Kognitīvie mācību procesi: Instruktīvi pielietojumi

Izstrādāti piemēri, kas tika īsi apspriesti mūsu kursā iepriekš, sniedz soli pa solim problēmu risinājumus un bieži vien ietver papildinošas diagrammas. Tie attēlo eksperta problēmu risināšanas modeli, lai izglītojamie to izpētītu, pirms viņi sāk to atdarināt.

Izstrādāti piemēri atspoguļo Andersona ACT-R teoriju (Lee & Anderson, 2001) un ir īpaši piemēroti sarežģītām mācību formām, piemēram, algebrai, fizikai un ģeometrijai (Atkinsons u.c., 2000, 2003). Pielietojot iesācēja–eksperta modeli, pētnieki ir atklājuši, ka eksperti parasti koncentrējas uz dziļākiem (strukturāliem) problēmu aspektiem un ka iesācēji biežāk nodarbojas ar virspusējām iezīmēm. Prakse vien pati par sevi ir mazāk efektīva prasmju veicināšanā nekā prakse, kas apvienota ar izstrādātiem piemēriem (Atkinsons u.c., 2000).

Šķiet, ka izstrādāti piemēri ir visnoderīgākie studentiem prasmju apguves sākuma posmos, atšķirībā no prasmīgu izglītojamo, kuri pilnveido prasmes. Tā piemērojamība ir skaidri redzama ACT-R ietvara četru posmu prasmju apguves modelī (Andersons, Finčems un Duglass, 1997). 1. posmā izglītojamie izmanto analoģijas, lai saistītu piemērus ar atrisināmām problēmām. 2. posmā viņi prakses laikā izstrādā abstraktus deklaratīvus noteikumus. 3. posmā sniegums kļūst ātrāks un vienmērīgāks, jo problēmu risinājumu aspekti tiek automatizēti. Līdz 4. posmam izglītojamajiem atmiņā ir daudz problēmu veidu, un, saskaroties ar problēmu, viņi var ātri atrast atbilstošo risinājuma stratēģiju. Izstrādātu piemēru izmantošana ir vispiemērotākā 1. posma un agrīnā 2. posma izglītojamajiem. Vēlākajos posmos cilvēkiem ir noderīga prakse, lai pilnveidotu savas stratēģijas, lai gan pat progresīvos posmos ekspertu risinājumu izpēte var būt noderīga.

Svarīgs metodoloģisks jautājums ir par to, kā integrēt piemēra komponentus, piemēram, diagrammu, tekstu un skaņas informāciju. Ir ļoti svarīgi, lai izstrādāts piemērs nepārslogotu izglītojamā darba atmiņu (WM), ko var izraisīt vairāki informācijas avoti, kas tiek prezentēti vienlaikus. Stulls un Maiers (2007) atklāja, ka grafisko organizatoru (līdzīgu izstrādātiem piemēriem) nodrošināšana radīja labāku problēmu risināšanas pārnesi nekā ļaušana izglītojamajiem tos konstruēt pašiem. Pēdējais uzdevums var būt radījis pārmērīgu kognitīvo slodzi. Citi pierādījumi liecina, ka izstrādāti piemēri var samazināt kognitīvo slodzi (Renkls, Hilberts un Švorms, 2009).

Pētījumi apstiprina prognozi, ka duālā prezentācija veicina mācīšanos labāk nekā viena režīma prezentācija (Atkinsons u.c., 2000; Maiers, 1997). Šis rezultāts atbilst duālās kodēšanas teorijai (Paivio, 1986), ar atrunu, ka pārāk liels sarežģītības līmenis nav vēlams. Līdzīgi, piemēri, kas ir sajaukti ar apakšmērķiem, palīdz izveidot dziļas struktūras un atvieglo mācīšanos.

Svarīgs aspekts ir tas, ka piemēriem, kas ietver vairākus prezentācijas režīmus, jābūt vienotiem, lai izglītojamo uzmanība netiktu novērsta starp neintegrētiem avotiem. Skaņas un verbālajiem paskaidrojumiem jānorāda, uz kuru piemēra aspektu tie attiecas, lai izglītojamajiem nebūtu jāmeklē pašiem. Apakšmērķiem jābūt skaidri apzīmētiem un vizuāli izolētiem kopējā displejā.

Otrs metodoloģisks jautājums attiecas uz to, kā piemēri jāsecina. Pētījumi apstiprina secinājumus, ka divi piemēri ir labāki par vienu, ka dažādi piemēri ir labāki par diviem viena veida piemēriem un ka piemēru un prakses sajaukšana ir efektīvāka nekā stunda, kurā tiek prezentēti piemēri, kam seko praktiski uzdevumi (Atkinsons u.c., 2000). Pakāpeniska izstrādātu piemēru izzušana mācību secībā ir saistīta ar labāku studentu mācīšanās pārnesi (Atkinsons u.c., 2003).

Čī, Basoks, Lūiss, Reimans un Glāzers (1989) atklāja, ka studenti, kuri sniedza pašpaskaidrojumus, pētot piemērus, vēlāk sasniedza augstāku līmeni salīdzinājumā ar studentiem, kuri nesniedza pašpaskaidrojumus. Acīmredzot pašpaskaidrojumi palīdzēja studentiem saprast problēmu dziļo struktūru un tādējādi to jēgpilnāk kodēt. Pašpaskaidrojums ir arī repetīcijas veids, un repetīcijas labums mācībām ir labi pierādīts. Tādējādi studenti jārosina sniegt pašpaskaidrojumus, pētot izstrādātus piemērus, piemēram, verbalizējot apakšmērķus.

Vēl viens jautājums ir tāds, ka izstrādāti piemēri var radīt pasīvu mācīšanos, jo izglītojamie tos var apstrādāt virspusēji. Iekļaujot interaktīvus elementus, piemēram, sniedzot norādes vai atstājot robus, kas izglītojamajiem jāaizpilda, tiek veicināta aktīvāka kognitīvā apstrāde un mācīšanās (Atkinsons un Renkls, 2007). Animācijas arī ir noderīgas (Vouters, Pāss un van Merīenboers, 2008).

Rezumējot, ir vairākas iezīmes, kas, iekļaujot izstrādātos piemēros, palīdz izglītojamajiem izveidot kognitīvās shēmas, lai atvieglotu turpmākos sasniegumus. Šīs metodoloģiskās stratēģijas vislabāk izmantot prasmju apguves sākuma posmos. Ar prakses palīdzību sākotnējiem kognitīvajiem priekšstatiem vajadzētu attīstīties par pilnveidotām shēmām, ko izmanto eksperti.

Ieteikumi izstrādātu piemēru izmantošanai apmācībā

• Prezentējiet piemērus tiešā tuvumā problēmām, ko studenti risinās.
• Prezentējiet vairākus piemērus, kas parāda dažādus problēmu veidus.
• Prezentējiet informāciju dažādās modalitātēs (skaņas, vizuālā).
• Norādiet apakšmērķus piemēros.
• Pārliecinieties, vai piemēri sniedz visu informāciju, kas nepieciešama problēmu risināšanai.
• Māciet studentiem pašiem izskaidrot piemērus un veiciniet pašpaskaidrojumus.
• Atvēliet pietiekami daudz prakses problēmu veidiem, lai studenti pilnveidotu prasmes.

Rakstīšana atspoguļo daudzus kognitīvos procesus, kas apspriesti šajā kursa sadaļā. Labi rakstnieki nepiedzimst, bet attīstās; efektīva apmācība ir būtiska rakstīšanas prasmju attīstībai (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Mūsdienu modeļi pēta rakstnieku garīgos procesus, kad viņi iesaistās dažādos rakstīšanas aspektos (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Pētījuma mērķis ir definēt kompetenci. Salīdzinot ekspertu rakstniekus ar iesācējiem, pētnieki nosaka, kā viņu garīgie procesi atšķiras (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower un Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) formulēja modeli, kas atspoguļo vispārējo problēmu risināšanas ietvaru, ko izstrādāja Newell un Simon (1972). Rakstnieki definē problēmu telpu un veic darbības ar savu problēmas garīgo reprezentāciju, lai sasniegtu savus mērķus. Šī modeļa galvenās sastāvdaļas ir retoriskā problēma, plānošana, organizēšana, mērķu izvirzīšana, tulkošana un pārskatīšana.

Retoriskā problēma ietver rakstnieka tēmu, paredzēto auditoriju un mērķus. Retoriskā problēma studentiem bieži vien ir labi definēta. Skolotāji piešķir kursa darba tēmu, auditorija ir skolotājs, un mērķis (piemēram, informēt, pārliecināt) ir nodrošināts; tomēr retorisko problēmu nekad pilnībā nedefinē kāds cits, izņemot rakstnieku. Rakstnieki interpretē problēmas savā veidā.

Rakstnieka ilgtermiņa atmiņai (LTM) ir būtiska nozīme. Rakstnieki atšķiras savās zināšanās par tēmu, auditoriju un mehāniku (piemēram, gramatiku, pareizrakstību, pieturzīmēm). Rakstnieki, kuri pārzina savas tēmas, iekļauj mazāk neatbilstošu apgalvojumu, bet vairāk palīgapgalvojumu (kas paredzēti galveno punktu izstrādei), salīdzinot ar mazāk zinošiem rakstniekiem (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Deklaratīvo zināšanu atšķirības ietekmē rakstīšanas kvalitāti.

Plānošana ietver iekšējas zināšanu reprezentācijas veidošanu, ko izmantot sacerēšanā. Iekšējā reprezentācija parasti ir abstraktāka nekā faktiskā rakstīšana. Plānošana ietver vairākus procesus, piemēram, ideju ģenerēšanu, izgūstot attiecīgo informāciju no atmiņas vai citiem avotiem. Šīs idejas var būt labi izveidotas vai fragmentāras.

Pastāv plašas individuālās atšķirības plānošanā. Bērnu rakstīšana parasti atgādina “zināšanu stāstīšanu” (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Viņi bieži vien izmanto “izgūt un rakstīt” stratēģiju, piekļūstot LTM ar norādi un rakstot to, ko viņi zina. Bērni maz plāno un pārskata, bet daudz tulko. Kamēr vecāki rakstnieki arī izgūst saturu no LTM, viņi to dara kā daļu no plānošanas, pēc tam novērtē tā piemērotību pirms tulkošanas. Bērnu izgūšana un tulkošana ir integrēta vienmērīgi (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Mazi bērni rada mazāk ideju nekā vecāki (Scardamalia & Bereiter, 1986). Viņiem palīdz pamudinājumi (piemēram, “Vai tu vari uzrakstīt vēl kaut ko?”). Englert, Raphael, Anderson, Anthony un Stevens (1991) parādīja, ka ceturto un piekto klašu skolēnu rakstīšana uzlabojās, kad viņi bija pakļauti skolotājiem, kuri modelēja metakognitīvās sastāvdaļas (piemēram, kuras stratēģijas bija noderīgas, kad un kāpēc tās bija noderīgas) un kad viņi tika mācīti ģenerēt jautājumus plānošanas laikā. Vecāki un labāki rakstnieki vairāk izmanto iekšējos pamudinājumus. Viņi meklē attiecīgas tēmas LTM un novērtē zināšanas pirms sacerēšanas sākšanas. Skolotāji var veicināt ideju ģenerēšanu, pamudinot studentus domāt par idejām (Bruning et al., 2004).

Organizēšana tiek nodota, izmantojot kohēziju starp teikuma daļām un koherenci starp teikumiem. Kohēzijas līdzekļi saista idejas kopā ar vietniekvārdiem, noteiktiem artikuliem, saikļiem un vārdu nozīmēm. Maziem bērniem ir lielākas grūtības ar kohēziju, bet neprasmīgi rakstnieki jebkurā vecumā izmanto kohēziju mazāk labi. Attīstības atšķirības ir atrodamas arī koherencē. Jauniem un sliktiem rakstniekiem ir grūtības savienot teikumus vienu ar otru un ar tēmu teikumu (McCutchen & Perfetti, 1982).

Galvenais apakšprocess ir mērķu izvirzīšana. Mērķi ir saturīgi (ko rakstnieks vēlas paziņot) un procesuāli (kā paziņot vai kā punkti jāizsaka). Labi rakstnieki bieži vien maina savus mērķus, pamatojoties uz to, ko viņi rada. Rakstniekiem ir mērķi prātā pirms rakstīšanas, bet, turpinot, viņi var saprast, ka noteikts mērķis nav attiecīgs kompozīcijai. Jaunus mērķus ierosina faktiskā rakstīšana.

Prasmīgu rakstnieku galvenais mērķis ir sazināties ar nozīmi, savukārt slikti rakstnieki bieži vien praktizē asociatīvo rakstīšanu (Bereiter, 1980). Viņi var uzskatīt, ka rakstīšanas mērķis ir atveidot visu, ko viņi zina par tēmu; secībai ir mazāka nozīme nekā iekļaušanai. Vēl viens mazāk prasmīgu rakstnieku mērķis ir izvairīties no kļūdu pieļaušanas. Kad tiek lūgts kritizēt savu rakstīšanu, labi rakstnieki koncentrējas uz to, cik labi viņi paziņoja savus nodomus, savukārt slikti rakstnieki biežāk min virspusējus apsvērumus (piemēram, pareizrakstību, pieturzīmes).

Tulkošana attiecas uz savu ideju pārnešanu drukātā veidā. Bērniem un nepieredzējušiem rakstniekiem tulkošana bieži vien pārslogo darba atmiņu (WM). Viņiem jāpatur prātā savs mērķis, idejas, kuras viņi vēlas izteikt, un nepieciešamā organizācija un mehānika. Labi rakstnieki tulkošanas laikā mazāk rūpējas par virsmas iezīmēm; viņi vairāk koncentrējas uz nozīmi un vēlāk labo virsmas problēmas. Slikti rakstnieki vairāk koncentrējas uz virsmas iezīmēm un raksta lēnāk nekā labi rakstnieki. Labāki rakstnieki ņem vērā stilistiskos un virsmas apsvērumus, kad viņi pauzi ievēro rakstīšanas laikā. Sliktākiem rakstniekiem palīdz, kad viņi lasa to, ko ir uzrakstījuši, gatavojoties sacerēt.

Pārskatīšana sastāv no novērtēšanas un pārskatīšanas. Pārskatīšana notiek, kad rakstnieki lasa to, ko ir uzrakstījuši, kā priekšteci turpmākai tulkošanai vai sistemātiskai novērtēšanai un pārskatīšanai (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Pārskatīšanas laikā rakstnieki novērtē un modificē plānus un maina turpmāko rakstīšanu.

Šie procesi ir svarīgi, jo rakstnieki var pavadīt līdz pat 70% no sava rakstīšanas laika, ievērojot pauzi (Flower & Hayes, 1981), no kuriem lielākā daļa tiek pavadīta teikuma līmeņa plānošanai. Rakstnieki pārlasa to, ko ir uzrakstījuši, un izlemj, ko teikt tālāk. Šie bottom-up procesi veido kompozīciju pa daļām. Kad šāda uzbūve tiek veikta, paturot prātā kopējo plānu, kompozīcija turpina atspoguļot rakstnieku mērķus.

Slikti rakstnieki parasti paļaujas uz bottom-up rakstīšanu. Ievērojot pauzi, labi rakstnieki iesaistās retoriskā plānošanā, kas nav tieši saistīta ar to, ko viņi ir radījuši. Šis plānošanas veids atspoguļo top-down skatījumu uz rakstīšanu kā problēmu risināšanas procesu; rakstnieki patur prātā kopējo mērķi un plāno, kā to sasniegt, vai nolemj, ka viņiem tas ir jāmaina. Plānošana ietver saturu (izlemjot, par kuru tēmu diskutēt) un stilu (izlemjot mainīt stilu, ievietojot anekdoti). Šī plānošana ietver teikuma līmeņa plānošanu un ir raksturīga nobriedušiem rakstniekiem (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Bērni var veikt nelielu pārskatīšanu bez skolotāja vai vienaudžu atbalsta (Fitzgerald, 1987). Studentiem palīdz apmācība, kas paredzēta viņu rakstīšanas kvalitātes uzlabošanai. Fitzgerald un Markham (1987) deva vidējiem sestās klases rakstniekiem apmācību par pārskatīšanas veidiem: papildinājumi, dzēšanas, aizstāšanas un pārkārtojumi. Skolotājs paskaidroja un modelēja katru pārskatīšanas stratēģiju, pēc tam studenti strādāja pāros (vienaudžu konferences). Apmācība uzlaboja studentu zināšanas par pārskatīšanas procesiem un viņu faktiskajām pārskatīšanām. Beal, Garrod un Bonitatibus (1990) atklāja, ka trešās un sestās klases bērnu apmācība pašjautājumu stratēģijā (piemēram, “Kas notiek stāstā?”) noveda pie ievērojami lielākas teksta pārskatīšanas.

Novērtēšanas prasmes attīstās agrāk nekā pārskatīšanas prasmes. Pat ja ceturtās klases skolēni atpazīst rakstīšanas problēmas, viņi var tās veiksmīgi labot ne biežāk kā 70% gadījumu (Scardamalia & Bereiter, 1983). Kad bērni labo problēmas, slikti rakstnieki pārskata kļūdas pareizrakstībā un pieturzīmēs, savukārt labāki rakstnieki pārskata stilistisku iemeslu dēļ (Birnbaum, 1982).

Ņemot vērā rakstīšanas sarežģītību, prasmju apguves gaita ir labāk raksturojama kā raituma attīstība, nevis automātiskums (McCutchen, 1995). Automātiskie procesi kļūst par rutīnu un prasa maz uzmanības vai darba atmiņas resursu, savukārt fluenti procesi—lai arī ātri un resursu efficienti—ir pārdomāti un tos var mainīt “online.” Labi rakstnieki seko plāniem, bet pārskata tos rakstīšanas laikā. Ja šis process būtu automātisks, rakstnieku plāni—tiklīdz tie būtu pieņemti—tiek ievēroti bez pārtraukuma. Lai gan rakstīšanas komponentu prasmes (t.i., pareizrakstība, vārdu krājums) bieži vien kļūst automātiskas, kopējais process nekļūst.

Matemātika ir bijusi auglīga kognitīvo un konstruktīvistu pētījumu joma (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe et al., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss et al., 1995). Pētnieki ir pētījuši, kā skolēni konstruē zināšanas, kā atšķiras eksperti un iesācēji, un kuras mācību metodes ir visefektīvākās (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Mācību uzlabošana ir svarīga, ņemot vērā, ka tik daudziem studentiem ir grūtības apgūt matemātiku.

Parasti tiek nodalīta matemātiskā aprēķināšana (noteikumu, procedūru un algoritmu izmantošana) un jēdzieni (problēmu risināšana un stratēģiju izmantošana). Aprēķinu un konceptuālās problēmas prasa, lai studenti īstenotu produkcijas, kas ietver noteikumus un algoritmus. Atšķirība starp šīm divām kategorijām ir tā, cik skaidri problēma pasaka studentiem, kādas darbības jāveic. Tālāk ir norādītas aprēķinu problēmas.

• Atrisiniet x un y.
• Kāds ir taisnleņķa trijstūra hipotenūzas garums, kura malas ir vienādas ar 3 un 4 collām?

Lai gan studentiem netiek skaidri norādīts, kas jādara 2. un 3. uzdevumā, problēmas formāta atpazīšana un procedūru zināšanas liek viņiem veikt pareizās darbības.

Tagad salīdziniet šīs problēmas ar šādām:

• Aleksam ir 20 monētas, kas sastāv no desmitniekiem un ceturkšņiem. Ja ceturkšņi būtu desmitnieki un desmitnieki būtu ceturkšņi, viņam būtu par 90 centiem vairāk nekā tagad. Cik daudz naudas ir Aleksim?
• Ja pasažieru vilcienam paiet divreiz ilgāks laiks, lai apsteigtu kravas vilcienu, pēc tam, kad tas vispirms apdzen kravas vilcienu, nekā paiet, lai abi vilcieni pabrauktu garām, braucot pretējos virzienos, cik reizes ātrāks par kravas vilcienu ir pasažieru vilciens?
• Kad Šana dodas pārgājienos, viņa var vidēji noiet 2 jūdzes stundā, dodoties augšup, un 6 jūdzes stundā, dodoties lejup. Ja viņa iet augšup un lejup un nepavada laiku virsotnē, kāds būs viņas vidējais ātrums visam braucienam?

Šie teksta uzdevumi nepaskaidro skaidri studentiem, kas jādara, bet tie prasa ne vairāk sarežģītus aprēķinus kā tie, kas nepieciešami pirmajā kopā. Teksta uzdevumu risināšana ietver viņu problēmu formātu atpazīšanu, atbilstošu produkciju ģenerēšanu un aprēķinu veikšanu.

Tas nenozīmē, ka konceptuālā kompetence ir labāka par aprēķinu efektivitāti, lai gan Rittle-Johnson un Alibali (1999) atklāja, ka konceptuālai izpratnei bija lielāka ietekme uz procedurālajām zināšanām nekā otrādi. Trūkumi jebkurā jomā rada problēmas. Izpratne par to, kā atrisināt problēmu, bet nespēja veikt aprēķinus, rada nepareizas atbildes, tāpat kā aprēķinu efektivitāte, bet nespēja konceptualizēt problēmas.

Aprēķināšana

Pirmā aprēķinu prasme, ko bērni izmanto, ir skaitīšana (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Bērni skaita objektus uz pirkstiem un galvā, izmantojot stratēģiju (Groen & Parkman, 1972). Summas modelis ietver hipotētiska skaitītāja iestatīšanu uz nulli, skaitot pirmo saskaitāmo pa vienam, un pēc tam saskaitot otro saskaitāmo, lai iegūtu atbildi. Problēmai “2 + 4 = ?” bērni varētu skaitīt no 0 līdz 2 un pēc tam saskaitīt vēl 4. Efektīvāka stratēģija ir iestatīt skaitītāju uz pirmo saskaitāmo (2) un pēc tam saskaitīt otro saskaitāmo (4) pa vienam. Vēl efektīvāks ir minimālais modelis: iestatiet skaitītāju uz lielāko no abiem saskaitāmajiem (4) un pēc tam saskaitiet mazāko saskaitāmo (2) pa vienam (Romberg & Carpenter, 1986).

Šāda veida izgudrotās procedūras ir veiksmīgas. Bērni un pieaugušie bieži vien konstruē procedūras matemātisku problēmu risināšanai. Kļūdas parasti nav nejaušas, bet drīzāk atspoguļo kļūdainus algoritmus vai sistemātiskas kļūdas domāšanā un spriešanā (Brown & Burton, 1978). Kļūdaini algoritmi atspoguļo konstruktīvistu pieņēmumu, ka studenti veido procedūras, pamatojoties uz savu pieredzes interpretāciju. Bieža kļūda atņemšanā ir atņemt mazāko skaitli no lielākā skaitļa katrā kolonnā neatkarīgi no virziena, kā norādīts tālāk:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Matemātiskas kļūdas, iespējams, rodas, kad studenti saskaras ar jaunām problēmām un nepareizi vispārina produkcijas. Piemēram, atņemot bez pārgrupēšanas, studenti atņem mazāko skaitli no lielākā pa kolonnām. Ir viegli saprast, kā viņi varētu vispārināt šo procedūru uz problēmām, kurām nepieciešama pārgrupēšana. Kļūdaini algoritmi ir izturīgi un var ieaudzināt studentiem viltus pašefektivitātes sajūtu, iespējams, tāpēc, ka viņu aprēķini dod atbildes.

Vēl viens aprēķinu grūtību avots ir vājas deklaratīvās zināšanas par skaitļu faktiem. Daudzi bērni nezina pamata faktus un uzrāda trūkumus skaitliskajā apstrādē (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, & Numtee, 2007). Kamēr fakti nav nostiprinājušies LTM ar prakses palīdzību, bērni skaita vai aprēķina atbildes. Faktu izgūšanas ātrums no atmiņas ir tieši saistīts ar vispārējiem matemātikas sasniegumiem studentiem no pamatskolas līdz koledžai (Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant, 1999). Aprēķinu prasmes uzlabojas līdz ar attīstību, kā arī WM un LTM iespējas (Mabbott & Bisanz, 2003).

Daudzas grūtības aprēķinos rodas, izmantojot pārāk sarežģītas, bet tehniski pareizas produkcijas problēmu risināšanai. Šādas procedūras dod pareizas atbildes, bet, tā kā tās ir sarežģītas, aprēķinu kļūdu risks ir liels. Problēmu 256 dalīts ar 5 var atrisināt ar dalīšanas algoritmu vai secīgi atņemot 5 no 256 un saskaitot atņemšanu skaitu. Pēdējā procedūra ir tehniski pareiza, bet neefektīva, un tai ir liela kļūdas varbūtība.

Sākotnēji skolēni attēlo aprēķinu prasmes kā deklaratīvās zināšanas propozicionālā tīklā. Fakti par dažādiem soļiem (piemēram, algoritmā) tiek iegaumēti, veicot garīgu atkārtošanu un atklātu praksi. Produkcija, kas virza sniegumu šajā posmā, ir vispārīga; piemēram: “Ja mērķis ir atrisināt šo dalīšanas uzdevumu, tad izmantojiet metodi, ko mums iemācīja skolotājs.” Ar papildu praksi deklaratīvais attēlojums mainās uz domēnam specifisku procedurālu attēlojumu un galu galā kļūst automatizēts. Agrīnās skaitīšanas stratēģijas tiek aizstātas ar efektīvākām uz noteikumiem balstītām stratēģijām (Hopkins & Lawson, 2002). Automātiskajā posmā skolēni ātri atpazīst problēmas modeli (piemēram, dalīšanas uzdevums, kvadrātsaknes uzdevums) un īsteno procedūru bez lielas apzinātas apspriešanas.

Lai atrisinātu problēmu, studentiem vispirms precīzi jāattēlo problēma, iekļaujot doto informāciju un mērķi, un pēc tam jāizvēlas un jāpiemēro problēmu risināšanas stratēģija (Mayer, 1985, 1999). Problēmas tulkošana no tās lingvistiskā attēlojuma uz mentālu attēlojumu bieži vien ir sarežģīta (Bruning et al., 2004). Jo abstraktāka ir valoda, jo grūtāka ir teksta uztvere un jo mazāka ir risinājuma varbūtība (Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988). Studentiem, kuriem ir grūtības ar izpratni, ir sliktāka informācijas atcerēšanās un zemāka veiktspēja. Tas jo īpaši attiecas uz jaunākiem bērniem, kuriem ir grūtības tulkot abstraktus lingvistiskos attēlojumus.

Tulkošanai nepieciešamas arī labas deklaratīvās un procesuālās zināšanas. Lai atrisinātu iepriekšējo problēmu par Aleksu ar 20 monētām, ir jāzina, ka dīmi un ceturkšņi ir monētas, ka dīms ir viena desmitā daļa (0,10 ASV dolāri) no 1 ASV dolāra un ka ceturksnis ir viena ceturtā daļa (0,25 ASV dolāri) no 1 ASV dolāra. Šīs deklaratīvās zināšanas ir jāsavieno ar procesuālu izpratni, ka dīmi un ceturkšņi ir mainīgie lielumi, ka dīmu skaits plus ceturkšņu skaits ir vienāds ar 20.

Viens no iemesliem, kāpēc eksperti labāk tulko problēmas, ir tas, ka viņu zināšanas ir labāk organizētas ilgtermiņa atmiņā; organizācija atspoguļo priekšmeta pamatstruktūru (Romberg & Carpenter, 1986). Eksperti ignorē problēmas virspusējās iezīmes un analizē to, pamatojoties uz risinājumam nepieciešamajām darbībām. Iesācējus vairāk ietekmē virspusējās iezīmes. Silver (1981) atklāja, ka labi problēmu risinātāji organizēja problēmas atbilstoši procesam, kas nepieciešams risinājumam, savukārt slikti problēmu risinātāji biežāk grupēja problēmas ar līdzīgu saturu (piemēram, nauda, vilcieni).

Papildus problēmu tulkošanai un klasifikācijai, eksperti un iesācēji atšķiras arī produkcijā (Greeno, 1980). Iesācēji bieži izmanto stratēģiju, kas darbojas atpakaļ, sākot ar mērķi un virzoties atpakaļ pie dotumiem. Šī ir laba heiristika, kas noder mācīšanās sākuma posmos, kad skolēni ir ieguvuši zināmas zināšanas par domēnu, bet nav pietiekami kompetenti, lai ātri atpazītu problēmu formātus.

Turpretim eksperti bieži strādā uz priekšu. Viņi identificē problēmas veidu un izvēlas atbilstošu produkciju, lai atrisinātu problēmu. Hegarty, Mayer un Monk (1995) atklāja, ka veiksmīgi problēmu risinātāji izmantoja problēmas modeļa pieeju, tulkojot problēmu mentālā modelī, kurā skaitļi problēmas formulējumā bija saistīti ar to mainīgo nosaukumiem. Turpretim mazāk veiksmīgi risinātāji, visticamāk, izmantoja tiešās tulkošanas pieeju, apvienojot skaitļus problēmā ar aritmētiskām darbībām, ko aktivizē atslēgas vārdi (piemēram, saskaitīšana ir darbība, kas saistīta ar atslēgas vārdu “vairāk”). Pēdējā stratēģija ir virspusēja un balstīta uz virspusējām iezīmēm, savukārt pirmā stratēģija ir labāk saistīta ar nozīmēm.

Eksperti izstrādā sarežģītas procesuālās zināšanas matemātisko problēmu klasificēšanai atbilstoši to veidam. Vidusskolas algebras problēmas iedalās aptuveni 20 vispārējās kategorijās, piemēram, kustība, strāva, monētas un procenti/investīcijas (Mayer, 1992). Šīs kategorijas var apkopot sešās galvenajās grupās. Piemēram, apjoma-uz-laiku grupā ietilpst kustības, strāvas un darba problēmas. Šīs problēmas ir atrisināmas ar vispārējo formulu: apjoms = ātrums laiks. Matemātiskās problēmu risināšanas ekspertīzes attīstība ir atkarīga no problēmas klasificēšanas pareizajā grupā un pēc tam stratēģijas piemērošanas. Soļu verbalizācija problēmu risināšanā palīdz attīstīt prasmes (Gersten et al., 2009).

Daudzi teorētiķi apgalvo, ka konstruktīvisms ir dzīvotspējīgs modelis, lai izskaidrotu, kā notiek matemātikas apguve (Ball et al., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Matemātikas zināšanas netiek pasīvi absorbētas no vides, bet gan tās konstruē indivīdi savstarpējās mijiedarbības rezultātā. Šajā konstruēšanas procesā ietilpst arī bērnu izgudrotās procedūras, kas ietver netiešus noteikumus.

Šāds neparasts piemērs ilustrē uz noteikumiem balstītu procesuālu izgudrojumu. Pirms kāda laika es strādāju ar skolotāju, lai identificētu bērnus viņas klasē, kuriem varētu būt nepieciešams papildu apmācības process dalīšanā ar stabiņu. Viņa nosauca vairākus skolēnus un teica, ka Tims arī varētu kvalificēties, bet viņa nebija pārliecināta. Dažās dienās viņš atrisināja uzdevumus pareizi, bet citās dienās viņa darbs bija nepareizs un bezjēdzīgs. Es iedevu viņam uzdevumus, lai tos atrisinātu, un lūdzu viņu verbalizēt darba laikā, jo mani interesēja, ko bērni domāja, risinot uzdevumus. Lūk, ko Tims teica: “Uzdevums ir 17 dalīts ar 436. Es sāku no problēmas puses, kas ir vistuvāk durvīm . . .” Tad es zināju, kāpēc dažās dienās viņa darbs bija precīzs, bet citās dienās nebija. Tas bija atkarīgs no tā, kura viņa ķermeņa puse bija vistuvāk durvīm!

Zināšanu konstruēšanas process sākas pirmsskolas gados (Resnick, 1989). Geary (1995) atšķīra bioloģiski primārās (bioloģiski pamatotas) spējas no bioloģiski sekundārajām (kultūras iemācītām) spējām. Bioloģiski primārās spējas ir balstītas uz neirobioloģiskām sistēmām, kas ir attīstījušās noteiktās ekoloģiskās un sociālās nišās un kas kalpo ar izdzīvošanu vai vairošanos saistītām funkcijām. Tās vajadzētu redzēt starpkultūru griezumā, savukārt bioloģiski sekundārajām spējām vajadzētu parādīt lielāku kultūras specifiku (piemēram, atkarībā no skološanās). Turklāt daudzas no pirmajām vajadzētu redzēt ļoti maziem bērniem. Patiešām, skaitīšana ir dabiska darbība, ko pirmsskolas vecuma bērni veic bez tiešas mācīšanas (Gelman & Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Pat zīdaiņi var būt jutīgi pret dažādām skaitļu īpašībām (Geary, 1995). Pirmsskolas vecuma bērniem ir arvien lielāka skaitliskā kompetence, kas ietver daļas–veseluma aditivitātes jēdzienus un izmaiņas kā daudzuma palielināšanās/samazināšanās. Konceptuālās izmaiņas notiek ātri sākumskolas gados (Resnick, 1989). Mācot bērniem izmantot shematiskas diagrammas, lai attēlotu teksta uzdevumus, tiek atvieglota problēmu risināšana (Fuson & Willis, 1989).

Matemātikas kompetence ir atkarīga arī no sociokultūras ietekmes (Cobb, 1994). Vigotskis (Vygotsky, 1978) uzsvēra kompetentu citu cilvēku lomu tuvākās attīstības zonā (TAZ). Pretstatā konstruktīvistiskajam uzsvaram uz kognitīvām reorganizācijām atsevišķu studentu vidū, sociokultūras teorētiķi atbalsta kultūras praksi—īpaši sociālo mijiedarbību (Cobb, 1994). Sociokultūras ietekme tiek iekļauta, izmantojot tādas aktivitātes kā vienaudžu mācīšana, instruktīva palīdzība un māceklība.

Pētījumi atbalsta ideju, ka sociālā mijiedarbība ir izdevīga. Rittle-Johnson un Star (2007) atklāja, ka septītās klases skolēnu matemātiskā kompetence uzlabojās, kad viņiem tika atļauts salīdzināt risinājumu metodes ar partneriem. Springer, Stanne un Donovan (1999) veiktā literatūras apskata rezultāti parādīja, ka mācīšanās mazās grupās būtiski palielināja koledžas studentu sasniegumus matemātikā un dabaszinātnēs. Kramarski un Mevarech (2003) atklāja, ka sadarbības mācīšanās apvienošana ar metakognitīvu apmācību (piemēram, pārdomāt atbilstošus jēdzienus, izlemt, kuras atbilstošās stratēģijas izmantot) palielināja astotās klases skolēnu matemātisko spriešanu vairāk nekā jebkura no šīm procedūrām atsevišķi. Papildus šiem sadarbības mācīšanās ieguvumiem (Stein & Carmine, 1999), literatūra par vienaudžu un dažāda vecuma apmācību matemātikā atklāj, ka tā ir efektīva, lai paaugstinātu bērnu sasniegumus (Robinson, Schofield, & Steers-Wentzell, 2005). Konstruktīvistu un sociokultūras perspektīvu koordinācija ir iespējama; studenti var attīstīt zināšanas, izmantojot sociālo mijiedarbību, bet pēc tam idiosinkrātiski konstruēt šo zināšanu izmantošanu.

Kognitīvie un konstruktīvistiskie mācību procesi attiecas uz mācīšanās pamatformām, bet tie iegūst lielāku nozīmi sarežģītā mācību procesā. Kompetences attīstīšanai akadēmiskajā jomā ir nepieciešamas zināšanas par faktiem, principiem un koncepcijām šajā jomā, apvienojumā ar vispārīgām stratēģijām, kuras var piemērot dažādās jomās, un specifiskām stratēģijām, kas attiecas uz katru jomu. Pētījumi ir identificējuši daudzas atšķirības starp ekspertiem un iesācējiem konkrētā jomā.

Nosacījuma zināšanas ir zināšanas par to, kad un kāpēc izmantot deklaratīvās un procesuālās zināšanas. Vienkārši zināt, kas jādara un kā to darīt, negarantē panākumus. Studentiem jāizprot arī tas, kad zināšanas un procedūras ir noderīgas. Nosacījuma zināšanas, visticamāk, tiek saglabātas ilgtermiņa atmiņā (ITM) kā apgalvojumi, kas saistīti ar citām deklaratīvām un procesuālām zināšanām. Metakognīcija attiecas uz apzinātu, apzinātu mentālo darbību kontroli. Metakognīcija ietver zināšanas un uzraudzības darbības, kas paredzētas, lai nodrošinātu uzdevumu veiksmīgu pabeigšanu. Metakognīcija sāk attīstīties apmēram 5 līdz 7 gadu vecumā un turpinās visas skolas gaitas laikā. Cilvēka metakognitīvā izpratne ir atkarīga no uzdevuma, stratēģijas un izglītojamā mainīgajiem. Izglītojamie gūst labumu no apmācības par metakognitīvajām darbībām.

Jēdzienu apguve ietver augstāka līmeņa procesus, veidojot garīgus priekšstatus par kategoriju kritiskajām iezīmēm. Pašreizējās teorijas uzsver iezīmju analīzi un hipotēžu veidošanu par jēdzieniem (iezīmju analīze), kā arī vispārinātu jēdzienu attēlu veidošanu, kas ietver tikai dažas definējošas iezīmes (prototipus). Prototipus var izmantot, lai klasificētu tipiskus jēdzienu gadījumus, un iezīmju analīzi var izmantot mazāk tipiskiem gadījumiem. Ir ierosināti jēdzienu apguves un mācīšanas modeļi, un konceptuālajās pārmaiņās ir iesaistīti arī motivācijas procesi.

Problēmu risināšana sastāv no sākotnējā stāvokļa, mērķa, apakšmērķiem un darbībām, kas tiek veiktas, lai sasniegtu mērķi un apakšmērķus. Pētnieki ir pētījuši izglītojamo garīgos procesus, kas iesaistīti problēmu risināšanā, un atšķirības starp ekspertiem un iesācējiem. Problēmu risināšana ir uzskatīta par atspoguļojumu mēģinājumu un kļūdu, ieskata un heiristiskas pieejas. Šīs vispārīgās pieejas var piemērot akadēmiskajam saturam. Cilvēkiem iegūstot pieredzi jomā, viņi iegūst zināšanas un ražošanas sistēmas jeb noteikumu kopumus, ko stratēģiski piemērot, lai sasniegtu mērķus. Problēmu risināšanai ir nepieciešams izveidot problēmas garīgu priekšstatu un piemērot ražošanas procesu, lai to atrisinātu. Ar labi definētām problēmām, kur potenciālos risinājumus var sakārtot pēc varbūtības, ir noderīga ģenerēšanas un pārbaudes stratēģija. Sarežģītākām vai mazāk labi definētām problēmām tiek izmantota mērķu un līdzekļu analīze, kas prasa darbu atpakaļvirzienā vai virzienā uz priekšu. Citas problēmu risināšanas stratēģijas ietver analoģisku argumentāciju un prāta vētru.

Pārnese ir sarežģīta parādība. Vēsturiskie uzskati ietver identiskus elementus, garīgo disciplīnu un vispārināšanu. No kognitīvā viedokļa pārnese ietver atmiņas struktūru aktivizēšanu un notiek, kad informācija ir saistīta. Tiek vilktas atšķirības starp tuvu un tālu, burtisku un figurālu, kā arī zema un augsta līmeņa pārnesi. Dažas pārneses formas var notikt automātiski, bet lielākā daļa ir apzināta un ietver abstrakciju. Nodrošinot studentiem atgriezenisko saiti par prasmju un stratēģiju lietderību, pārnese kļūst ticamāka.

Tehnoloģiju nozīme mācīšanās un apmācības jomā turpina pieaugt. Divas jomas, kurās ir vērojams straujš pieaugums, ir datorizētas mācību vides un tālmācība. Lietojumprogrammas, kas ietver datorizētas vides, ietver datorizētu apmācību, spēles un simulācijas, hipermediju/multimediju un e-apmācību. Tālmācība notiek, kad apmācība sākas vienā vietā un tiek pārraidīta studentiem vienā vai vairākās attālās vietās. Interaktīvās iespējas nodrošina divvirzienu atgriezenisko saiti un sinhronas diskusijas. Tālmācība bieži ietver tiešsaistes (tīmekļa) asinhrono apmācību, un kursus var organizēt, izmantojot jauktu modeli (daļa klātienes un daļa tiešsaistes apmācības). Pētījumi liecina par tehnoloģiju priekšrocībām metakognīcijas, dziļas apstrādes un problēmu risināšanas jomā. Nākotnes inovācijas nodrošinās lielāku pieejamību un interaktīvās iespējas.

Iekļaušana, kas ietver šajā nodarbībā apkopotos principus, ietver atrisinātus piemērus, rakstīšanu un matemātiku. Atrisnāti piemēri sniedz problēmu risinājumus soli pa solim un bieži ietver pievienotus diagrammas. Atrisnāti piemēri ietver daudzas funkcijas, kas atvieglo izglītojamo problēmu risināšanu. Rakstīšana prasa kompozīciju un pārskatīšanu. Eksperti plāno tekstu ap mērķi paziņot nozīmi un patur mērķi prātā pārskatīšanas laikā. Iesācējiem ir tendence rakstīt to, ko viņi var atcerēties par tēmu, nevis koncentrēties uz savu mērķi. Bērni parāda agrīnu matemātisko kompetenci ar skaitīšanu. Aprēķinu prasmes prasa algoritmus un deklaratīvās zināšanas. Studenti bieži vien vispārina procedūras (nepareizus algoritmus). Studenti iegūst zināšanas par problēmu veidiem, iegūstot pieredzi. Eksperti atpazīst veidus un piemēro pareizos ražošanas procesus, lai tos atrisinātu (strādājot uz priekšu). Iesācēji strādā atpakaļvirzienā, piemērojot formulas, kas ietver problēmā norādītos daudzumus.