Pažintiniai mokymosi procesai: instrukcinės programos

Pateikti darbo pavyzdžiai, kurie trumpai buvo aptarti mūsų kurso metu, pateikia žingsnis po žingsnio problemų sprendimus ir dažnai apima lydinčias diagramas. Jie atspindi eksperto problemų sprendimo modelį, kurį besimokantieji turi išstudijuoti prieš pradėdami jį imituoti.

Pateikti darbo pavyzdžiai atspindi Andersono ACT-R teoriją (Lee & Anderson, 2001) ir yra ypač tinkami sudėtingoms mokymosi formoms, tokioms kaip algebra, fizika ir geometrija (Atkinson et al., 2000, 2003). Taikant naujoko–eksperto modelį, tyrėjai nustatė, kad ekspertai paprastai sutelkia dėmesį į gilesnius (struktūrinius) problemų aspektus, o naujokai dažniau susiduria su paviršiaus savybėmis. Vien praktika yra mažiau veiksminga ugdant įgūdžius nei praktika kartu su pateiktais darbo pavyzdžiais (Atkinson et al., 2000).

Pateikti darbo pavyzdžiai atrodo naudingiausi studentams ankstyvosiose įgūdžių įgijimo stadijose, o ne patyrusiems besimokantiesiems, kurie tobulina įgūdžius. Jos taikymas aiškiai matomas keturių etapų įgūdžių įgijimo modelyje pagal ACT-R sistemą (Anderson, Fincham, & Douglass, 1997). 1 etape besimokantieji naudoja analogijas, kad susietų pavyzdžius su sprendžiamomis problemomis. 2 etape jie praktikos metu sukuria abstrakčias deklaratyvines taisykles. 3 etape veikla tampa greitesnė ir sklandesnė, nes problemos sprendimo aspektai automatizuojami. Iki 4 etapo besimokantieji atmintyje turi daug problemų tipų ir gali greitai atgauti tinkamą sprendimo strategiją, susidūrę su problema. Pateiktų darbo pavyzdžių naudojimas geriausiai tinka 1 etapui ir ankstyvajam 2 etapui. Vėlesniuose etapuose žmonėms naudinga praktika tobulinant savo strategijas, nors net ir pažengusiuose etapuose ekspertų sprendimų studijavimas gali būti naudingas.

Svarbus mokymo klausimas yra tai, kaip integruoti pavyzdžio komponentus, tokius kaip diagrama, tekstas ir garsinė informacija. Būtina, kad pateiktas darbo pavyzdys neperkrautų besimokančiojo DL, ką gali padaryti keli vienu metu pateikiami informacijos šaltiniai. Stull ir Mayer (2007) nustatė, kad grafinių organizatorių (panašių į pateiktus darbo pavyzdžius) pateikimas davė geresnį problemų sprendimo perkėlimą nei leidus besimokantiesiems patiems juos konstruoti. Pastaroji užduotis galėjo sukelti per didelį kognityvinį krūvį. Kiti įrodymai rodo, kad pateikti darbo pavyzdžiai gali sumažinti kognityvinį krūvį (Renkl, Hilbert, & Schworm, 2009).

Tyrimai patvirtina prognozę, kad dvigubas pateikimas palengvina mokymąsi geriau nei vieno režimo pateikimas (Atkinson et al., 2000; Mayer, 1997). Šis rezultatas atitinka dvigubo kodavimo teoriją (Paivio, 1986), su sąlyga, kad per didelis sudėtingumas nėra pageidautinas. Panašiai pavyzdžiai, sumaišyti su papildomais tikslais, padeda sukurti gilias struktūras ir palengvina mokymąsi.

Svarbiausia, kad pavyzdžiai, apimantys kelis pateikimo režimus, turėtų būti suvienyti, kad besimokančiųjų dėmesys nebūtų padalytas tarp neintegruotų šaltinių. Garsiniai ir verbaliniai paaiškinimai turėtų nurodyti, į kurį pavyzdžio aspektą jie kreipiasi, kad besimokantiesiems nereikėtų patiems ieškoti. Papildomi tikslai turėtų būti aiškiai pažymėti ir vizualiai atskirti bendrame ekrane.

Antrasis mokymo klausimas yra tai, kaip pavyzdžiai turėtų būti išdėstyti seka. Tyrimai patvirtina išvadas, kad du pavyzdžiai yra pranašesni už vieną, kad įvairūs pavyzdžiai yra geresni už du to paties tipo pavyzdžius ir kad pavyzdžių ir praktikos sumaišymas yra veiksmingesnis nei pamoka, kurioje pateikiami pavyzdžiai, o po to – praktinės problemos (Atkinson et al., 2000). Palaipsniui išnykstantys pateikti darbo pavyzdžiai mokymo sekoje yra susiję su geresniu studentų mokymosi perkėlimu (Atkinson et al., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann ir Glaser (1989) nustatė, kad studentai, kurie pateikė paaiškinimus patys, studijuodami pavyzdžius vėliau pasiekė aukštesnį lygį, palyginti su studentais, kurie nepaaiškino patys. Tikėtina, kad paaiškinimai patys padėjo studentams suprasti giliąją problemų struktūrą ir taip prasmingiau ją užkoduoti. Paaiškinimas patys taip pat yra repeticijos tipas, o repeticijos nauda mokymuisi yra gerai žinoma. Taigi, studentai turėtų būti skatinami paaiškinti patys studijuodami pateiktus darbo pavyzdžius, pavyzdžiui, verbalizuojant papildomus tikslus.

Kita problema yra ta, kad pateikti darbo pavyzdžiai gali sukelti pasyvų mokymąsi, nes besimokantieji gali juos apdoroti paviršutiniškai. Įtraukiant interaktyvius elementus, pavyzdžiui, pateikiant raginimus arba paliekant spragas, kurias besimokantieji turi užpildyti, skatinamas aktyvesnis kognityvinis apdorojimas ir mokymasis (Atkinson & Renkl, 2007). Animacijos taip pat yra naudingos (Wouters, Paas, & van Merriënboer, 2008).

Apibendrinant, yra keletas savybių, kurios, įtrauktos į pateiktus darbo pavyzdžius, padeda besimokantiesiems sukurti kognityvines schemas, kad palengvintų vėlesnius pasiekimus. Šios mokymo strategijos geriausiai naudojamos ankstyvosiose įgūdžių mokymosi stadijose. Praktikos metu pradiniai kognityviniai vaizdai turėtų išsivystyti į patobulintas schemas, kurias naudoja ekspertai.

Pasiūlymai, kaip naudoti pateiktus darbo pavyzdžius mokyme

• Pateikite pavyzdžius šalia problemų, kurias studentai spręs.
• Pateikite kelis pavyzdžius, rodančius skirtingus problemų tipus.
• Pateikite informaciją skirtingais būdais (garsinis, vizualinis).
• Pavyzdžiuose nurodykite papildomus tikslus.
• Užtikrinkite, kad pavyzdžiuose būtų pateikta visa informacija, reikalinga problemoms išspręsti.
• Mokykite studentus patiems paaiškinti pavyzdžius ir skatinkite paaiškinimus patys.
• Suteikite pakankamai praktikos su problemų tipais, kad studentai patobulintų įgūdžius.

Rašymas atspindi daugelį kognityvinių procesų, aptartų šioje kurso dalyje. Geri rašytojai negimsta, bet išsiugdo; efektyvus mokymas yra labai svarbus rašymo įgūdžių ugdymui (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Šiuolaikiniai modeliai nagrinėja rašytojų protinius procesus, kai jie dalyvauja skirtinguose rašymo aspektuose (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Tyrimų tikslas yra apibrėžti kompetenciją. Palyginę ekspertus rašytojus su naujokais, tyrėjai nustato, kaip skiriasi jų protiniai procesai (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower ir Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) suformulavo modelį, atspindintį bendrą problemų sprendimo sistemą, sukurtą Newell ir Simon (1972). Rašytojai apibrėžia problemos erdvę ir atlieka operacijas su savo protiniu problemos atvaizdavimu, kad pasiektų savo tikslus. Pagrindiniai šio modelio komponentai yra retorinė problema, planavimas, organizavimas, tikslų nustatymas, vertimas ir peržiūra.

Retorinė problema apima rašytojo temą, numatomą auditoriją ir tikslus. Retorinė problema studentams dažnai yra gerai apibrėžta. Mokytojai paskiria referato temą, auditorija yra mokytojas, o tikslas (pvz., informuoti, įtikinti) yra pateiktas; tačiau retorinės problemos niekada visiškai neapibrėžia kas nors kitas, o ne rašytojas. Rašytojai interpretuoja problemas savaip.

Rašytojo ilgalaikė atmintis (LTM) vaidina lemiamą vaidmenį. Rašytojai skiriasi savo žiniomis apie temą, auditoriją ir mechaniką (pvz., gramatiką, rašybą, skyrybą). Rašytojai, išmanantys savo temas, pateikia mažiau nesvarbių teiginių, bet daugiau pagalbinių teiginių (skirtų pagrindiniams punktams išplėsti), palyginti su mažiau išmanančiais rašytojais (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Deklaratyvių žinių skirtumai veikia rašymo kokybę.

Planavimas apima vidinio žinių atvaizdo formavimą, kuris bus naudojamas kuriant. Vidinis atvaizdas paprastai yra abstraktesnis nei tikrasis rašymas. Planavimas apima kelis procesus, tokius kaip idėjų generavimas, gaunant atitinkamą informaciją iš atminties ar kitų šaltinių. Šios idėjos gali būti gerai suformuotos arba fragmentiškos.

Yra dideli individualūs planavimo skirtumai. Vaikų rašymas paprastai primena „žinių pasakojimą“ (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Jie dažnai laikosi „gauti ir rašyti“ strategijos, pasiekdami LTM su užuomina ir rašydami tai, ką žino. Vaikai mažai planuoja ir peržiūri, bet daug verčia. Nors vyresni rašytojai taip pat gauna turinį iš LTM, jie tai daro kaip planavimo dalį, po kurios įvertina jo tinkamumą prieš versdami. Vaikų gavimas ir vertimas yra integruoti vientisai (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Maži vaikai sukuria mažiau idėjų nei vyresni (Scardamalia & Bereiter, 1986). Jiems naudingas raginimas (pvz., „Ar galite parašyti dar šiek tiek?“). Englert, Raphael, Anderson, Anthony ir Stevens (1991) parodė, kad ketvirtos ir penktos klasių mokinių rašymas pagerėjo, kai jie buvo veikiami mokytojų, kurie modeliavo metakognityvinius komponentus (pvz., kurios strategijos buvo naudingos, kada ir kodėl jos buvo naudingos) ir kai jie buvo mokomi generuoti klausimus planavimo metu. Vyresni ir geresni rašytojai labiau naudojasi vidiniais raginimais. Jie ieško atitinkamų temų LTM ir įvertina žinias prieš pradėdami kurti. Mokytojai gali skatinti idėjų generavimą, nurodydami studentams galvoti apie idėjas (Bruning et al., 2004).

Organizavimas perteikiamas per sakinių dalių sanglaudą ir sakinių nuoseklumą. Sanglaudos priemonės susieja idėjas kartu su įvardžiais, apibrėžtaisiais artikulais, jungtukais ir žodžių reikšmėmis. Mažiems vaikams sunkiau sekasi sanglauda, bet nekvalifikuoti rašytojai bet kuriame amžiuje naudoja sanglaudą prasčiau. Raidos skirtumų taip pat randama nuoseklumo srityje. Jauniems ir prastiems rašytojams sunku susieti sakinius vieną su kitu ir su pagrindiniu sakiniu (McCutchen & Perfetti, 1982).

Pagrindinis subprocesas yra tikslų nustatymas. Tikslai yra esminiai (ką rašytojas nori pranešti) ir procedūriniai (kaip pranešti arba kaip turėtų būti išreikšti punktai). Geri rašytojai dažnai keičia savo tikslus, atsižvelgdami į tai, ką jie sukuria. Rašytojai turi tikslų prieš pradėdami rašyti, bet eidami pirmyn jie gali suprasti, kad tam tikras tikslas nėra svarbus kompozicijai. Naujus tikslus siūlo tikrasis rašymas.

Pagrindinis kvalifikuotų rašytojų tikslas yra perteikti prasmę, o prasti rašytojai dažnai praktikuoja asociatyvų rašymą (Bereiter, 1980). Jie gali manyti, kad rašymo tikslas yra atkartoti viską, ką jie žino apie temą; tvarka yra mažiau svarbi nei įtraukumas. Kitas mažiau kvalifikuotų rašytojų tikslas yra išvengti klaidų. Kai jų paprašoma kritikuoti savo rašymą, geri rašytojai daugiausia dėmesio skiria tam, kaip gerai jie perteikė savo ketinimus, o prasti rašytojai dažniau mini paviršutiniškus dalykus (pvz., rašybą, skyrybą).

Vertimas reiškia savo idėjų perkėlimą į spaudą. Vaikams ir nepatyrusiems rašytojams vertimas dažnai per daug apkrauna darbinę atmintį (WM). Jie turi turėti omenyje savo tikslą, idėjas, kurias jie nori išreikšti, ir būtiną organizavimą bei mechaniką. Geri rašytojai mažiau rūpinasi paviršutiniškais bruožais vertimo metu; jie labiau sutelkia dėmesį į prasmę ir ištaiso paviršutiniškas problemas vėliau. Prasti rašytojai labiau susitelkia į paviršutiniškus bruožus ir rašo lėčiau nei geri rašytojai. Geresni rašytojai atsižvelgia į stilistinius ir paviršutiniškus dalykus, kai jie sustoja rašydami. Prastesni rašytojai gauna naudos, kai skaito tai, ką parašė, ruošdamiesi kurti.

Peržiūra susideda iš vertinimo ir peržiūros. Peržiūra vyksta, kai rašytojai skaito tai, ką parašė, kaip tolesnio vertimo ar sistemingo vertinimo ir peržiūros pirmtaką (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Per peržiūrą rašytojai vertina ir modifikuoja planus bei keičia vėlesnį rašymą.

Šie procesai yra svarbūs, nes rašytojai gali praleisti net 70 % savo rašymo laiko sustodami (Flower & Hayes, 1981), didžiąją dalį laiko skirdami sakinių lygmens planavimui. Rašytojai iš naujo perskaito tai, ką parašė, ir nusprendžia, ką sakyti toliau. Šie „iš apačios į viršų“ procesai sukuria kompoziciją po vieną skyrių. Kai toks kūrimas atliekamas turint omenyje bendrą planą, kompozicija ir toliau atspindi rašytojų tikslus.

Prasti rašytojai paprastai priklauso nuo rašymo „iš apačios į viršų“. Sustodami geri rašytojai užsiima retoriniu planavimu, tiesiogiai nesusijusiu su tuo, ką jie sukūrė. Šis planavimo tipas atspindi rašymo kaip problemų sprendimo proceso „iš viršaus į apačią“ vaizdą; rašytojai turi omenyje bendrą tikslą ir planuoja, kaip jį pasiekti, arba nusprendžia, kad jiems reikia jį pakeisti. Planavimas apima turinį (sprendimą, kokią temą aptarti) ir stilių (sprendimą pakeisti stilių įterpiant anekdotą). Šis planavimas apima sakinių lygmens planavimą ir yra būdingas brandiems rašytojams (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Vaikai gali mažai ką peržiūrėti be mokytojo ar bendraamžių paramos (Fitzgerald, 1987). Studentams naudingas mokymas, skirtas pagerinti jų rašymo kokybę. Fitzgerald ir Markham (1987) davė vidutiniams šeštos klasės rašytojams instrukcijas apie peržiūrų tipus: papildymus, ištrynimus, pakeitimus ir pertvarkymus. Mokytojas paaiškino ir modeliavo kiekvieną peržiūros strategiją, po kurios studentai dirbo poromis (bendraamžių konferencijos). Mokymas pagerino studentų žinias apie peržiūros procesus ir jų faktines peržiūras. Beal, Garrod ir Bonitatibus (1990) nustatė, kad trečios ir šeštos klasės vaikų mokymas naudoti klausimų kėlimo strategiją (pvz., „Kas vyksta istorijoje?“) lėmė žymiai didesnę teksto peržiūrą.

Vertinimo įgūdžiai vystosi anksčiau nei peržiūros įgūdžiai. Net kai ketvirtokai atpažįsta rašymo problemas, jie gali sėkmingai jų neištaisyti net 70 % atvejų (Scardamalia & Bereiter, 1983). Kai vaikai taiso problemas, prasti rašytojai peržiūri rašybos ir skyrybos klaidas, o geresni rašytojai peržiūri dėl stilistinių priežasčių (Birnbaum, 1982).

Atsižvelgiant į rašymo sudėtingumą, įgūdžių įgijimo eigą geriau apibūdinti kaip sklandumo, o ne automatizavimo ugdymą (McCutchen, 1995). Automatiniai procesai tampa įprasti ir reikalauja mažai dėmesio ar WM išteklių, o sklandūs procesai, nors ir greiti bei efektyvūs išteklių požiūriu, yra apgalvoti ir gali būti keičiami „internetu“. Geri rašytojai laikosi planų, bet juos peržiūri rašydami. Jei šis procesas būtų automatinis, rašytojų planai, kai tik jie būtų priimti, būtų vykdomi be pertraukų. Nors sudedamieji rašymo įgūdžiai (t. y. rašyba, žodynas) dažnai tampa automatiniai, bendras procesas toks netampa.

Matematika buvo derlinga kognityvinių ir konstruktyvistinių tyrimų sritis (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe ir kt., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss ir kt., 1995). Tyrėjai tyrė, kaip besimokantieji konstruoja žinias, kuo skiriasi ekspertai ir naujokai ir kurie mokymo metodai yra veiksmingiausi (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Mokymo tobulinimas yra svarbus, atsižvelgiant į tai, kad tiek daug studentų patiria sunkumų mokantis matematikos.

Paprastai skiriamas matematinis skaičiavimas (taisyklių, procedūrų ir algoritmų naudojimas) ir sąvokos (problemų sprendimas ir strategijų naudojimas). Skaičiavimo ir konceptualios problemos reikalauja, kad studentai įgyvendintų produkcijas, susijusias su taisyklėmis ir algoritmais. Šių dviejų kategorijų skirtumas slypi tame, kaip aiškiai problema pasako studentams, kokias operacijas atlikti. Toliau pateikiami skaičiavimo uždaviniai.

• Išspręskite x ir y.
• Koks yra stačiojo trikampio, kurio kraštinės lygios 3 ir 4 coliams, įžambinės ilgis?

Nors studentams nėra aiškiai pasakyta, ką daryti 2 ir 3 uždaviniuose, problemos formato atpažinimas ir procedūrų žinojimas paskatina juos atlikti teisingas operacijas.

Dabar palyginkite šiuos uždavinius su šiais:

• Aleksas turi 20 monetų, sudarytų iš dešimtinių ir ketvirčių. Jei ketvirčiai būtų dešimtinės, o dešimtinės būtų ketvirčiai, jis turėtų 90 centų daugiau nei dabar. Kiek pinigų turi Aleksas?
• Jei keleiviniam traukiniui prireikia dvigubai daugiau laiko pravažiuoti krovininį traukinį, po to, kai jis pirmą kartą aplenkia krovininį traukinį, nei prireikia dviem traukiniams pravažiuoti važiuojant priešingomis kryptimis, kiek kartų keleivinis traukinys yra greitesnis už krovininį traukinį?
• Žygiuodama Šana vidutiniškai gali įveikti 2 mylias per valandą į kalną ir 6 mylias per valandą žemyn. Jei ji eina į kalną ir žemyn ir nepraleidžia laiko viršūnėje, koks bus jos vidutinis greitis visos kelionės metu?

Šiuose tekstiniuose uždaviniuose studentams nėra aiškiai pasakyta, ką daryti, tačiau jiems reikia ne daugiau sunkumų reikalaujančių skaičiavimų nei pirmajame rinkinyje. Sprendžiant tekstinius uždavinius reikia atpažinti jų problemų formatus, generuoti atitinkamas produkcijas ir atlikti skaičiavimus.

Tai nereiškia, kad konceptuali kompetencija yra geresnė už skaičiavimo įgūdžius, nors Rittle-Johnson ir Alibali (1999) nustatė, kad konceptualus supratimas turėjo didesnę įtaką procedūrinėms žinioms nei atvirkščiai. Trūkumai bet kurioje srityje sukelia problemų. Supratimas, kaip išspręsti uždavinį, bet negalėjimas atlikti skaičiavimų, lemia neteisingus atsakymus, kaip ir skaičiavimo įgūdžiai, bet negalėjimas konceptualizuoti problemų.

Skaičiavimas

Ankstyviausias vaikų naudojamas skaičiavimo įgūdis yra skaičiavimas (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Vaikai skaičiuoja objektus ant savo pirštų ir galvoje naudodami strategiją (Groen & Parkman, 1972). Sumos modelyje nustatomas hipotetinis skaitiklis ties nuliu, skaičiuojamas pirmasis dėmuo vienetais ir tada skaičiuojamas antrasis dėmuo, kad būtų gautas atsakymas. Uždaviniui “2 + 4 = ?” vaikai gali skaičiuoti nuo 0 iki 2 ir tada suskaičiuoti dar 4. Efektyvesnė strategija yra nustatyti skaitiklį ties pirmuoju dėmeniu (2) ir tada skaičiuoti antrąjį dėmenį (4) vienetais. Dar efektyvesnis yra minimalus modelis: nustatykite skaitiklį ties didesniuoju iš dviejų dėmenų (4) ir tada skaičiuokite mažesnįjį dėmenį (2) vienetais (Romberg & Carpenter, 1986).

Šie išrasti metodai yra sėkmingi. Vaikai ir suaugusieji dažnai konstruoja procedūras, kad išspręstų matematinius uždavinius. Klaidos paprastai nėra atsitiktinės, o atspindi klaidingus algoritmus arba sistemingas mąstymo ir argumentavimo klaidas (Brown & Burton, 1978). Klaidingi algoritmai atspindi konstruktyvistinę prielaidą, kad studentai formuoja procedūras, pagrįstas savo patirties interpretavimu. Dažna klaida atimant yra atimti mažesnį skaičių iš didesniojo skaičiaus kiekviename stulpelyje, neatsižvelgiant į kryptį, kaip nurodyta toliau:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Matematinės klaidos tikriausiai atsiranda, kai studentai susiduria su naujais uždaviniais ir neteisingai apibendrina produkcijas. Pavyzdžiui, atimant be perskaičiavimo, studentai atima mažesnį skaičių iš didesniojo stulpelio po stulpelio. Lengva suprasti, kaip jie galėtų apibendrinti šią procedūrą uždaviniams, kuriems reikia perskaičiavimo. Klaidingi algoritmai yra patvarūs ir gali įdiegti studentams klaidingą saviveiksmingumo jausmą, galbūt todėl, kad jų skaičiavimai duoda atsakymus.

Kitas skaičiavimo sunkumų šaltinis yra prastos deklaratyviosios žinios apie skaičių faktus. Daugelis vaikų nežino pagrindinių faktų ir rodo skaitmeninio apdorojimo trūkumus (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, & Numtee, 2007). Kol faktai neįsitvirtina ilgalaikėje atmintyje per praktiką, vaikai skaičiuoja arba skaičiuoja atsakymus. Faktų atkūrimo iš atminties greitis tiesiogiai susijęs su bendrais matematiniais pasiekimais studentams nuo pradinės mokyklos iki kolegijos (Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant, 1999). Skaičiavimo įgūdžiai tobulėja su vystymusi, kartu su darbine atmintimi ir ilgalaikės atminties galimybėmis (Mabbott & Bisanz, 2003).

Daugelis skaičiavimo sunkumų kyla dėl pernelyg sudėtingų, bet techniškai teisingų produkcijų naudojimo sprendžiant uždavinius. Tokios procedūros duoda teisingus atsakymus, tačiau dėl to, kad jos yra sudėtingos, skaičiavimo klaidų rizika yra didelė. Uždavinys 256 padalintas iš 5 gali būti išspręstas dalijimo algoritmu arba nuosekliai atimant 5 iš 256 ir skaičiuojant atimčių skaičių. Pastaroji procedūra yra techniškai teisinga, bet neveiksminga ir turi didelę klaidų tikimybę.

Besimokantieji iš pradžių vaizduoja skaičiavimo įgūdžius kaip deklaratyvias žinias propozicijų tinkle. Faktai, susiję su skirtingais žingsniais (pvz., algoritme), įsimenami per psichinį kartojimą ir atvirą praktiką. Produkcija, kuri vadovauja atlikimui šiame etape, yra bendra; pavyzdžiui: “Jei tikslas yra išspręsti šį dalijimo uždavinį, tada taikykite metodą, kurį mokytojas mus išmokė.” Su papildoma praktika deklaratyvusis vaizdavimas pasikeičia į konkrečiai sričiai skirtą procedūrinį vaizdavimą ir galiausiai automatizuojamas. Ankstyvosios skaičiavimo strategijos pakeičiamos efektyvesnėmis taisyklėmis pagrįstomis strategijomis (Hopkins & Lawson, 2002). Automatizuotu etapu besimokantieji greitai atpažįsta problemos modelį (pvz., dalijimo uždavinys, kvadratinės šaknies uždavinys) ir įgyvendina procedūrą be didelių sąmoningų svarstymų.

Problemų sprendimas reikalauja, kad studentai pirmiausia tiksliai atvaizduotų problemą, įtraukdami pateiktą informaciją ir tikslą, o tada pasirinktų ir pritaikytų problemų sprendimo strategiją (Mayer, 1985, 1999). Problemos vertimas iš lingvistinio atvaizdavimo į mentalinį atvaizdavimą dažnai yra sudėtingas (Bruning et al., 2004). Kuo kalba abstraktesnė, tuo sunkesnis teksto supratimas ir tuo mažesnė sprendimo tikimybė (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Studentai, kuriems sunku suprasti, prasčiau prisimena informaciją ir pasiekia prastesnių rezultatų. Tai ypač pasakytina apie jaunesnius vaikus, kuriems sunku išversti abstrakčius lingvistinius atvaizdavimus.

Vertimui taip pat reikia gerų deklaratyvių ir procedūrinių žinių. Norint išspręsti ankstesnę problemą apie Aleksą su 20 monetų, reikia žinoti, kad dešimt centų ir ketvirčiai yra monetos, kad dešimt centų yra viena dešimtoji (0,10 USD) nuo 1 USD, o ketvirtis – viena ketvirtoji (0,25 USD) nuo 1 USD. Šios deklaratyvios žinios turi būti susietos su procedūriniu supratimu, kad dešimt centų ir ketvirčiai yra kintamieji, tokie, kad dešimties centų skaičius plius ketvirčių skaičius yra lygus 20.

Viena iš priežasčių, kodėl ekspertai geriau verčia problemas, yra ta, kad jų žinios yra geriau organizuotos ilgalaikėje atmintyje (LTM); organizacija atspindi pagrindinę dalyko struktūrą (Romberg & Carpenter, 1986). Ekspertai nekreipia dėmesio į paviršinius problemos bruožus ir analizuoja ją atsižvelgdami į sprendimui reikalingas operacijas. Naujokai labiau paveikiami paviršinių bruožų. Silver (1981) nustatė, kad geri problemų sprendėjai problemas organizavo pagal sprendimui reikalingą procesą, o prasti problemų sprendėjai dažniau grupuodavo problemas su panašiu turiniu (pvz., pinigai, traukiniai).

Be problemų vertimo ir klasifikavimo, ekspertai ir naujokai skiriasi produkcijomis (Greeno, 1980). Naujokai dažnai taiko atgalinės eigos strategiją, pradėdami nuo tikslo ir eidami atgal prie duotųjų. Tai gera heuristika, naudinga ankstyvosiose mokymosi stadijose, kai besimokantieji įgijo tam tikrų srities žinių, bet nėra pakankamai kompetentingi greitai atpažinti problemų formatus.

Priešingai, ekspertai dažnai dirba į priekį. Jie nustato problemos tipą ir pasirenka tinkamą produkciją problemai išspręsti. Hegarty, Mayer ir Monk (1995) nustatė, kad sėkmingi problemų sprendėjai naudojo problemos modelio metodą, paversdami problemą į mentalinį modelį, kuriame skaičiai problemos teiginyje buvo susieti su jų kintamųjų pavadinimais. Priešingai, mažiau sėkmingi sprendėjai dažniau naudojo tiesioginio vertimo metodą, sujungdami skaičius problemos teiginyje su aritmetinėmis operacijomis, kurias suaktyvino pagrindiniai žodžiai (pvz., sudėtis yra operacija, susieta su pagrindiniu žodžiu „daugiau“). Pastaroji strategija yra paviršutiniška ir pagrįsta paviršiniais bruožais, o pirmoji strategija yra geriau susieta su reikšmėmis.

Ekspertai plėtoja sudėtingas procedūrines žinias, skirtas klasifikuoti matematines problemas pagal tipą. Vidurinės mokyklos algebros problemos skirstomos į maždaug 20 bendrų kategorijų, tokių kaip judėjimas, srovė, monetos ir palūkanos/investicijos (Mayer, 1992). Šios kategorijos gali būti sujungtos į šešias pagrindines grupes. Pavyzdžiui, kiekio per laiką grupė apima judėjimo, srovės ir darbo problemas. Šios problemos išsprendžiamos naudojant bendrą formulę: kiekis = greitis laikas. Matematinio problemų sprendimo patirties plėtojimas priklauso nuo problemos priskyrimo teisingai grupei ir tada strategijos pritaikymo. Žodinis žingsnių problemų sprendime išsakymas padeda ugdyti įgūdžius (Gersten et al., 2009).

Daugelis teoretikų tvirtina, kad konstruktyvizmas yra tinkamas modelis, paaiškinantis, kaip mokomasi matematikos (Ball et al., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Matematinės žinios nėra pasyviai įsisavinamos iš aplinkos, bet konstruojamos individų kaip jų sąveikos pasekmė. Šis konstravimo procesas taip pat apima vaikų procedūrų išradimą, kuris apima netiesiogines taisykles.

Šis neįprastas pavyzdys iliustruoja taisyklėmis pagrįstą procedūrinį išradimą. Prieš kurį laiką dirbau su mokytoju, kad nustatyčiau vaikus jos klasėje, kuriems galėtų būti naudingos papildomos ilgojo dalijimo instrukcijos. Ji paminėjo keletą mokinių ir pasakė, kad Timas taip pat gali būti tinkamas, bet ji nebuvo tikra. Kai kuriomis dienomis jis sprendė savo uždavinius teisingai, o kitomis dienomis jo darbas buvo neteisingas ir neturėjo jokios prasmės. Aš daviau jam išspręsti uždavinius ir paprašiau jo verbalizuoti dirbant, nes man buvo įdomu, ką vaikai galvoja spręsdami uždavinius. Štai ką Timas pasakė: „Uždavinys yra 17 padalinti iš 436. Aš pradedu nuo uždavinio pusės, kuri yra arčiausiai durų...“ Tada aš žinojau, kodėl kai kuriomis dienomis jo darbas buvo tikslus, o kitomis dienomis ne. Tai priklausė nuo to, kuri jo kūno pusė buvo arčiausiai durų!

Žinių konstravimo procesas prasideda ikimokykliniais metais (Resnick, 1989). Geary (1995) atskyrė biologiškai pirminius (biologiškai pagrįstus) gebėjimus nuo biologiškai antrinių (kultūriškai mokomų) gebėjimų. Biologiškai pirminiai gebėjimai yra įsišakniję neurobiologinėse sistemose, kurios išsivystė konkrečiose ekologinėse ir socialinėse nišose ir kurios atlieka funkcijas, susijusias su išgyvenimu ar reprodukcija. Jie turėtų būti matomi tarpkultūriškai, o biologiškai antriniai gebėjimai turėtų parodyti didesnį kultūrinį specifiškumą (pvz., kaip mokymosi funkciją). Be to, daugelis pirmųjų turėtų būti matomi labai mažiems vaikams. Iš tiesų, skaičiavimas yra natūrali veikla, kurią ikimokyklinukai daro be tiesioginio mokymo (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Net kūdikiai gali būti jautrūs skirtingoms skaičių savybėms (Geary, 1995). Ikimokyklinukai rodo didėjančią skaitinę kompetenciją, apimančią dalies–viso adityvumo ir pokyčių kaip kiekių didėjimo/mažėjimo sąvokas. Konceptualus pokytis vyksta greitai pradiniais metais (Resnick, 1989). Mokyti vaikus naudoti schematines diagramas, kad pavaizduotų tekstinius uždavinius, palengvina problemų sprendimą (Fuson & Willis, 1989).

Matematinė kompetencija taip pat priklauso nuo sociokultūrinės įtakos (Cobb, 1994). Vygotsky (1978) pabrėžė kompetentingų kitų asmenų vaidmenį artimiausio vystymosi zonoje (AVZ). Priešingai konstruktyvistiniam individualių studentų kognityvinių reorganizacijų akcentavimui, sociokultūriniai teoretikai pasisako už kultūrines praktikas, ypač socialinius sąveikas (Cobb, 1994). Sociokultūrinė įtaka įtraukiama per tokias veiklas kaip mokymas bendraamžių, mokymo pastoliai ir pameistrystė.

Tyrimai patvirtina idėją, kad socialiniai sąveikos yra naudingi. Rittle-Johnson ir Star (2007) nustatė, kad septintokų matematinis meistriškumas buvo pagerintas, kai jiems buvo leista palyginti sprendimo metodus su partneriais. Springer, Stanne ir Donovan (1999) atliktos literatūros apžvalgos rezultatai parodė, kad mažų grupių mokymasis žymiai padidino kolegijos studentų pasiekimus matematikoje ir moksle. Kramarski ir Mevarech (2003) nustatė, kad kooperatinio mokymosi derinimas su metakognityviniu mokymu (pvz., apmąstyti atitinkamas sąvokas, nuspręsti dėl tinkamų strategijų) labiau padidino aštuntokų matematinį argumentavimą nei bet kuri procedūra atskirai. Be šių kooperatinio mokymosi privalumų (Stein & Carmine, 1999), literatūra apie bendraamžių ir skirtingo amžiaus mokinių korepetitoriavimą matematikoje atskleidžia, kad tai veiksmingai didina vaikų pasiekimus (Robinson, Schofield, & Steers-Wentzell, 2005). Konstruktyvistinės ir sociokultūrinės perspektyvų koordinavimas yra įmanomas; studentai gali plėtoti žinias per socialinius sąveikas, bet tada savitai konstruoti tų žinių panaudojimą.

Pažintiniai ir konstruktyvistinio mokymosi procesai taikomi pagrindinėms mokymosi formoms, tačiau jie įgauna didesnę reikšmę sudėtingame mokymesi. Kompetencijos ugdymas akademinėje srityje reikalauja žinių apie faktus, principus ir sąvokas, susijusias su ta sritimi, kartu su bendrosiomis strategijomis, kurios gali būti taikomos įvairiose srityse, ir konkrečiomis strategijomis, kurios priklauso kiekvienai sričiai. Tyrimai nustatė daug skirtumų tarp ekspertų ir naujokų tam tikroje srityje.

Sąlyginės žinios yra žinojimas, kada ir kodėl taikyti deklaratyvias ir procedūrines žinias. Vien žinojimas, ką daryti ir kaip tai padaryti, neužtikrina sėkmės. Studentai taip pat turi suprasti, kada žinios ir procedūros yra naudingos. Labiausiai tikėtina, kad sąlyginės žinios yra saugomos ilgalaikėje atmintyje kaip teiginiai, susiję su kitomis deklaratyviomis ir procedūrinėmis žiniomis. Metakognicija reiškia sąmoningą, apgalvotą protinės veiklos kontrolę. Metakognicija apima žinias ir stebėjimo veiksmus, skirtus užtikrinti, kad užduotys būtų sėkmingai atliktos. Metakognicija pradeda vystytis maždaug nuo 5 iki 7 metų ir tęsiasi visą mokymosi laikotarpį. Metakognityvinis suvokimas priklauso nuo užduoties, strategijos ir besimokančiojo kintamųjų. Besimokantiesiems naudingas mokymas apie metakognityvinius veiksmus.

Sąvokų mokymasis apima aukštesnio lygio procesus, susijusius su esminių kategorijų požymių protinių vaizdų formavimu. Šiuolaikinės teorijos pabrėžia požymių analizavimą ir hipotezių apie sąvokas formavimą (požymių analizė), taip pat apibendrintų sąvokų vaizdų formavimą, kurie apima tik kai kuriuos apibrėžiančius požymius (prototipai). Prototipai gali būti naudojami tipiškiems sąvokų atvejams klasifikuoti, o požymių analizė gali būti naudojama mažiau tipiškiems atvejams. Buvo pasiūlyti sąvokų įgijimo ir mokymo modeliai, o motyvaciniai procesai taip pat dalyvauja koncepciniuose pokyčiuose.

Problemų sprendimas susideda iš pradinės būsenos, tikslo, antrinių tikslų ir operacijų, atliekamų siekiant tikslo ir antrinių tikslų. Tyrėjai išnagrinėjo besimokančiųjų, užsiimančių problemų sprendimu, protinius procesus ir skirtumus tarp ekspertų ir naujokų. Į problemų sprendimą buvo žiūrima kaip į atspindintį bandymus ir klaidas, įžvalgą ir heuristiką. Šie bendrieji požiūriai gali būti taikomi akademiniam turiniui. Žmonėms įgyjant patirties srityje, jie įgyja žinių ir gamybos sistemas arba taisyklių rinkinius, kuriuos gali strategiškai taikyti siekdami tikslų. Norint išspręsti problemą, reikia suformuoti protinį problemos vaizdą ir pritaikyti gamybą jai išspręsti. Esant gerai apibrėžtoms problemoms, kai galimi sprendimai gali būti surūšiuoti pagal tikimybę, naudinga generavimo ir testavimo strategija. Sunkesnėms ar mažiau gerai apibrėžtoms problemoms naudojama priemonių ir tikslų analizė, kuri reikalauja dirbti atgal arba į priekį. Kitos problemų sprendimo strategijos apima analoginį argumentavimą ir idėjų generavimą.

Perkėlimas yra sudėtingas reiškinys. Istoriniai požiūriai apima identiškus elementus, protinę discipliną ir apibendrinimą. Iš pažintinės perspektyvos perkėlimas apima atminties struktūrų aktyvavimą ir įvyksta, kai informacija yra susieta. Daromi skirtumai tarp artimo ir tolimo, tiesioginio ir perkeltinio, taip pat žemo ir aukšto kelio perkėlimo. Kai kurios perkėlimo formos gali įvykti automatiškai, tačiau didžioji dalis yra sąmoninga ir apima abstrakciją. Jei studentams pateikiamas grįžtamasis ryšys apie įgūdžių ir strategijų naudingumą, perkėlimas tampa labiau tikėtinas.

Technologijos ir toliau didėja svarba mokymesi ir mokyme. Dvi sritys, kuriose pastebimas spartus augimas, yra kompiuterizuotos mokymosi aplinkos ir nuotolinis mokymasis. Programos, susijusios su kompiuterizuotomis aplinkomis, apima kompiuterizuotą mokymą, žaidimus ir modeliavimą, hipermediją / daugialypę terpę ir e. mokymąsi. Nuotolinis mokymasis vyksta tada, kai mokymas prasideda vienoje vietoje ir yra perduodamas studentams vienoje ar keliose atokiose vietose. Interaktyvios galimybės leidžia grįžtamąjį ryšį ir sinchronines diskusijas. Nuotolinis mokymasis dažnai apima internetinį (žiniatinklio) asinchroninį mokymą, o kursai gali būti organizuojami naudojant mišrų modelį (kai kurie akis į akį ir kai kurie internetiniai mokymai). Tyrimai rodo technologijų naudą metakognicijai, giliam apdorojimui ir problemų sprendimui. Ateities naujovės užtikrins didesnį prieinamumą ir interaktyvias galimybes.

Įtrauktys, susijusios su šioje pamokoje apibendrintais principais, apima pavyzdinius pavyzdžius, rašymą ir matematiką. Pavyzdiniai pavyzdžiai pateikia problemų sprendimus žingsnis po žingsnio ir dažnai apima pridedamas diagramas. Pavyzdiniai pavyzdžiai apima daugybę funkcijų, kurios palengvina besimokančiųjų problemų sprendimą. Rašymui reikia komponuoti ir peržiūrėti. Ekspertai planuoja tekstą aplink tikslą perteikti prasmę ir peržiūrėdami atsižvelgia į tikslą. Naujokai linkę rašyti tai, ką prisimena apie temą, o ne sutelkti dėmesį į savo tikslą. Vaikai rodo ankstyvą matematinę kompetenciją skaičiuodami. Skaičiavimo įgūdžiams reikia algoritmų ir deklaratyvių žinių. Studentai dažnai pernelyg apibendrina procedūras (klaidingus algoritmus). Studentai įgyja žinių apie problemų tipus per patirtį. Ekspertai atpažįsta tipus ir taiko tinkamas gamybos priemones, kad juos išspręstų (dirbdami į priekį). Naujokai dirba atgal, taikydami formules, kurios apima problemos metu pateiktus kiekius.