppijatel mälus palju erinevaid probleeme ja nad saavad probleemi ilmnemisel kiiresti sobiva lahendusstrateegia leida. Lahendatud näidete kasutamine sobib kõige paremini 1. etapi ja 2. etapi varases järgus õppijatele. Hilisemates etappides saavad inimesed kasu oma strateegiate lihvimisest, kuigi isegi edasijõudnute etappides võib ekspertide lahenduste uurimine olla kasulik.

Peamine õpetuslik küsimus on, kuidas integreerida näite komponente, nagu diagramm, tekst ja auditiivne informatsioon. On hädavajalik, et lahendatud näide ei koormaks õppija töömälu (WM), mida samaaegselt esitatud mitmed teabeallikad võivad teha. Stull ja Mayer (2007) leidsid, et graafiliste korraldajate (sarnased lahendatud näidetega) pakkumine andis parema probleemilahendusülekande kui õppijatel endil neid luua lubamine. Viimane ülesanne võis tekitada liigse kognitiivse koormuse. Muud tõendid näitavad, et lahendatud näited võivad vähendada kognitiivset koormust (Renkl, Hilbert & Schworm, 2009).

Uuringud toetavad ennustust, et duaalne esitlus hõlbustab õppimist paremini kui ühe režiimi esitlus (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). See tulemus on kooskõlas duaalkodeerimise teooriaga (Paivio, 1986), kuid hoiatusega, et liigne keerukus ei ole soovitav. Samamoodi aitavad eesmärkidega segatud näited luua sügavaid struktuure ja hõlbustada õppimist.

Peamine punkt on see, et mitut esitusviisi sisaldavad näited peaksid olema ühendatud, nii et õppijate tähelepanu ei jaguneks integreerimata allikate vahel. Auditiivsed ja verbaalsed selgitused peaksid näitama, millisele näite aspektile need viitavad, nii et õppijad ei peaks ise otsima. Alaeesmärgid tuleks selgelt märgistada ja visuaalselt üldises esitluses eraldada.

Teine õpetuslik küsimus on, kuidas näiteid järjestada. Uuringud toetavad järeldusi, et kaks näidet on paremad kui üks, et varieeritud näited on paremad kui kaks sama tüüpi näidet ja et näidete ja harjutamise segamine on tõhusam kui õppetund, mis esitab näited, millele järgnevad praktikaprobleemid (Atkinson et al., 2000). Lahendatud näidete järkjärguline väljajätmine õpetuslikus järjestuses on seotud õpilaste parema õppimise ülekandega (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann ja Glaser (1989) leidsid, et õpilased, kes pakkusid näidete uurimisel ise selgitusi, saavutasid hiljem kõrgemaid tulemusi võrreldes õpilastega, kes ise selgitusi ei pakkunud. Eeldatavasti aitasid enesekohased selgitused õpilastel mõista probleemide süvastruktuuri ja seeläbi seda sisukamalt kodeerida. Enesekohane selgitus on ka teatud tüüpi kordamine ja kordamise kasu õppimisele on hästi tõestatud. Seega tuleks õpilasi julgustada pakkuma lahendatud näidete uurimisel ise selgitusi, näiteks alaeesmärkide verbaliseerimise kaudu.

Teine probleem on see, et lahendatud näited võivad tekitada passiivset õppimist, kuna õppijad võivad neid pealiskaudselt töödelda. Interaktiivsete elementide lisamine, näiteks vihjete pakkumine või tühimike jätmine, mida õppijad peavad täitma, viib aktiivsema kognitiivse töötluse ja õppimiseni (Atkinson & Renkl, 2007). Animatsioonid on samuti kasulikud (Wouters, Paas & van Merriënboer, 2008).

Kokkuvõtteks võib öelda, et on mitmeid funktsioone, mis lahendatud näidetega kombineerituna aitavad õppijatel luua kognitiivseid skeeme, et hõlbustada hilisemaid saavutusi. Neid õpetuslikke strateegiaid kasutatakse kõige paremini oskuste õppimise varases etapis. Harjutamise kaudu peaksid esialgsed kognitiivsed esitused arenema ekspertide kasutatavateks täiustatud skeemideks.

Soovitused lahendatud näidete kasutamiseks õpetamisel

• Esitage näiteid õpilaste lahendatavate probleemide läheduses.
• Esitage mitu näidet, mis näitavad erinevat tüüpi probleeme.
• Esitage teavet erinevates modaalsustes (auditiivne, visuaalne).
• Näidake näidetes alaeesmärke.
• Veenduge, et näited esitavad kogu probleemide lahendamiseks vajaliku teabe.
• Õpetage õpilasi näiteid ise selgitama ja julgustage enesekohaseid selgitusi.
• Andke piisavalt harjutamist probleemide tüüpidega, et õpilased saaksid oskusi täiendada.

Kirjutamine peegeldab paljusid kognitiivseid protsesse, mida käsitleti selles kursuse osas. Head kirjutajad ei sünni, vaid arenevad; tõhus õpetamine on kirjutamisoskuste arendamiseks kriitilise tähtsusega (Graham, 2006; Harris, Graham & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Kaasaegsed mudelid uurivad kirjutajate vaimseid protsesse, kui nad tegelevad kirjutamise erinevate aspektidega (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Uuringu eesmärk on määratleda asjatundlikkus. Võrreldes ekspertkirjutajaid algajatega, tuvastavad teadlased, kuidas nende vaimsed protsessid erinevad (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower ja Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) formuleerisid mudeli, mis peegeldab Newelli ja Simoni (1972) väljatöötatud üldist probleemilahendusraamistikku. Kirjutajad määratlevad probleemiruumi ja sooritavad operatsioone oma probleemide vaimse esitusega, et saavutada oma eesmärgid. Selle mudeli peamised komponendid on retooriline probleem, planeerimine, organiseerimine, eesmärkide seadmine, tõlkimine ja ülevaatamine.

Retooriline probleem hõlmab kirjutaja teemat, sihtrühma ja eesmärke. Õpilaste retooriline probleem on sageli hästi määratletud. Õpetajad määravad referaadi teema, sihtrühm on õpetaja ja eesmärk (nt teavitada, veenda) on ette nähtud; aga retoorilist probleemi ei määratle kunagi täielikult keegi teine peale kirjutaja. Kirjutajad tõlgendavad probleeme omal moel.

Kirjutaja pikaajaline mälu mängib olulist rolli. Kirjutajad erinevad oma teadmistes teema, sihtrühma ja mehaanika (nt grammatika, õigekiri, kirjavahemärgid) osas. Kirjutajad, kes on oma teemade kohta teadlikud, sisaldavad vähem ebaolulisi väiteid, kuid rohkem abistavaid väiteid (mõeldud peamiste punktide täpsustamiseks) võrreldes vähem teadlike kirjutajatega (Voss, Vesonder & Spilich, 1980). Erinevused deklaratiivsetes teadmistes mõjutavad kirjutamise kvaliteeti.

Planeerimine hõlmab teadmiste sisemise esituse kujundamist, mida kasutatakse koostamisel. Sisemine esitus on üldiselt abstraktsem kui tegelik kirjutamine. Planeerimine hõlmab mitmeid protsesse, nagu ideede genereerimine, otsides mälust või muudest allikatest asjakohast teavet. Need ideed võivad olla hästi vormistatud või killustatud.

Planeerimises on suured individuaalsed erinevused. Laste kirjutamine sarnaneb tavaliselt “teadmiste jutustamisega” (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Nad järgivad sageli “otse ja kirjuta” strateegiat, kasutades vihjetega pikaajalist mälu ja kirjutades seda, mida nad teavad. Lapsed planeerivad ja vaatavad üle vähe ning tõlgivad palju. Kui vanemad kirjutajad otsivad ka sisu pikaajalisest mälust, siis teevad nad seda osana planeerimisest, mille järel nad hindavad selle sobivust enne tõlkimist. Laste leidmine ja tõlkimine on integreeritud sujuvalt (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Väikesed lapsed genereerivad vähem ideid kui vanemad (Scardamalia & Bereiter, 1986). Neile on kasulikud vihjed (nt “Kas sa saaksid veel kirjutada?”). Englert, Raphael, Anderson, Anthony ja Stevens (1991) näitasid, et neljanda ja viienda klassi õpilaste kirjutamine paranes, kui nad puutusid kokku õpetajatega, kes modelleerisid metakognitiivseid komponente (nt millised strateegiad olid kasulikud, millal ja miks need kasulikud olid) ning kui neid õpetati planeerimise ajal küsimusi genereerima. Vanemad ja paremad kirjutajad kasutavad rohkem sisemisi vihjeid. Nad otsivad pikaajalisest mälust asjakohaseid teemasid ja hindavad teadmisi enne kirjutamist alustamist. Õpetajad saavad soodustada ideede genereerimist, andes õpilastele vihjeid ideede peale mõelda (Bruning et al., 2004).

Organiseerimine väljendub sidususes lauseosade vahel ja koherentsuses lausete vahel. Sidusvahendid seovad ideid kokku asesõnade, kindlate artiklite, sidesõnade ja sõnade tähendustega. Väikestel lastel on sidususega rohkem raskusi, kuid oskamatud kirjutajad kasutavad sidusust igas vanuses vähem hästi. Arengulisi erinevusi leidub ka koherentsuses. Noortel ja kehvadel kirjutajatel on raskusi lausete ühendamisel üksteisega ja teemalausega (McCutchen & Perfetti, 1982).

Peamine alaprotsess on eesmärkide seadmine. Eesmärgid on sisulised (mida kirjutaja soovib edastada) ja protseduurilised (kuidas suhelda või kuidas punkte tuleks väljendada). Head kirjutajad muudavad sageli oma eesmärke vastavalt sellele, mida nad toodavad. Kirjutajatel on enne kirjutamist eesmärgid silmas peetud, kuid edenedes võivad nad aru saada, et teatud eesmärk ei ole kompositsiooni jaoks asjakohane. Uusi eesmärke soovitab tegelik kirjutamine.

Oskuslike kirjutajate peamine eesmärk on edastada tähendust, samas kui kehvad kirjutajad harjutavad sageli assotsiatiivset kirjutamist (Bereiter, 1980). Nad võivad uskuda, et kirjutamise eesmärk on regurgiteerida kõike, mida nad teema kohta teavad; järjestus on vähem oluline kui kaasavus. Vähem osavate kirjutajate teine eesmärk on vältida vigade tegemist. Kui palutakse oma kirjutist kritiseerida, keskenduvad head kirjutajad sellele, kui hästi nad oma kavatsusi edastasid, samas kui kehvad kirjutajad viitavad sagedamini pinnapealsetele kaalutlustele (nt õigekiri, kirjavahemärgid).

Tõlkimine viitab oma ideede trükki panemisele. Laste ja kogenematute kirjutajate jaoks koormab tõlkimine sageli töömälu. Nad peavad meeles pidama oma eesmärki, ideid, mida nad soovivad väljendada, ning vajalikku korraldust ja mehaanikat. Head kirjutajad tegelevad tõlkimise ajal vähem pinnatunnustega; nad keskenduvad rohkem tähendusele ja parandavad pinnaprobleeme hiljem. Kehvad kirjutajad keskenduvad rohkem pinnatunnustele ja kirjutavad aeglasemalt kui head kirjutajad. Paremad kirjutajad võtavad kirjutamise ajal pausi tehes arvesse stiililisi ja pinnapealseid kaalutlusi. Kehvemad kirjutajad saavad kasu, kui nad loevad enne kirjutamist seda, mida nad on kirjutanud.

Ülevaatamine seisneb hindamises ja redigeerimises. Ülevaatamine toimub siis, kui kirjutajad loevad seda, mida nad on kirjutanud, kui eellugu edasiseks tõlkimiseks või süstemaatiliseks hindamiseks ja redigeerimiseks (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Ülevaatamise käigus hindavad ja muudavad kirjutajad plaane ning muudavad järgnevat kirjutamist.

Need protsessid on olulised, sest kirjutajad võivad veeta kuni 70% oma kirjutamisajast pause tehes (Flower & Hayes, 1981), millest suurem osa kulub lausetasandi planeerimisele. Kirjutajad loevad üle, mida nad on kirjutanud, ja otsustavad, mida järgmisena öelda. Need alt-üles protsessid konstrueerivad kompositsiooni osa kaupa. Kui selline ülesehitamine toimub üldist plaani silmas pidades, peegeldab kompositsioon jätkuvalt kirjutajate eesmärke.

Kehvad kirjutajad sõltuvad tavaliselt alt-üles kirjutamisest. Pause tehes tegelevad head kirjutajad retoorilise planeerimisega, mis ei ole otseselt seotud sellega, mida nad on tootnud. Selline planeerimine peegeldab ülalt-alla vaadet kirjutamisele kui probleemilahendusprotsessile; kirjutajad peavad silmas üldist eesmärki ja planeerivad, kuidas seda saavutada, või otsustavad, et nad peavad seda muutma. Planeerimine hõlmab sisu (otsustamine, millist teemat arutada) ja stiili (otsustamine stiili muutmiseks anekdoodi lisamisega). See planeerimine hõlmab lausetasandi planeerimist ja on iseloomulik küpsetele kirjutajatele (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Lapsed võivad ilma õpetaja või eakaaslaste toeta vähe redigeerida (Fitzgerald, 1987). Õpilased saavad kasu õpetusest, mis on mõeldud nende kirjutamise kvaliteedi parandamiseks. Fitzgerald ja Markham (1987) andsid keskmistele kuuenda klassi kirjutajatele õpetust redigeerimiste tüüpide kohta: lisamised, kustutamised, asendamised ja ümberkorraldused. Õpetaja selgitas ja modelleeris iga redigeerimisstrateegiat, mille järel õpilased töötasid paarides (eakaaslaste konverentsid). Õpetus parandas õpilaste teadmisi redigeerimisprotsessidest ja nende tegelikke redigeerimisi. Beal, Garrod ja Bonitatibus (1990) leidsid, et kolmanda ja kuuenda klassi laste õpetamine eneseküsimuste strateegiat (nt “Mis loos toimub?”) viis oluliselt suurema teksti redigeerimiseni.

Hindamisoskused arenevad varem kui redigeerimisoskused. Isegi kui neljanda klassi õpilased tuvastavad kirjutamisprobleeme, ei pruugi nad neid sama sageli edukalt parandada kui 70% ajast (Scardamalia & Bereiter, 1983). Kui lapsed parandavad probleeme, siis kehvad kirjutajad redigeerivad vigu õigekirjas ja kirjavahemärkides, samas kui paremad kirjutajad redigeerivad stilistilistel põhjustel (Birnbaum, 1982).

Arvestades kirjutamise keerukust, on oskuste omandamise käiku parem iseloomustada kui sujuvuse, mitte automatiseerituse arengut (McCutchen, 1995). Automaatsed protsessid muutuvad rutiinseks ja nõuavad vähe tähelepanu või töömälu ressursse, samas kui sujuvad protsessid – kuigi kiired ja ressursitõhusad – on läbimõeldud ja neid saab “võrgus” muuta. Head kirjutajad järgivad plaane, kuid redigeerivad neid kirjutamise ajal. Kui see protsess oleks automaatne, siis kirjutajate plaanid – kui need on kord vastu võetud – järgitaks ilma katkestusteta. Kuigi kirjutamise komponendid (st õigekiri, sõnavara) muutuvad sageli automaatseks, siis üldine protsess mitte.

Matemaatika on olnud viljakas valdkond kognitiivsele ja konstruktivistlikule uurimistööle (Ball, Lubienski ja Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe jt, 2009; Schoenfeld, 2006; Voss jt, 1995). Teadlased on uurinud, kuidas õppijad teadmisi konstrueerivad, kuidas eksperdid ja algajad erinevad ning millised õpetamismeetodid on kõige tõhusamad (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Õpetamise parandamine on oluline, arvestades, et nii paljudel õpilastel on raskusi matemaatika õppimisega.

Tavaliselt eristatakse matemaatilist arvutamist (reeglite, protseduuride ja algoritmide kasutamine) ja kontsepte (probleemide lahendamine ja strateegiate kasutamine). Arvutuslikud ja kontseptuaalsed probleemid nõuavad õpilastelt reegleid ja algoritme hõlmavate produktsioonide rakendamist. Nende kahe kategooria erinevus seisneb selles, kui selgesõnaliselt probleem õpilastele ütleb, milliseid operatsioone teha. Järgnevad on arvutuslikud probleemid.

• Lahenda x ja y.
• Mis on täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus, mille küljed on võrdsed 3 ja 4 tolliga?

Kuigi õpilastele ei öelda selgesõnaliselt, mida probleemides 2 ja 3 teha, viib probleemi vormingu äratundmine ja protseduuride tundmine neid õigete operatsioonide tegemiseni.

Nüüd võrdle neid probleeme järgmistega:

• Alexil on 20 münti, mis koosnevad kümnetest sentidest ja veeranddollaritest. Kui veeranddollarid oleksid kümne-sendised ja kümne-sendised veeranddollarid, oleks tal 90 senti rohkem kui praegu. Kui palju raha on Alexil?
• Kui reisirongil kulub kaubarongist möödumiseks kaks korda kauem aega, pärast seda, kui ta kõigepealt kaubarongist möödub, kui rongidel kulub vastassuundades sõites möödumiseks, siis kui mitu korda kiirem on reisirong kaubarongist?
• Matkates suudab Shana keskmiselt 2 miili tunnis ülesmäge ja 6 miili tunnis allamäge minnes. Kui ta läheb üles ja alla ega veeda aega tipus, siis milline on tema keskmine kiirus kogu reisi jooksul?

Need tekstülesanded ei ütle õpilastele selgesõnaliselt, mida teha, kuid need nõuavad arvutusi, mis pole keerukamad kui esimeses komplektis vajalikud. Tekstülesannete lahendamine hõlmab nende probleemivormingute äratundmist, sobivate produktsioonide genereerimist ja arvutuste tegemist.

See ei tähenda, et kontseptuaalne ekspertiis oleks parem kui arvutuslik vilumus, kuigi Rittle-Johnson ja Alibali (1999) leidsid, et kontseptuaalsel mõistmisel oli suurem mõju protseduurilistele teadmistele kui vastupidisel juhul. Puudused mõlemas valdkonnas põhjustavad probleeme. Probleemi lahendamise mõistmine, kuid arvutuste tegemine ei too kaasa õigeid vastuseid, nagu ka arvutuslikult vilunud olemine, kuid probleemide kontseptualiseerimine.

Arvutamine

Varaseim arvutusoskus, mida lapsed kasutavad, on loendamine (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Lapsed loendavad objekte sõrmedel ja peas, kasutades strateegiat (Groen & Parkman, 1972). Summa mudel hõlmab hüpoteetilise loenduri seadmist nulli, esimese liidetava ühekaupa loendamist ja seejärel teise liidetava loendamist, et jõuda vastuseni. Probleemi korral “2 + 4 = ?” võivad lapsed loendada 0-st 2-ni ja seejärel loendada veel 4. Tõhusam strateegia on seada loendur esimesele liidetavale (2) ja seejärel loendada teine liidetav (4) ühekaupa. Veelgi tõhusam on miinimummudel: seadke loendur kahe liidetava suuremale (4) ja seejärel loendage väiksem liidetav (2) ühekaupa (Romberg & Carpenter, 1986).

Sellised leiutatud protseduurid on edukad. Lapsed ja täiskasvanud konstrueerivad sageli protseduure matemaatiliste probleemide lahendamiseks. Vea ei ole tavaliselt juhuslikud, vaid pigem peegeldavad veaga algoritme ehk süstemaatilisi vigu mõtlemises ja arutluskäigus (Brown & Burton, 1978). Veaga algoritmid peegeldavad konstruktivistlikku eeldust, et õpilased moodustavad protseduure, lähtudes oma kogemuste tõlgendusest. Tavaline viga lahutamisel on lahutada igas veerus väiksem number suuremast numbrist, olenemata suunast, järgmiselt:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Matemaatilised vead tekivad tõenäoliselt siis, kui õpilased puutuvad kokku uute probleemidega ja üldistavad valesti produktsioone. Näiteks lahutamisel ilma rühmitamiseta lahutavad õpilased väiksema arvu suuremast arvust veergude kaupa. On lihtne näha, kuidas nad saaksid seda protseduuri üldistada ümberrühmitamist nõudvatele probleemidele. Veaga algoritmid on vastupidavad ja võivad sisendada õpilastesse vale enesetõhususe tunde, võib-olla seetõttu, et nende arvutused annavad vastuseid.

Teine arvutuslike raskuste allikas on halb deklaratiivne teadmine arvu faktidest. Paljud lapsed ei tea põhilisi fakte ja neil on puudusi arvulises töötlemises (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent ja Numtee, 2007). Kuni faktid on praktika kaudu pikaajalises mälus kinnistunud, loendavad või arvutavad lapsed vastuseid. Faktide meeldetuletamise kiirus mälust on otseselt seotud üldise matemaatilise saavutusega õpilastel algkoolist kuni kolledžini (Royer, Tronsky, Chan, Jackson ja Marchant, 1999). Arvutusoskus paraneb koos arenguga koos töömälu ja pikaajalise mälu võimetega (Mabbott & Bisanz, 2003).

Paljud arvutuslikud raskused tulenevad liiga keeruliste, kuid tehniliselt korrektsete produktsioonide kasutamisest probleemide lahendamiseks. Sellised protseduurid annavad õigeid vastuseid, kuid kuna need on keerulised, on arvutuslike vigade oht suur. Probleemi 256 jagatud 5-ga saab lahendada jagamisalgoritmiga või 5 järjestikuse lahutamisega 256-st ja lahutamiste arvu lugemisega. Viimane protseduur on tehniliselt korrektne, kuid ebatõhus ja sellel on suur veatõenäosus.

Õppijad esindavad arvutusoskust algselt deklaratiivsete teadmistena propositsioonivõrgus. Faktid erinevate sammude kohta (nt algoritmis) salvestatakse mällu vaimse harjutamise ja avaliku praktika kaudu. Toiming, mis juhib selle etapi sooritust, on üldine; näiteks: “Kui eesmärk on see jagamisprobleem lahendada, siis rakenda meetodit, mida õpetaja meile õpetas.” Lisapraktikaga muutub deklaratiivne esitus domeenispetsiifiliseks protseduuriliseks esituseks ja automatiseerub lõpuks. Varased loendusstrateegiad asendatakse tõhusamate reeglipõhiste strateegiatega (Hopkins & Lawson, 2002). Automaatsel etapil tunnevad õppijad kiiresti ära probleemimustri (nt jagamisprobleem, ruutjuure probleem) ja rakendavad protseduuri ilma suurema teadliku kaalutluseta.

Probleemide lahendamine nõuab, et õpilased esmalt täpselt esitaksid probleemi, hõlmates antud teabe ja eesmärgi, ning seejärel valiksid ja rakendaksid probleemide lahendamise strateegia (Mayer, 1985, 1999). Probleemi tõlkimine selle lingvistilisest esitusest mentaalseks esituseks on sageli keeruline (Bruning jt, 2004). Mida abstraktsem on keel, seda raskem on teksti mõistmine ja seda väiksem on lahenduse tõenäosus (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Õpilased, kellel on raskusi mõistmisega, näitavad halvemat teabe meeldejätmist ja madalamat sooritust. See kehtib eriti nooremate laste kohta, kellel on raskusi abstraktsete lingvistiliste esituste tõlkimisega.

Tõlkimine nõuab ka häid deklaratiivseid ja protseduurilisi teadmisi. Varasema probleemi lahendamine Alexiga, kellel on 20 münti, nõuab teadmisi, et kümme- ja veeranddollarilised on mündid, et kümmedollariline on üks kümnendik ($0.10) dollarist ja et veeranddollariline on üks neljandik ($0.25) dollarist. Need deklaratiivsed teadmised peavad olema ühendatud protseduurilise mõistmisega, et kümme- ja veeranddollarilised on muutujad, nii et kümnete arv pluss veerandite arv võrdub 20-ga.

Üks põhjus, miks eksperdid probleeme paremini tõlgivad, on see, et nende teadmised on pikaajalises mälus paremini organiseeritud; organisatsioon peegeldab ainevaldkonna aluseks olevat struktuuri (Romberg & Carpenter, 1986). Eksperdid jätavad probleemi pealiskaudsed tunnused tähelepanuta ja analüüsivad seda lahenduse jaoks vajalike toimingute seisukohast. Algajaid mõjutavad rohkem pealiskaudsed tunnused. Silver (1981) leidis, et head probleemide lahendajad organiseerisid probleeme vastavalt lahenduse jaoks vajalikule protsessile, samas kui kehvad probleemide lahendajad grupeerisid probleeme tõenäolisemalt sarnase sisu järgi (nt raha, rongid).

Lisaks probleemide tõlkimisele ja klassifitseerimisele erinevad eksperdid ja algajad tootmises (Greeno, 1980). Algajad kasutavad sageli tagurpidi töötamise strateegiat, alustades eesmärgist ja liikudes tagasi antuteni. See on hea heuristika, mis on kasulik õppimise varases staadiumis, kui õppijad on omandanud mõningaid valdkonna teadmisi, kuid ei ole piisavalt pädevad probleemiformaate kiiresti ära tundma.

Seevastu eksperdid töötavad sageli edasi. Nad tuvastavad probleemi tüübi ja valivad probleemi lahendamiseks sobiva produktsiooni. Hegarty, Mayer ja Monk (1995) leidsid, et edukad probleemide lahendajad kasutasid probleemimudeli lähenemist, tõlkides probleemi vaimseks mudeliks, kus probleemi väites olevad numbrid olid seotud nende muutujanimedega. Seevastu vähem edukad lahendajad kasutasid tõenäolisemalt otsese tõlke lähenemist, kombineerides probleemi numbrid aritmeetiliste operatsioonidega, mida esile kutsusid võtmesõnad (nt liitmine on operatsioon, mis on seotud võtmesõnaga „rohkem”). Viimane strateegia on pealiskaudne ja põhineb pealiskaudsetel tunnustel, samas kui esimene strateegia on paremini seotud tähendustega.

Eksperdid arendavad välja keerukaid protseduurilisi teadmisi matemaatiliste probleemide tüübi järgi klassifitseerimiseks. Keskkooli algebra probleemid jagunevad ligikaudu 20 üldkategooriasse, nagu liikumine, vool, mündid ja intress/investeering (Mayer, 1992). Neid kategooriaid saab koondada kuueks suuremaks grupiks. Näiteks summa-aja grupi hulka kuuluvad liikumis-, voolu- ja tööprobleemid. Neid probleeme saab lahendada üldvalemiga: summa = määr aeg. Matemaatilise probleemide lahendamise oskuse arendamine sõltub probleemi klassifitseerimisest õigesse gruppi ja seejärel strateegia rakendamisest. Probleemide lahendamise etappide verbaliseerimine aitab kaasa oskuse arendamisele (Gersten jt, 2009).

Paljud teoreetikud väidavad, et konstruktivism on elujõuline mudel, mis selgitab, kuidas matemaatikat õpitakse (Ball jt, 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Matemaatilisi teadmisi ei omandata keskkonnast passiivselt, vaid indiviidid konstrueerivad need oma interaktsioonide tagajärjel. See konstrueerimisprotsess hõlmab ka laste protseduuride leiutamist, mis sisaldavad varjatud reegleid.

Järgnev ebatavaline näide illustreerib reeglitel põhinevat protseduurilist leiutist. Mõni aeg tagasi tegin ma õpetajaga koostööd, et tuvastada tema klassis lapsed, kes võiksid saada kasu täiendavast juhendamisest pika jagamise alal. Ta nimetas mitu õpilast ja ütles, et Tim võiks ka kvalifitseeruda, kuid ta polnud kindel. Mõnel päeval lahendas ta oma ülesandeid õigesti, samas kui teistel päevadel oli tema töö vale ja ei olnud mõtet. Ma andsin talle lahendamiseks ülesandeid ja palusin tal töötamise ajal verbaliseerida, sest mind huvitas, mida lapsed probleemide lahendamise ajal mõtlesid. Tim ütles järgmist: "Probleem on 17 jagatud 436-ga. Ma alustan probleemi selle külje pealt, mis on uksele kõige lähemal ..." Ma teadsin siis, miks mõnel päeval oli tema töö täpne ja teistel päevadel mitte. See sõltus sellest, kumb tema kehapool oli uksele kõige lähemal!

Teadmiste konstrueerimise protsess algab eelkoolieas (Resnick, 1989). Geary (1995) eristas bioloogiliselt primaarseid (bioloogiliselt põhinevaid) ja bioloogiliselt sekundaarseid (kultuuriliselt õpetatavaid) võimeid. Bioloogiliselt primaarsed võimed on juurdunud neurobioloogilistes süsteemides, mis on arenenud konkreetsetes ökoloogilistes ja sotsiaalsetes niššides ning mis täidavad ellujäämise või paljunemisega seotud funktsioone. Neid tuleks näha kultuurideüleselt, samas kui bioloogiliselt sekundaarsed võimed peaksid näitama suuremat kultuurilist spetsiifilisust (nt koolihariduse funktsioonina). Lisaks peaks paljusid esimesi nägema väga noortel lastel. Tõepoolest, loendamine on loomulik tegevus, mida eelkooliealised lapsed teevad ilma otsese õpetamiseta (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Isegi imikud võivad olla tundlikud numbrite erinevate omaduste suhtes (Geary, 1995). Eelkooliealistel lastel suureneb numbriline pädevus, mis hõlmab osa-terviku aditiivsuse ja muutuste kontseptsioone koguste suurenemise/vähenemisena. Kontseptuaalne muutus toimub algklassides kiiresti (Resnick, 1989). Laste õpetamine skeemide kasutamisele sõnaülesannete esitamiseks hõlbustab probleemide lahendamist (Fuson & Willis, 1989).

Matemaatiline pädevus sõltub ka sotsiokultuurilisest mõjust (Cobb, 1994). Vygotsky (1978) rõhutas pädevate teiste isikute rolli lähima arengu tsoonis (ZPD). Vastupidiselt konstruktivistlikule rõhuasetusele kognitiivsetele reorganisatsioonidele üksikute õpilaste seas, propageerivad sotsiokultuurilised teoreetikud kultuurilisi praktikaid - eriti sotsiaalseid interaktsioone (Cobb, 1994). Sotsiokultuuriline mõju on inkorporeeritud selliste tegevuste kaudu nagu kaaslaste õpetamine, juhendav toestamine ja õpipoisiõpe.

Uuringud toetavad ideed, et sotsiaalsed interaktsioonid on kasulikud. Rittle-Johnson ja Star (2007) leidsid, et seitsmenda klassi õpilaste matemaatiline pädevus paranes, kui neil lubati võrrelda lahendusmeetodeid partneritega. Springeri, Stanne'i ja Donovani (1999) kirjanduse ülevaate tulemused näitasid, et väikerühma õppimine tõstis oluliselt kolledži üliõpilaste saavutusi matemaatikas ja teaduses. Kramarski ja Mevarech (2003) leidsid, et kooperatiivse õppimise kombineerimine metakognitiivse õpetusega (nt asjakohaste kontseptsioonide üle järelemõtlemine, sobivate strateegiate kasutamise üle otsustamine) tõstis kaheksanda klassi õpilaste matemaatilist arutlusoskust rohkem kui kumbki protseduur eraldi. Lisaks nendele kooperatiivse õppimise eelistele (Stein & Carmine, 1999) näitab matemaatikaalane kaaslaste ja eri vanuses juhendamise kirjandus, et see on tõhus laste saavutuste tõstmisel (Robinson, Schofield & Steers-Wentzell, 2005). Konstruktivistliku ja sotsiokultuurilise perspektiivi koordineerimine on võimalik; õpilased saavad teadmisi arendada sotsiaalsete interaktsioonide kaudu, kuid seejärel idiosünkraatiliselt konstrueerida selle teadmise kasutusviise.

Kognitiivsed ja konstruktivistlikud õppeprotsessid kehtivad õppimise põhivormide kohta, kuid omandavad suurema tähtsuse kompleksõppes. Kompetentsi arendamine akadeemilises valdkonnas nõuab teadmisi selle valdkonna faktidest, põhimõtetest ja kontseptsioonidest, millega kaasnevad üldised strateegiad, mida saab rakendada erinevates valdkondades, ja spetsiifilised strateegiad, mis on seotud iga valdkonnaga. Uuringud on tuvastanud palju erinevusi ekspertide ja algajate vahel antud valdkonnas.

Konditsionaalne teadmine on teadmine, millal ja miks kasutada deklaratiivseid ja protseduurilisi teadmisi. Lihtsalt teadmine, mida teha ja kuidas seda teha, ei too edu. Õpilased peavad mõistma ka seda, millal on teadmised ja protseduurid kasulikud. Konditsionaalne teadmine on tõenäoliselt salvestatud pikaajalisse mällu (LTM) propositsioonidena, mis on seotud teiste deklaratiivsete ja protseduuriliste teadmistega. Metakognitsioon viitab vaimsete tegevuste tahtlikule, teadlikule kontrollile. Metakognitsioon hõlmab teadmisi ja jälgimistegevusi, mille eesmärk on tagada ülesannete edukas lõpuleviimine. Metakognitsioon hakkab arenema umbes 5–7-aastaselt ja jätkub kogu koolihariduse vältel. Inimese metakognitiivne teadlikkus sõltub ülesandest, strateegiast ja õppija muutujatest. Õppijad saavad kasu metakognitiivsete tegevuste õpetamisest.

Kontseptsiooni õppimine hõlmab kõrgema taseme protsesse, mille käigus moodustatakse vaimsed esitused kategooriate kriitilistest atribuutidest. Praegused teooriad rõhutavad tunnuste analüüsimist ja hüpoteeside loomist kontseptsioonide kohta (tunnuste analüüs), samuti kontseptsioonide üldistatud kujutiste moodustamist, mis sisaldavad ainult mõningaid määratlevaid tunnuseid (prototüübid). Prototüüpe võib kasutada kontseptsioonide tüüpiliste näidete klassifitseerimiseks ja tunnuste analüüsi vähem tüüpiliste näidete jaoks. On pakutud kontseptsioonide omandamise ja õpetamise mudeleid ning kontseptuaalsetes muutustes on olulised ka motivatsioonilised protsessid.

Probleemide lahendamine koosneb algseisundist, eesmärgist, alaeesmärkidest ja toimingutest, mis viiakse läbi eesmärgi ja alaeesmärkide saavutamiseks. Teadlased on uurinud probleemide lahendamisega tegelevate õppijate vaimseid protsesse ning ekspertide ja algajate erinevusi. Probleemide lahendamist on vaadeldud kui katse ja eksituse, arusaama ja heuristika peegeldust. Neid üldisi lähenemisviise saab rakendada akadeemilisele sisule. Kui inimesed omandavad valdkonnas kogemusi, omandavad nad teadmisi ja tootmissüsteeme ehk reeglite kogumeid, mida strateegiliselt rakendada eesmärkide saavutamiseks. Probleemide lahendamine nõuab probleemist vaimse esituse moodustamist ja selle lahendamiseks tootmise rakendamist. Hästi määratletud probleemide puhul, kus potentsiaalsed lahendused saab järjestada tõenäosuse järgi, on kasulik genereerimis- ja testimisstrateegia. Raskemate või vähem hästi määratletud probleemide korral kasutatakse vahendite-eesmärkide analüüsi, mis nõuab tagurpidi või edasi töötamist. Muud probleemide lahendamise strateegiad hõlmavad analoogilist arutlust ja ajurünnakut.

Ülekandmine on kompleksne nähtus. Ajaloolised vaated hõlmavad identseid elemente, vaimset distsipliini ja üldistamist. Kognitiivsest vaatenurgast hõlmab ülekandmine mälu struktuuride aktiveerimist ja toimub siis, kui teave on seotud. Eristatakse lähedast ja kauget, sõnasõnalist ja kujundlikku ning madala ja kõrge tee ülekandmist. Mõned ülekandevormid võivad toimuda automaatselt, kuid suur osa on teadlik ja hõlmab abstraktsiooni. Õpilastele tagasiside andmine oskuste ja strateegiate kasulikkuse kohta suurendab ülekandmise tõenäosust.

Tehnoloogia tähtsus õppimises ja õpetamises kasvab jätkuvalt. Kaks valdkonda, mis on näinud kiiret kasvu, on arvutipõhised õppekeskkonnad ja kaugõpe. Arvutipõhiseid keskkondi hõlmavad rakendused hõlmavad arvutipõhist õpet, mänge ja simulatsioone, hüpermeediat/multimeediat ja e-õpet. Kaugõpe toimub siis, kui õpetamine algab ühest kohast ja edastatakse õpilastele ühes või mitmes kauges kohas. Interaktiivsed võimalused võimaldavad kahesuunalist tagasisidet ja sünkroonseid arutelusid. Kaugõpe hõlmab sageli veebipõhist (veebipõhist) asünkroonset õpet ja kursusi saab korraldada segamudeli abil (mõni näost näkku ja mõni veebipõhine õpe). Uuringud näitavad tehnoloogia kasu metakognitsioonile, süvatöötlusele ja probleemide lahendamisele. Tulevased uuendused toovad kaasa suurema juurdepääsetavuse ja interaktiivsed võimalused.

Selles õppetükis kokkuvõetud põhimõtete hulka kuuluvad lahendatud näited, kirjutamine ja matemaatika. Lahendatud näited esitavad probleemide lahendusi samm-sammult ja sageli sisaldavad kaasnevaid diagramme. Lahendatud näited sisaldavad palju funktsioone, mis hõlbustavad õppijate probleemide lahendamist. Kirjutamine nõuab komponeerimist ja ülevaatamist. Eksperdid planeerivad teksti eesmärgiga edastada tähendust ja hoiavad eesmärki ülevaatamise ajal meeles. Algajad kipuvad kirjutama seda, mida nad teema kohta mäletavad, selle asemel et keskenduda oma eesmärgile. Lastel on varajane matemaatiline pädevus loendamisega. Arvutuslikud oskused nõuavad algoritme ja deklaratiivseid teadmisi. Õpilased üldistavad protseduure sageli üle (vigased algoritmid). Õpilased omandavad kogemuste kaudu teadmisi probleemide tüüpide kohta. Eksperdid tunnevad tüübid ära ja rakendavad nende lahendamiseks õigeid tootmisi (edasi töötades). Algajad töötavad tagurpidi, rakendades valemeid, mis sisaldavad probleemis antud suurusi.