Procesy uczenia się: Zastosowania instruktażowe

Sugestie dotyczące wykorzystania przykładów rozwiązań zadań w nauczaniu

Przykłady rozwiązanych zadań, które zostały krótko omówione wcześniej w naszym kursie, prezentują krok po kroku rozwiązania problemów i często zawierają towarzyszące im diagramy. Ukazują model rozwiązywania problemów przez eksperta, który uczniowie mają studiować, zanim zaczną go naśladować.

Przykłady rozwiązanych zadań odzwierciedlają teorię ACT-R Andersona (Lee & Anderson, 2001) i są szczególnie odpowiednie dla złożonych form uczenia się, takich jak algebra, fizyka i geometria (Atkinson i in., 2000, 2003). Stosując model nowicjusz-ekspert, naukowcy odkryli, że eksperci zazwyczaj koncentrują się na głębszych (strukturalnych) aspektach problemów, a nowicjusze częściej zajmują się cechami powierzchniowymi. Samodzielne ćwiczenie jest mniej skuteczne w promowaniu umiejętności niż ćwiczenie połączone z przykładami rozwiązanymi (Atkinson i in., 2000).

Przykłady rozwiązanych zadań wydają się najbardziej korzystne dla uczniów na wczesnych etapach nabywania umiejętności, w przeciwieństwie do biegłych uczniów, którzy doskonalą umiejętności. Ich zastosowanie jest wyraźnie widoczne w czterostopniowym modelu nabywania umiejętności w ramach ACT-R (Anderson, Fincham i Douglass, 1997). W etapie 1 uczniowie używają analogii, aby powiązać przykłady z problemami do rozwiązania. W etapie 2 opracowują abstrakcyjne reguły deklaratywne poprzez ćwiczenia. Podczas etapu 3 wydajność staje się szybsza i płynniejsza, ponieważ aspekty rozwiązania problemu stają się zautomatyzowane. Do etapu 4 uczniowie mają w pamięci wiele rodzajów problemów i mogą szybko odzyskać odpowiednią strategię rozwiązania w obliczu problemu. Korzystanie z przykładów rozwiązanych zadań jest najbardziej odpowiednie dla uczniów etapu 1 i wczesnego etapu 2. Na późniejszych etapach ludzie korzystają z ćwiczeń, aby doskonalić swoje strategie, chociaż nawet na zaawansowanych etapach studiowanie rozwiązań ekspertów może być pomocne.

Kluczową kwestią instruktażową jest sposób integracji elementów przykładu, takich jak diagram, tekst i informacje dźwiękowe. Konieczne jest, aby przykład rozwiązania zadania nie przeciążał pamięci roboczej (WM) ucznia, co może się zdarzyć, gdy wiele źródeł informacji jest prezentowanych jednocześnie. Stull i Mayer (2007) odkryli, że dostarczanie graficznych organizatorów (podobnych do przykładów rozwiązań zadań) dawało lepszy transfer rozwiązywania problemów niż umożliwienie uczniom konstruowania własnych. To drugie zadanie mogło powodować nadmierne obciążenie poznawcze. Inne dowody pokazują, że przykłady rozwiązań zadań mogą zmniejszyć obciążenie poznawcze (Renkl, Hilbert i Schworm, 2009).

Badania potwierdzają przewidywanie, że podwójna prezentacja ułatwia uczenie się lepiej niż prezentacja w jednym trybie (Atkinson i in., 2000; Mayer, 1997). Wynik ten jest zgodny z teorią podwójnego kodowania (Paivio, 1986), z zastrzeżeniem, że zbyt duża złożoność nie jest pożądana. Podobnie, przykłady przeplatane podcelami pomagają tworzyć głębokie struktury i ułatwiają uczenie się.

Kluczowym punktem jest to, że przykłady, które obejmują wiele trybów prezentacji, powinny być ujednolicone, aby uwaga uczniów nie była rozproszona między niezintegrowanymi źródłami. Wyjaśnienia dźwiękowe i werbalne powinny wskazywać, do którego aspektu przykładu się odnoszą, aby uczniowie nie musieli szukać na własną rękę. Podcele powinny być wyraźnie oznaczone i wizualnie odizolowane w ogólnym wyświetlaczu.

Druga kwestia instruktażowa dotyczy sposobu sekwencjonowania przykładów. Badania potwierdzają wnioski, że dwa przykłady są lepsze od jednego, że zróżnicowane przykłady są lepsze niż dwa tego samego typu, oraz że przeplatanie przykładów i ćwiczeń jest bardziej skuteczne niż lekcja, która przedstawia przykłady, po których następują problemy do rozwiązania (Atkinson i in., 2000). Stopniowe wycofywanie przykładów rozwiązań zadań w sekwencji instruktażowej wiąże się z lepszym transferem uczenia się przez uczniów (Atkinson i in., 2003).

Chi, Bassok, Lewis, Reimann i Glaser (1989) odkryli, że uczniowie, którzy dostarczali samodzielne wyjaśnienia podczas studiowania przykładów, osiągali później wyższe poziomy w porównaniu z uczniami, którzy nie wyjaśniali samodzielnie. Przypuszczalnie samodzielne wyjaśnienia pomogły uczniom zrozumieć głęboką strukturę problemów, a tym samym zakodować ją bardziej znacząco. Samodzielne wyjaśnienie jest również rodzajem powtórki, a korzyść powtórki w uczeniu się jest dobrze ugruntowana. Tak więc, należy zachęcać uczniów do samodzielnego wyjaśniania podczas studiowania przykładów rozwiązań zadań, na przykład poprzez werbalizowanie podcelów.

Innym problemem jest to, że przykłady rozwiązań zadań mogą prowadzić do pasywnego uczenia się, ponieważ uczniowie mogą przetwarzać je powierzchownie. Włączenie elementów interaktywnych, na przykład poprzez dostarczanie podpowiedzi lub pozostawianie luk, które uczniowie muszą wypełnić, prowadzi do bardziej aktywnego przetwarzania poznawczego i uczenia się (Atkinson & Renkl, 2007). Pomocne są również animacje (Wouters, Paas i van Merriënboer, 2008).

Podsumowując, istnieje kilka cech, które po włączeniu do przykładów rozwiązań zadań pomagają uczniom tworzyć schematy poznawcze w celu ułatwienia późniejszych osiągnięć. Te strategie instruktażowe najlepiej stosować na wczesnych etapach uczenia się umiejętności. Poprzez ćwiczenia początkowe reprezentacje poznawcze powinny ewoluować w udoskonalone schematy, które wykorzystują eksperci.

• Prezentuj przykłady w bliskim sąsiedztwie problemów, które uczniowie będą rozwiązywać.
• Prezentuj wiele przykładów pokazujących różne rodzaje problemów.
• Prezentuj informacje w różnych modalnościach (słuchowej, wzrokowej).
• Wskaż podcele w przykładach.
• Upewnij się, że przykłady prezentują wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania problemów.
• Naucz uczniów samodzielnego wyjaśniania przykładów i zachęcaj do samodzielnych wyjaśnień.
• Zapewnij wystarczającą ilość ćwiczeń na typach problemów, aby uczniowie doskonalili umiejętności.

Pisanie odzwierciedla wiele procesów poznawczych omówionych w tej części kursu. Dobrzy pisarze nie rodzą się, ale są kształtowani; efektywne nauczanie ma kluczowe znaczenie dla rozwoju umiejętności pisania (Graham, 2006; Harris, Graham, & Mason, 2006; Scardamalia & Bereiter, 1986; Sperling & Freedman, 2001).

Współczesne modele badają procesy myślowe pisarzy podczas angażowania się w różne aspekty pisania (Byrnes, 1996; de Beaugrande, 1984; Graham, 2006; Mayer, 1999; McCutchen, 2000). Celem badań jest zdefiniowanie biegłości. Porównując doświadczonych pisarzy z nowicjuszami, badacze identyfikują, jak ich procesy myślowe się różnią (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Flower i Hayes (1980, 1981a; Hayes, 1996; Hayes & Flower, 1980) sformułowali model, który odzwierciedla ogólne ramy rozwiązywania problemów opracowane przez Newella i Simona (1972). Pisarze definiują przestrzeń problemu i wykonują operacje na swojej mentalnej reprezentacji problemu, aby osiągnąć swoje cele. Kluczowe składniki tego modelu to problem retoryczny, planowanie, organizowanie, wyznaczanie celów, tłumaczenie i recenzowanie.

Problem retoryczny obejmuje temat pisarza, zamierzoną publiczność i cele. Problem retoryczny dla uczniów jest często dobrze zdefiniowany. Nauczyciele zadają temat pracy semestralnej, odbiorcą jest nauczyciel, a cel (np. informowanie, przekonywanie) jest podany; jednak problem retoryczny nigdy nie jest całkowicie zdefiniowany przez kogoś innego niż pisarz. Pisarze interpretują problemy na swój własny sposób.

Pamięć długotrwała (LTM) pisarza odgrywa kluczową rolę. Pisarze różnią się wiedzą na temat tematu, publiczności i mechaniki (np. gramatyka, pisownia, interpunkcja). Pisarze posiadający wiedzę na dany temat zawierają mniej nieistotnych stwierdzeń, ale więcej stwierdzeń pomocniczych (mających na celu rozwinięcie głównych punktów) w porównaniu z pisarzami mniej obeznanymi z tematem (Voss, Vesonder, & Spilich, 1980). Różnice w wiedzy deklaratywnej wpływają na jakość pisania.

Planowanie obejmuje tworzenie wewnętrznej reprezentacji wiedzy, która ma być wykorzystana w komponowaniu. Reprezentacja wewnętrzna jest zazwyczaj bardziej abstrakcyjna niż samo pisanie. Planowanie obejmuje kilka procesów, takich jak generowanie pomysłów poprzez pobieranie odpowiednich informacji z pamięci lub innych źródeł. Pomysły te mogą być dobrze uformowane lub fragmentaryczne.

Istnieją szerokie różnice indywidualne w planowaniu. Pisanie dzieci zazwyczaj przypomina “przekazywanie wiedzy” (McCutchen, 1995; Scardamalia & Bereiter, 1982). Często stosują strategię “pobierz i napisz”, uzyskując dostęp do LTM za pomocą wskazówki i pisząc to, co wiedzą. Dzieci mało planują i recenzują, a dużo tłumaczą. Podczas gdy starsi pisarze również pobierają treści z LTM, robią to w ramach planowania, po czym oceniają ich odpowiedniość przed tłumaczeniem. Pobieranie i tłumaczenie u dzieci są zintegrowane w bezproblemowy sposób (Scardamalia & Bereiter, 1986).

Młodsze dzieci generują mniej pomysłów niż starsze (Scardamalia & Bereiter, 1986). Korzystają z podpowiedzi (np. “Czy możesz napisać coś więcej?”). Englert, Raphael, Anderson, Anthony i Stevens (1991) wykazali, że pisanie uczniów czwartych i piątych klas poprawiło się, gdy byli wystawieni na nauczycieli, którzy modelowali składniki metakognitywne (np. które strategie były użyteczne, kiedy i dlaczego były użyteczne) oraz gdy uczono ich generowania pytań podczas planowania. Starsi i lepsi pisarze częściej korzystają z wewnętrznych podpowiedzi. Przeszukują odpowiednie tematy w LTM i oceniają wiedzę przed rozpoczęciem komponowania. Nauczyciele mogą wspierać generowanie pomysłów, sugerując uczniom myślenie o pomysłach (Bruning et al., 2004).

Organizowanie jest przekazywane poprzez spójność między częściami zdania i koherencję między zdaniami. Spójne środki łączą pomysły za pomocą zaimków, rodzajników określonych, spójników i znaczeń słów. Młodsze dzieci mają większe trudności ze spójnością, ale niewykwalifikowani pisarze w każdym wieku gorzej posługują się spójnością. Różnice rozwojowe występują również w koherencji. Młodzi i słabi pisarze mają trudności z łączeniem zdań ze sobą i ze zdaniem tematycznym (McCutchen & Perfetti, 1982).

Głównym podprocesem jest wyznaczanie celów. Cele są merytoryczne (co pisarz chce przekazać) i proceduralne (jak komunikować lub jak należy wyrażać punkty). Dobrzy pisarze często zmieniają swoje cele w oparciu o to, co produkują. Pisarze mają cele w głowie przed pisaniem, ale w trakcie pisania mogą zdać sobie sprawę, że dany cel nie jest istotny dla kompozycji. Nowe cele są sugerowane przez faktyczne pisanie.

Głównym celem doświadczonych pisarzy jest przekazywanie znaczenia, podczas gdy słabi pisarze często ćwiczą pisanie asocjacyjne (Bereiter, 1980). Mogą uważać, że celem pisania jest wyrecytowanie wszystkiego, co wiedzą na dany temat; kolejność jest mniej ważna niż kompleksowość. Innym celem mniej doświadczonych pisarzy jest unikanie błędów. Poproszeni o skrytykowanie własnego pisania, dobrzy pisarze koncentrują się na tym, jak dobrze przekazali swoje intencje, podczas gdy słabi pisarze częściej wymieniają względy powierzchowne (np. pisownia, interpunkcja).

Tłumaczenie odnosi się do przekładania pomysłów na druk. Dla dzieci i niedoświadczonych pisarzy tłumaczenie często przeciąża pamięć roboczą (WM). Muszą pamiętać o swoim celu, pomysłach, które chcą wyrazić, oraz o niezbędnej organizacji i mechanice. Dobrzy pisarze mniej przejmują się cechami powierzchniowymi podczas tłumaczenia; bardziej koncentrują się na znaczeniu i poprawiają problemy z powierzchnią później. Słabi pisarze bardziej koncentrują się na cechach powierzchniowych i piszą wolniej niż dobrzy pisarze. Lepsi pisarze biorą pod uwagę względy stylistyczne i powierzchniowe, gdy robią pauzy podczas pisania. Słabsi pisarze odnoszą korzyści, gdy czytają to, co napisali, przygotowując się do komponowania.

Recenzowanie składa się z oceny i redakcji. Recenzowanie ma miejsce, gdy pisarze czytają to, co napisali, jako prekursor dalszego tłumaczenia lub systematycznej oceny i redakcji (Flower & Hayes, 1981a; Hayes & Flower, 1980). Podczas recenzowania pisarze oceniają i modyfikują plany oraz zmieniają późniejsze pisanie.

Procesy te są ważne, ponieważ pisarze mogą spędzać aż 70% czasu pisania na pauzach (Flower & Hayes, 1981), z czego większość poświęcona jest na planowanie na poziomie zdania. Pisarze czytają ponownie to, co napisali, i decydują, co powiedzieć dalej. Te procesy oddolne konstruują kompozycję sekcja po sekcji. Kiedy takie budowanie odbywa się z uwzględnieniem ogólnego planu, kompozycja nadal odzwierciedla cele pisarzy.

Słabi pisarze zazwyczaj polegają na pisaniu oddolnym. Podczas pauzowania dobrzy pisarze angażują się w planowanie retoryczne, które nie jest bezpośrednio związane z tym, co wyprodukowali. Ten typ planowania odzwierciedla odgórne spojrzenie na pisanie jako proces rozwiązywania problemów; pisarze mają na uwadze ogólny cel i planują, jak go osiągnąć, lub decydują, że muszą go zmienić. Planowanie obejmuje treść (decydowanie, jaki temat omówić) i styl (decydowanie o zmianie stylu poprzez wstawienie anegdoty). Planowanie to obejmuje planowanie na poziomie zdania i jest charakterystyczne dla dojrzałych pisarzy (Bereiter & Scardamalia, 1986).

Dzieci mogą dokonywać niewielu poprawek bez wsparcia nauczyciela lub rówieśników (Fitzgerald, 1987). Uczniowie korzystają z instrukcji mających na celu poprawę jakości ich pisania. Fitzgerald i Markham (1987) udzielili przeciętnym szóstoklasistom instrukcji dotyczących rodzajów poprawek: dodawania, usuwania, zastępowania i przestawiania. Nauczyciel wyjaśnił i modelował każdą strategię redakcyjną, po czym uczniowie pracowali w parach (konferencje rówieśnicze). Instrukcja poprawiła wiedzę uczniów na temat procesów redakcyjnych i ich rzeczywiste poprawki. Beal, Garrod i Bonitatibus (1990) odkryli, że uczenie dzieci z trzeciej i szóstej klasy strategii zadawania pytań (np. “Co się dzieje w historii?”) prowadziło do znacznie większej redakcji tekstu.

Umiejętności oceny rozwijają się wcześniej niż umiejętności redakcyjne. Nawet jeśli uczniowie czwartych klas rozpoznają problemy z pisaniem, mogą nie być w stanie ich skutecznie poprawić aż w 70% przypadków (Scardamalia & Bereiter, 1983). Kiedy dzieci poprawiają problemy, słabi pisarze poprawiają błędy w pisowni i interpunkcji, podczas gdy lepsi pisarze poprawiają ze względów stylistycznych (Birnbaum, 1982).

Biorąc pod uwagę złożoność pisania, bieg nabywania umiejętności jest lepiej charakteryzowany jako rozwój płynności niż automatyzmu (McCutchen, 1995). Procesy automatyczne stają się rutynowe i wymagają niewielkich zasobów uwagi lub WM, podczas gdy płynne procesy – choć szybkie i zasobooszczędne – są przemyślane i można je zmieniać “w czasie rzeczywistym”. Dobrzy pisarze postępują zgodnie z planami, ale poprawiają je podczas pisania. Gdyby ten proces był automatyczny, plany pisarzy – raz przyjęte – byłyby realizowane bez zakłóceń. Chociaż elementy składowe pisania (tj. pisownia, słownictwo) często stają się automatyczne, cały proces nie.

Matematyka jest żyznym obszarem badań kognitywnych i konstruktywistycznych (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; National Research Council, 2000; Newcombe et al., 2009; Schoenfeld, 2006; Voss et al., 1995). Badacze analizowali, w jaki sposób uczący się konstruują wiedzę, czym różnią się eksperci od nowicjuszy oraz które metody nauczania są najbardziej efektywne (Byrnes, 1996; Mayer, 1999; Schoenfeld, 2006). Udoskonalanie nauczania jest ważne, biorąc pod uwagę, że tak wielu uczniów ma trudności z nauką matematyki.

Zazwyczaj rozróżnia się obliczenia matematyczne (użycie zasad, procedur i algorytmów) od pojęć (rozwiązywanie problemów i używanie strategii). Problemy obliczeniowe i konceptualne wymagają od uczniów wdrażania produkcji obejmujących zasady i algorytmy. Różnica między tymi dwiema kategoriami polega na tym, jak wyraźnie problem informuje uczniów, jakie operacje mają wykonać. Poniżej przedstawiono problemy obliczeniowe.

• Rozwiąż dla x i y.
• Jaka jest długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o bokach równych 3 i 4 cale?

Chociaż uczniowie nie są wyraźnie informowani, co mają robić w problemach 2 i 3, rozpoznanie formatu problemu i znajomość procedur prowadzą ich do wykonania poprawnych operacji.

Teraz porównaj te problemy z następującymi:

• Alex ma 20 monet składających się z dziesięciocentówek i dwudziestopięciocentówek. Gdyby dwudziestopięciocentówki były dziesięciocentówkami, a dziesięciocentówki dwudziestopięciocentówkami, miałby o 90 centów więcej niż ma teraz. Ile pieniędzy ma Alex?
• Jeśli pociąg pasażerski potrzebuje dwa razy więcej czasu, aby minąć pociąg towarowy, po tym jak najpierw wyprzedzi pociąg towarowy, niż potrzeba obu pociągom na minięcie się jadąc w przeciwnych kierunkach, ile razy szybszy od pociągu towarowego jest pociąg pasażerski?
• Kiedy Shana wędruje, może średnio osiągać 2 mph pod górę i 6 mph w dół. Jeśli idzie pod górę i w dół i nie spędza czasu na szczycie, jaka będzie jej średnia prędkość podczas całej wycieczki?

Te zadania tekstowe nie mówią wyraźnie uczniom, co mają robić, ale wymagają obliczeń nie trudniejszych niż te potrzebne w pierwszym zestawie. Rozwiązywanie zadań tekstowych polega na rozpoznawaniu ich formatów problemów, generowaniu odpowiednich produkcji i wykonywaniu obliczeń.

Nie sugeruje to, że wiedza konceptualna jest lepsza niż biegłość obliczeniowa, chociaż Rittle-Johnson i Alibali (1999) stwierdzili, że rozumienie konceptualne miało większy wpływ na wiedzę proceduralną niż odwrotnie. Niedociągnięcia w obu obszarach powodują problemy. Zrozumienie, jak rozwiązać problem, ale brak możliwości wykonania obliczeń prowadzi do niepoprawnych odpowiedzi, podobnie jak biegłość obliczeniowa, ale brak możliwości konceptualizacji problemów.

Obliczenia

Najwcześniejszą umiejętnością obliczeniową, którą dzieci wykorzystują, jest liczenie (Byrnes, 1996; Resnick, 1985). Dzieci liczą przedmioty na palcach i w głowach, używając strategii (Groen & Parkman, 1972). Model sumy polega na ustawieniu hipotetycznego licznika na zero, zliczaniu pierwszego składnika w krokach co jeden, a następnie zliczaniu drugiego składnika, aby dojść do odpowiedzi. Dla problemu „2 + 4 = ?” dzieci mogą liczyć od 0 do 2, a następnie odliczyć jeszcze 4. Bardziej efektywną strategią jest ustawienie licznika na pierwszym składniku (2), a następnie zliczanie drugiego składnika (4) w krokach co jeden. Jeszcze bardziej efektywny jest model min: Ustaw licznik na większym z dwóch składników (4), a następnie zliczaj mniejszy składnik (2) w krokach co jeden (Romberg & Carpenter, 1986).

Tego typu wymyślone procedury są skuteczne. Dzieci i dorośli często konstruują procedury rozwiązywania problemów matematycznych. Błędy na ogół nie są losowe, ale raczej odzwierciedlają błędne algorytmy, czyli systematyczne błędy w myśleniu i rozumowaniu (Brown & Burton, 1978). Błędne algorytmy odzwierciedlają konstruktywistyczne założenie, że uczniowie tworzą procedury w oparciu o ich interpretację doświadczeń. Częstym błędem w odejmowaniu jest odejmowanie mniejszej liczby od większej liczby w każdej kolumnie, niezależnie od kierunku, jak następuje:

• 53 - 27 = 34
• 602 - 374 = 472

Błędy matematyczne prawdopodobnie rozwijają się, gdy uczniowie napotykają nowe problemy i niepoprawnie uogólniają produkcje. Na przykład w odejmowaniu bez przestawiania uczniowie odejmują mniejszą liczbę od większej kolumna po kolumnie. Łatwo zauważyć, jak mogliby uogólnić tę procedurę na problemy wymagające przestawiania. Błędne algorytmy są trwałe i mogą zaszczepić w uczniach fałszywe poczucie własnej skuteczności, być może dlatego, że ich obliczenia dają odpowiedzi.

Innym źródłem trudności w obliczeniach jest słaba deklaratywna wiedza o faktach liczbowych. Wiele dzieci nie zna podstawowych faktów i wykazuje braki w przetwarzaniu numerycznym (Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, & Numtee, 2007). Dopóki fakty nie zostaną utrwalone w LTM poprzez ćwiczenia, dzieci liczą lub obliczają odpowiedzi. Szybkość wyszukiwania faktów z pamięci jest bezpośrednio związana z ogólnymi osiągnięciami matematycznymi uczniów od szkoły podstawowej po studia (Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant, 1999). Umiejętności obliczeniowe poprawiają się wraz z rozwojem, wraz z możliwościami WM i LTM (Mabbott & Bisanz, 2003).

Wiele trudności w obliczeniach wynika z używania zbyt złożonych, ale technicznie poprawnych produkcji do rozwiązywania problemów. Takie procedury dają poprawne odpowiedzi, ale ponieważ są złożone, ryzyko błędów obliczeniowych jest wysokie. Problem 256 podzielone przez 5 można rozwiązać za pomocą algorytmu dzielenia lub przez sukcesywne odejmowanie 5 od 256 i zliczanie liczby odejmowań. Ta ostatnia procedura jest technicznie poprawna, ale nieefektywna i ma wysokie prawdopodobieństwo błędu.

Uczący się początkowo reprezentują umiejętności obliczeniowe jako wiedzę deklaratywną w sieci propozycyjnej. Fakty dotyczące różnych kroków (np. w algorytmie) są zapisywane w pamięci poprzez mentalne powtarzanie i jawne ćwiczenia. Produkcja, która kieruje wydajnością na tym etapie, jest ogólna; na przykład: „Jeśli celem jest rozwiązanie tego problemu dzielenia, zastosuj metodę, której nauczył nas nauczyciel”. Dzięki dodatkowym ćwiczeniom reprezentacja deklaratywna zmienia się w proceduralną reprezentację specyficzną dla domeny i ostatecznie zostaje zautomatyzowana. Wczesne strategie liczenia są zastępowane bardziej efektywnymi strategiami opartymi na regułach (Hopkins & Lawson, 2002). Na etapie automatycznym uczący się szybko rozpoznają wzorzec problemu (np. problem dzielenia, problem pierwiastka kwadratowego) i wdrażają procedurę bez większego świadomego namysłu.

Rozwiązywanie problemów wymaga, aby uczniowie najpierw dokładnie przedstawili problem, uwzględniając podane informacje i cel, a następnie wybrali i zastosowali strategię rozwiązywania problemów (Mayer, 1985, 1999). Przetłumaczenie problemu z jego reprezentacji językowej na reprezentację mentalną jest często trudne (Bruning i in., 2004). Im bardziej abstrakcyjny język, tym trudniejsze zrozumienie tekstu i mniejsze prawdopodobieństwo rozwiązania (Cummins, Kintsch, Reusser i Weimer, 1988). Uczniowie, którzy mają trudności ze zrozumieniem, wykazują gorsze zapamiętywanie informacji i niższą wydajność. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku młodszych dzieci, które mają trudności z tłumaczeniem abstrakcyjnych reprezentacji językowych.

Tłumaczenie wymaga również dobrej wiedzy deklaratywnej i proceduralnej. Rozwiązanie wcześniejszego problemu z Alexem i 20 monetami wymaga wiedzy, że dziesięciocentówki i ćwierćdolarówki są monetami, że dziesięciocentówka to jedna dziesiąta (0,10 USD) 1 USD, a ćwierćdolarówka to jedna czwarta (0,25 USD) 1 USD. Ta wiedza deklaratywna musi być połączona z proceduralnym zrozumieniem, że dziesięciocentówki i ćwierćdolarówki są zmiennymi, tak że liczba dziesięciocentówek plus liczba ćwierćdolarówek równa się 20.

Jednym z powodów, dla których eksperci lepiej tłumaczą problemy, jest to, że ich wiedza jest lepiej zorganizowana w Długotrwałej Pamięci (LTM); organizacja odzwierciedla podstawową strukturę przedmiotu (Romberg & Carpenter, 1986). Eksperci pomijają powierzchowne cechy problemu i analizują go pod kątem operacji wymaganych do rozwiązania. Na nowicjuszy bardziej wpływają cechy powierzchowne. Silver (1981) odkrył, że dobrzy rozwiązujący problemy organizowali problemy zgodnie z procesem wymaganym do rozwiązania, podczas gdy słabi rozwiązujący problemy częściej grupowali problemy o podobnej treści (np. pieniądze, pociągi).

Oprócz tłumaczenia i klasyfikacji problemów, eksperci i nowicjusze różnią się produkcjami (Greeno, 1980). Nowicjusze często przyjmują strategię pracy wstecz, zaczynając od celu i wracając do danych. Jest to dobra heurystyka przydatna we wczesnych stadiach uczenia się, gdy uczący się zdobyli pewną wiedzę dziedzinową, ale nie są wystarczająco kompetentni, aby szybko rozpoznawać formaty problemów.

Natomiast eksperci często pracują do przodu. Identyfikują typ problemu i wybierają odpowiednią produkcję do rozwiązania problemu. Hegarty, Mayer i Monk (1995) odkryli, że skuteczni rozwiązujący problemy stosowali podejście oparte na modelu problemu, tłumacząc problem na model mentalny, w którym liczby w treści problemu były powiązane z nazwami zmiennych. Natomiast mniej skuteczni rozwiązujący problemy częściej stosowali podejście bezpośredniego tłumaczenia, łącząc liczby w problemie z operacjami arytmetycznymi wywoływanymi przez słowa kluczowe (np. dodawanie jest operacją powiązaną ze słowem kluczowym „więcej”). Ta ostatnia strategia jest powierzchowna i oparta na cechach powierzchownych, podczas gdy ta pierwsza strategia jest lepiej powiązana ze znaczeniami.

Eksperci rozwijają zaawansowaną wiedzę proceduralną do klasyfikowania problemów matematycznych według typu. Problemy z algebry w szkole średniej dzielą się na około 20 ogólnych kategorii, takich jak ruch, prąd, monety i odsetki/inwestycje (Mayer, 1992). Kategorie te można agregować w sześć głównych grup. Na przykład grupa ilość na czas obejmuje problemy z ruchem, prądem i pracą. Problemy te można rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru: ilość = tempo czas. Rozwój wiedzy specjalistycznej w zakresie rozwiązywania problemów matematycznych zależy od zaklasyfikowania problemu do właściwej grupy, a następnie zastosowania strategii. Werbalizacja kroków w rozwiązywaniu problemów wspomaga rozwój biegłości (Gersten i in., 2009).

Wielu teoretyków twierdzi, że konstruktywizm stanowi realny model wyjaśniający, w jaki sposób odbywa się uczenie matematyki (Ball i in., 2001; Cobb, 1994; Lampert, 1990; Resnick, 1989). Wiedza matematyczna nie jest pasywnie absorbowana z otoczenia, lecz konstruowana przez jednostki w wyniku ich interakcji. Ten proces konstrukcji obejmuje również wymyślanie przez dzieci procedur, które zawierają ukryte reguły.

Poniższy nietypowy przykład ilustruje oparte na regułach wymyślanie procedur. Jakiś czas temu współpracowałem z nauczycielem w celu zidentyfikowania uczniów w jego klasie, którzy mogliby skorzystać z dodatkowych zajęć z dzielenia długiego. Wymienił kilku uczniów i powiedział, że Tim również mógłby się zakwalifikować, ale nie był pewien. Czasami rozwiązywał zadania poprawnie, a czasami jego praca była nieprawidłowa i nie miała sensu. Dałem mu zadania do rozwiązania i poprosiłem go o werbalizowanie podczas pracy, ponieważ byłem zainteresowany tym, co dzieci myślą podczas rozwiązywania zadań. Tim powiedział: „Zadanie to 17 dzielone przez 436. Zaczynam od strony zadania, która jest najbliżej drzwi...” Wtedy zrozumiałem, dlaczego w niektóre dni jego praca była dokładna, a w inne nie. To zależało od tego, która strona jego ciała była najbliżej drzwi!

Proces konstruowania wiedzy rozpoczyna się w wieku przedszkolnym (Resnick, 1989). Geary (1995) odróżnił zdolności biologicznie pierwotne (oparte na biologii) od biologicznie wtórnych (nauczanych kulturowo). Zdolności biologicznie pierwotne są zakorzenione w systemach neurobiologicznych, które ewoluowały w określonych niszach ekologicznych i społecznych i służą funkcjom związanym z przetrwaniem lub reprodukcją. Powinny być widoczne międzykulturowo, natomiast zdolności biologicznie wtórne powinny wykazywać większą specyfikę kulturową (np. w zależności od edukacji szkolnej). Ponadto wiele z tych pierwszych powinno być widocznych u bardzo małych dzieci. Rzeczywiście, liczenie jest naturalną czynnością, którą przedszkolaki wykonują bez bezpośredniego nauczania (Gelman i Gallistel, 1978; Resnick, 1985). Nawet niemowlęta mogą być wrażliwe na różne właściwości liczb (Geary, 1995). Przedszkolaki wykazują rosnące kompetencje numeryczne związane z koncepcjami addytywności część-całość i zmian jako wzrostów/spadków ilości. Zmiana koncepcyjna przebiega szybko w latach wczesnoszkolnych (Resnick, 1989). Uczenie dzieci używania schematycznych diagramów do reprezentowania zadań tekstowych ułatwia rozwiązywanie problemów (Fuson i Willis, 1989).

Kompetencje matematyczne zależą również od wpływów społeczno-kulturowych (Cobb, 1994). Wygotski (1978) podkreślał rolę kompetentnych innych osób w strefie najbliższego rozwoju (ZPD). W przeciwieństwie do konstruktywistycznego nacisku na reorganizacje poznawcze wśród poszczególnych uczniów, teoretycy społeczno-kulturowi opowiadają się za praktykami kulturowymi - zwłaszcza interakcjami społecznymi (Cobb, 1994). Wpływ społeczno-kulturowy jest włączany poprzez takie działania, jak nauczanie rówieśnicze, rusztowanie instruktażowe i praktyki.

Badania potwierdzają pogląd, że interakcje społeczne są korzystne. Rittle-Johnson i Star (2007) odkryli, że biegłość matematyczna uczniów siódmej klasy wzrosła, gdy pozwolono im porównywać metody rozwiązywania problemów z partnerami. Wyniki przeglądu literatury przeprowadzonego przez Springer, Stanne i Donovan (1999) wykazały, że nauka w małych grupach znacząco podniosła osiągnięcia studentów w matematyce i naukach ścisłych. Kramarski i Mevarech (2003) odkryli, że połączenie uczenia się we współpracy z instrukcjami metakognitywnymi (np. refleksja nad odpowiednimi koncepcjami, decydowanie o odpowiednich strategiach do wykorzystania) podniosło rozumowanie matematyczne uczniów ósmej klasy bardziej niż każda z tych procedur osobno. Oprócz tych korzyści płynących z uczenia się we współpracy (Stein i Carmine, 1999), literatura na temat tutoringu rówieśniczego i międzypokoleniowego w matematyce ujawnia, że jest on skuteczny w podnoszeniu osiągnięć dzieci (Robinson, Schofield i Steers-Wentzell, 2005). Koordynacja perspektyw konstruktywistycznych i społeczno-kulturowych jest możliwa; uczniowie mogą rozwijać wiedzę poprzez interakcje społeczne, a następnie idiosynkratycznie konstruować zastosowania tej wiedzy.

Procesy poznawcze i konstruktywistyczne uczenia się mają zastosowanie do podstawowych form uczenia się, ale nabierają większego znaczenia w uczeniu się złożonym. Rozwijanie kompetencji w dziedzinie akademickiej wymaga wiedzy o faktach, zasadach i koncepcjach tej dziedziny, w połączeniu z ogólnymi strategiami, które można stosować w różnych dziedzinach, oraz specjalnymi strategiami, które odnoszą się do każdej dziedziny. Badania wykazały wiele różnic między ekspertami a nowicjuszami w danej dziedzinie.

Wiedza warunkowa to wiedza o tym, kiedy i dlaczego stosować wiedzę deklaratywną i proceduralną. Sama wiedza o tym, co robić i jak to robić, nie przynosi sukcesu. Uczniowie muszą również rozumieć, kiedy wiedza i procedury są przydatne. Wiedza warunkowa najprawdopodobniej jest przechowywana w długotrwałej pamięci (LTM) jako propozycje powiązane z inną wiedzą deklaratywną i proceduralną. Metakognicja odnosi się do celowej, świadomej kontroli czynności umysłowych. Metakognicja obejmuje wiedzę i czynności monitorujące, mające na celu zapewnienie pomyślnego ukończenia zadań. Metakognicja zaczyna rozwijać się w wieku około 5 do 7 lat i trwa przez cały okres szkolny. Świadomość metakognitywna zależy od zmiennych dotyczących zadania, strategii i uczącego się. Uczący się korzystają z instrukcji dotyczących czynności metakognitywnych.

Uczenie się pojęć obejmuje procesy wyższego rzędu, polegające na tworzeniu mentalnych reprezentacji krytycznych atrybutów kategorii. Obecne teorie kładą nacisk na analizowanie cech i formułowanie hipotez na temat pojęć (analiza cech), a także na tworzenie uogólnionych obrazów pojęć, które obejmują tylko niektóre cechy definiujące (prototypy). Prototypy mogą być używane do klasyfikowania typowych przypadków pojęć, a analiza cech może być używana do mniej typowych. Zaproponowano modele nabywania i nauczania pojęć, a procesy motywacyjne również są zaangażowane w zmianę koncepcyjną.

Rozwiązywanie problemów składa się ze stanu początkowego, celu, podcelów i operacji wykonywanych w celu osiągnięcia celu i podcelów. Naukowcy zbadali procesy umysłowe osób uczących się zaangażowanych w rozwiązywanie problemów oraz różnice między ekspertami a nowicjuszami. Uważano, że rozwiązywanie problemów odzwierciedla próby i błędy, wgląd i heurystyki. Te ogólne podejścia można zastosować do treści akademickich. Wraz z nabywaniem doświadczenia w danej dziedzinie ludzie zdobywają wiedzę i systemy produkcyjne, czyli zbiory reguł, które można strategicznie stosować w celu osiągnięcia celów. Rozwiązywanie problemów wymaga utworzenia mentalnej reprezentacji problemu i zastosowania produkcji w celu jego rozwiązania. W przypadku dobrze zdefiniowanych problemów, w których potencjalne rozwiązania można uporządkować pod względem prawdopodobieństwa, przydatna jest strategia generowania i testowania. W przypadku trudniejszych lub mniej dobrze zdefiniowanych problemów stosuje się analizę środków i celów, która wymaga pracy wstecz lub naprzód. Inne strategie rozwiązywania problemów obejmują rozumowanie analogiczne i burzę mózgów.

Transfer jest złożonym zjawiskiem. Historyczne poglądy obejmują identyczne elementy, dyscyplinę umysłową i uogólnianie. Z perspektywy poznawczej transfer obejmuje aktywację struktur pamięci i występuje, gdy informacje są powiązane. Rozróżnia się transfer bliski i daleki, dosłowny i przenośny oraz transfer po niskiej i wysokiej drodze. Niektóre formy transferu mogą występować automatycznie, ale większość jest świadoma i obejmuje abstrakcję. Dostarczanie uczniom informacji zwrotnych na temat użyteczności umiejętności i strategii zwiększa prawdopodobieństwo wystąpienia transferu.

Technologia nadal zyskuje na znaczeniu w uczeniu się i nauczaniu. Dwa obszary, w których nastąpił szybki wzrost, to środowiska uczenia się oparte na komputerach i uczenie się na odległość. Aplikacje wykorzystujące środowiska oparte na komputerach obejmują instrukcje oparte na komputerach, gry i symulacje, hipermedia/multimedia i e-learning. Uczenie się na odległość ma miejsce, gdy instrukcja pochodzi z jednej lokalizacji i jest przekazywana uczniom w jednej lub kilku odległych lokalizacjach. Interaktywne możliwości umożliwiają dwukierunkową informację zwrotną i synchroniczne dyskusje. Uczenie się na odległość często obejmuje instrukcje asynchroniczne online (internetowe), a kursy można organizować za pomocą modelu mieszanego (część twarzą w twarz, a część online). Badania wykazują korzyści płynące z technologii w zakresie metakognicji, głębokiego przetwarzania i rozwiązywania problemów. Przyszłe innowacje zaowocują większą dostępnością i interaktywnymi możliwościami.

Włączenia dotyczące zasad podsumowanych w tej lekcji obejmują rozwiązane przykłady, pisanie i matematykę. Rozwiązane przykłady przedstawiają rozwiązania problemów krok po kroku i często zawierają towarzyszące diagramy. Rozwiązane przykłady zawierają wiele funkcji, które ułatwiają uczniom rozwiązywanie problemów. Pisanie wymaga komponowania i recenzowania. Eksperci planują tekst wokół celu przekazywania znaczenia i pamiętają o tym celu podczas recenzowania. Nowicjusze mają tendencję do pisania o tym, co pamiętają na dany temat, zamiast koncentrować się na swoim celu. Dzieci wykazują wczesne kompetencje matematyczne w liczeniu. Umiejętności obliczeniowe wymagają algorytmów i wiedzy deklaratywnej. Uczniowie często nadmiernie uogólniają procedury (błędne algorytmy). Uczniowie zdobywają wiedzę o rodzajach problemów poprzez doświadczenie. Eksperci rozpoznają rodzaje i stosują poprawne produkcje, aby je rozwiązać (praca naprzód). Nowicjusze pracują wstecz, stosując wzory, które zawierają ilości podane w problemie.